91微分方程的基本概念PPT学习教案

1、会计学191微分方程的基本概念微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念 第九章 二 、基本概念 一、问题的提出 第1页/共19页., 1)1(, 0)0(1, 0)0)()(求此曲线方程求此曲线方程比，且已知比，且已知次幂成正次幂成正的的与纵坐标与纵坐标为底的曲边梯形的面积为底的曲边梯形的面积为曲边，以为曲边，以若以曲线若以曲线 ffnyxtftfyx)(tfy )(xf解10)(d)( nxxfkttf)()()1()(xfxfnkxfn tyo, 1)()()1(1 xfxfnkn?)( xf. 1)1(, 0)0( ff一、问题的提出第2页/共19页解一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线

2、上任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程.还应满足条件还应满足条件此外，未知函数此外，未知函数)(xyy 时，时，0 x应满足方程应满足方程所求曲线所求曲线根据导数的几何意义，根据导数的几何意义，)(xyy 2ddxxy )1()2(0 y第3页/共19页xxyd2 )3(33Cxy 即即33xy 其中C 为任意常数.把条件( 2）代入( 3 )式得 C = 0.将C = 0 代入 (3）式，即得所求曲线方程两端积分得两端积分得将方程将方程)1(第4页/共19页质量为m 的物体,只受重量作用,从静止开始做自由落体运动,求物体的运动规律.解首先建立坐标系，知，知，由

3、二阶导数的物理意义由二阶导数的物理意义的加速度，的加速度，是物体在时刻是物体在时刻 txs22dd).(tst 时刻的位置为时刻的位置为设物体在设物体在,0时时则当则当 t, 0 s. 0dd ts根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得,dd22mgtsm so)(ts第5页/共19页都是任意常数，都是任意常数，其中其中21,CC. 021 CC得得代入上面两式代入上面两式0dd ts,0时时将条件将条件 t, 0 s再积分一次得再积分一次得,2212CtCgts 故物体的运动规律为故物体的运动规律为.22gts ,dd1Cgtts 两端积分得两端积分得gts 22dd即)4(第6页/共19页1

4、.微分方程:凡含有一个或几个自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 若自变量只有一个，则称为常微分方程；若自变量的个数不止一个，则称为偏微分方程. 常微分方程的一般形式：)5(0)dd,dd,( nnxyxyyxF第7页/共19页如：,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 常微分方程2. 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.第8页/共19页3. 线性与非线性微分方程:);()(xQyxPy 如：如：; 02)(2 xyyyx(关于 y 线性)(非线性), 0)4(22 dyyxydx, 02dd)4(2yxyyx变形(关于 y 非线

5、性)22ddyyxyx(关于x 线性).)5()5(则，称它为非线性方程则，称它为非线性方程为线性方程；否为线性方程；否一次有理整式，则称一次有理整式，则称及其各阶导数的及其各阶导数的为为式的左端式的左端若若yF第9页/共19页4. 微分方程的解:若若阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设,)(nIxy )(, 0)(,),(),(,()(IxxxxxFn 为方程为方程则称则称)()(Ixxy )5(0)dd,dd,( nnxyxyyxF的解；第10页/共19页5. 微分方程的解的分类：(1) 通解:,),;()5(32121nnccccncccxyn个相互独立的任意常数个相互独立的任意常数中含

6、中含的解的解阶微分方程阶微分方程若若 .)5(的通解的通解则称此解为则称此解为, yy 如：如：;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解第11页/共19页(2) 特解: 不含有任意常数的解.思考.通解是否一定包含了此方程的所有解？不一定.解的图象: 微分方程的积分曲线.通解的图象: 积分曲线族.初始条件: 用来确定任意常数的条件.,dd2yxy 对于对于如：如：是其通解，是其通解，可以验证：可以验证：cxy 1.0 y但不包含特解：但不包含特解：第12页/共19页过定点的积分曲线; 00)(),(yxyyxfy一阶:二阶: 0000)(,)(),(yxyyxyyy

7、xfy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.6. 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.第13页/共19页验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分 方程方程0dd222 xktx的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0dd,00 tttxAx的特解的特解. 解,cossindd21ktkCktkCtx ,sincosdd221222ktCkktCktx ,dd22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xtx第14页/共19页. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0dd,00 tttxAx. 0,21 CAC所求特解为.cosktAx 第15页/共19页微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;第16页/共19