最小淋雨量问题

1、题 目 最小淋雨量问题 摘要本模型是研究生活中人在雨中行走时淋雨量的问题。人在雨中行走过程较为复杂，但我们可以通过忽略行走中身体的上下浮动及双臂与腿部的摆动来将人体行走的运动简化为一个较为规则的四棱柱的运动。也就是将人简化为一个规则的，仅有长、宽、高的一个长方体，建立模型。本题中广泛采用了微分方程模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。对于上表面，均采用降雨量与时间的微分（即单位时间内所接受的雨水量）建立关系，再通过求积分而得出问题所求解的函数关系式。而对于与雨水接触的侧面，我们采用了化归的思想，将人与雨水接触的平面沿雨水的方向投影向地面，也就是说化

2、归为了一个求平面接触雨水的问题，与上表面所采用的方法相同，同样以降雨量与时间的微分建立微分方程，求解函数关系式。而对于较为复杂的第三问，我们以人的速度比雨的速度小，人的速度比雨的速度大，人的速度与雨的速度相同的三种情况讨论，并分别求解，也就是说同样化归为了一个求平面与求侧面淋雨量的情况。然后根据所得函数式，借助数学工具MATLAB求得所需函数图形。第五问同样采用归元法，建立空间坐标轴，分解雨水为三个雨人的侧面平行的方向，在分别求解即可。本题广泛采用了化归思想，将未解决的问题转化为已解决问题，将较复杂的问题转化为较简单问题，结合微分方程模型，使得原本较为复杂的问题显得简单，易懂。模型基本解决了现

3、实中淋雨量的问题。而本模型的实际意义又不仅仅局限于现实中的淋雨问题，降雨同样可以与气流相类比，因此本模型有极大地现实意义，可广泛拓展到工业、生产、生活领域。可用于计算以一定速度运动地机械承受的气流量，同样可用于计算建筑所承受的气流量关键词：长方体 淋雨量 微分方程模型 matlab 化归思想1问题重述在人行进在雨中时，淋雨量和人行进速度之间是怎样的关系。为了研究这个问题，假设一人在雨中从一处沿直线跑到另一处，雨速为常数且方向不变，但是雨水的下落方向存在差异，因此就雨水的方向建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化为一个长方体，高=1.5 m(颈部以下)，宽=0.5m，厚=0.2m，

4、设跑步距离=1000m,跑步最大速度为=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2 cm/h，记跑步速度为,按以下步骤进行讨论：（1） 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全 程的总淋雨量。（2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1。建立总淋雨量与速度v及参数, , , , , ， 之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。计算=0, =300时的总淋雨量。（3） 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2。建立总淋雨量与速度及参数, , , , , , 之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算300时的淋雨量。（4

5、） 以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。（5） 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。图1 图2图12基本假设（1）假设降雨面积相对地球面积较小，降雨地区的地面是平面。（2）假设降雨时，雨水基本是均匀分布在空间中的。（3）假设人在行进过程中是没有上下浮动的。（4）假设人在行进过程中不是一步一步间断地行进的而是均匀行进的。3 符号说明符号说明：1) 雨中人的身高2) 雨中人的宽度3) 雨中人的厚度4) 人奔跑的距离5) 雨的速度6) 雨与人之间的夹角7) 问题（1）中矢量加和后雨水与人的夹角8) 雨水从背后下落与人行速度矢量作和后的夹角

6、9) 问题（3）中雨水与人的夹角10) 问题2中雨水速度与人行速度矢量加和后雨与人所成的角度11) 人奔跑的速度12) 人奔跑的最大速度13) 每秒钟每平方米接受的雨水厚度14) 空间中每立方米雨水的含量15) 人的上表面积16) 人的侧面积17) 上表面接受的雨量18) 侧面接受的雨量19) 人接受的总的雨量20) 问题一种阴影部分的面积21) 问题（3）第一个模型中阴影部分的面积22) 问题（3）第二个模型中阴影部分的面积23) 问题（2）中阴影部分的面积24) 常数4 模型建立与求解4.1 模型 14.1.1 模型分析 人运动的速度决定了上表面暴露在雨中得时间，也就间接影响了人的总的淋雨

7、量，而由于雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只与走过的路程有关。所以速度愈大，淋雨量愈小，这是个最优解问题。考察题干，这是一个实际对象的特性随时间变化的过程，由此可用微分方程模型求解。4.1.2 模型建立 在微分方程中，上表面所淋雨对时间的导数即为单位时间内上表面所接受雨量，即得微分方程而在本题中，所以要求得淋雨量与速度的关系只需进行函数积分。又由分析可知侧面所受雨量为一常数。所以仅需在方程后加上即可。即为前表面淋雨量，对于的求解，可以建立两种模型，（1） 将雨水看做是均匀地分布在空间中的，单位体积内的雨量根据降雨量可以求得：人行走在一个均匀布满雨水的空间中，走过的体积乘以单位体积的雨量即为人的前

8、表面的淋雨量，即（2） 以人为参考系，对人的速度和雨水的速度进行矢量加和，得图：人的前表面单位时间的淋雨量即为阴影部分地面单位时间的淋雨量，阴影部分的面积为：阴影部分的淋雨量对时间的导数即为单位时间内上表面所接受雨量，即得微分方程4.1.3 模型求解 对方程进行积分运算求得即为前表面淋雨量，两种方法所求的结果是相同的，均为：于是求得带入数据得4.2模型24.2.1模型分析本模型用来解决问题二，人的速度不同影响上表面的淋雨时间，进而影响淋雨量。对于前表面，由于雨是迎着人下落的，可以将人作为参考系，这样就可以将人在水平方向的速度和雨水的速度矢量加和。通过作图分析，人体前面的淋雨量可以等价于一定面积

9、地面的降雨量，即人体前面的淋雨量也可以根据人行速度，以及降雨的角度，雨速建立微分方程。4.2.2模型建立（1）建立上表面淋雨量模型人的上表面的淋雨量对时间的导数即为单位时间内上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量关于时间微分方程：而在本题中，所以要求上表面的淋雨量只需要对淋雨量与时间，时间与速度的函数进行积分，即可求得人体上表面接受的降雨量。（2）建立前表面的淋雨量模型只需要考虑人的前表面，画出题目中的以人作为参考系，将人的水平方向的速度和雨的速度进行矢量加和，得图： b人前表面的淋雨量即为阴影部分的淋雨量,阴影部分的面积：前表面的淋雨量对时间的导数即为单位时间内阴影部分表面接受的雨水量，即可建立

10、淋雨量关于时间微分方程：全程所用时间：所以要求人前表面的淋雨量即可对阴影部分的淋雨量与时间，时间与速度的函数进行积分，即可求得前表面的淋雨量。4.2.3模型求解通过分别对模型2中的前表面和上表面的函数进行积分，得到淋雨量与人行速度和降雨角度的关系式。对上表面微分方程进行积分得：对前表面微分方程进行积分得：其中中常数C和中的常数C均为0，因为淋雨量除了上表面和前表面的淋雨量没有其他部位的淋雨量。而人的总的淋雨量等于前表面和上表面淋雨量的加和，即总淋雨量与速度及参数, , , , , , 之间的关系： 整理得：根据分析，当人行的速度最大时总淋雨量最小。当=0时： =当=时： = 43模型34.3.

11、3.1模型分析 对于问题3，雨从背面而来，左右表面不接受雨，因此将人的淋雨量分为两个部分，即上表面接受的雨量和前（后）表面接受的雨量。同问题2一样，上表面接受的雨量是相同的。根据分析，当人的速度大于雨速的水平分量时，人的前表面会沾雨后表面不沾雨；当人的速度小于雨速的水平分分量时，人的前表面不沾雨而后表面会沾雨。故以人作为参考系，将人的速度与雨的水平速度进行矢量加和，人的前（或后）表面接受的雨量即等价与沿着雨的方向将人投影到地面上对应的地面所接受的雨量。由此，可建立微分方程模型求解。4.3.2.2 模型建立 （1）人的速度小于雨水的速度，人的后方淋雨。以人为参考系，将人的速度与雨水的速度合成，得

12、到一新的雨水与人的夹角且满足如下关系。 所以人投影到地面的面积为 对整个地面的淋雨量求时间的微分得到地面单位时间内接受的雨量 同样，上表面接受的雨量满足如下微分方程：（2） 模型求解 对 微分方程两边同时积分可得所以两边相加可得（3）模型建立当人的速度大于等于雨水在水平方向上的速度时，该模型与问题2相同，建立相同的模型求解。人的上表面的淋雨量对时间的导数即为单位时间内上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量关于时间微分方程：而在本题中，所以要求上表面的淋雨量只需要对淋雨量与时间，时间与速度的函数进行积分，即可求得人体上表面接受的降雨量。对于前表面，以人为参考系，对人的速度和雨速进行水平方向的矢量加和

13、，得图： 人的前表面的淋雨量即为地面阴影部分的淋雨量。阴影部分的面积为：前表面的淋雨量对时间的导数即为单位时间内阴影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量关于时间微分方程：全程所用时间：所以要求人前表面的淋雨量即可对阴影部分的淋雨量与时间，时间与速度的函数进行积分，即可求得前表面的淋雨量。4.3.2.3模型求解通过分别对模型3中的前表面和上表面的函数进行积分，得到淋雨量与人行速度和降雨角度的关系式。对上表面微分方程进行积分得：对前表面微分方程进行积分得：其中中常数C和中的常数C均为0，因为淋雨量除了上表面和前表面的淋雨量没有其他部位的淋雨量。而人的总的淋雨量等于前表面和上表面淋雨量的加和，即总淋

14、雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, 之间的关系： 整理得：对问题3 的分析：尽管针对人行的速度有着不同的模型，但是两个函数关系式可以进行统一，即： 当人行的速度与雨水的水平速度即v=时，人的淋雨量最小。其他情况人行的速度越大，淋雨量最小。 当时，人行速度为时淋雨量最小，4.4对（3）作图4.4.1作图4.4.2解释实际意义 根据图像可以得到，当人的速度与雨水的水平速度相同时，人的总淋雨量是最小的。4.5建立新模型若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则模型将会发生改变。针对这种情况，我们对雨水进行矢量上的分离，因为被假设成长方体模型的人，三面接受降雨。建立空间坐标系，X-Y-Z

15、，在三个坐标轴向量上对雨水进行分离，对淋雨的三个表面求解，结合模型三即可得出结果。 5结果分析与检验因为人的形状近似一个长方体，进行数学运算可以等价于一个长方体模型。对于问题（1）我们得到，上表面淋雨量速度越大人的淋雨量越小，前表面使用两种方法得出相同的结论，可以证实结果的争取性，将此结果结合现实比较，人行走的速度越大淋雨的时间越少淋雨量越小。问题（2）中，我们依然得出和问题（1）相同的结果，这和问题（1）的解释是相同的。但是问题三的结果和前两个问题是不同的，当人的速度等于雨水的水平方向上的速度时，人的淋雨量是最小的。尽管此时人的速度不是最大，上表面的淋雨时间不是最短的，但是在这种情况下，人的

16、身体前部和后部，因为人的速度和雨水的水平方向的速度相同，将不淋雨，这样看来人的淋雨量才是最小的。6模型的评价和改进6.1模型的优点（1）本模型针对三中情况分别建立了模型，模型的稳定性高，适用性强。（2）本模型的三个模型分别是对上一个模型的深入，层层深入逐渐地解决了实际问题。（3）本模型结合微分方程进行求解，简单实用。（4）本模型运用matlab进行绘图，得到了变量之间的函数图象，使结果一目了然。61模型的缺点（1）本模型使计算简单，所得结果更加的理想化，如，降雨的方向是不可能一直不变的。（2）本模型忽略了一些次要因素，入地球的表面是弧形的，且忽略了现实中人在行走过程中的上下浮动而引起的表面积的

17、变化。6.3模型的改进由于人在行走过程中的上下浮动会引起人体表面积的变化，可以对上下起伏两个过程的表面积进行平均。尽管地球的表面积是弧形的，我们可以选取更短的距离来减小因为弧度而引起的误差。7模型的推广我们建立模型的方法和思想可以推广到其他类似的问题中。本文建立的模型不仅可以估算人的淋雨量问题，还可以转换对象，变为汽车等交通工具。在降雨，降雪等情况下，根据车的前窗玻璃接收的最大雨水或者雪水量，控制行使的速度。雨水同样可以转换为气流的压强，人也可以转换为机器。根据机器所能承受的最大压强，判断气流在怎样的数值时会对机器造成破坏，进而采取保护措施。参考文献1 罗万成，大学生数学建模案例分析，出版地：

18、西南交通大学人民出版社，20072 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，出版地：高等教育出版社，20033 西北工业大学数学建模指导委员会，数学建模简明教程，出版地：高等教育出版社，20084 高隆昌，杨元，数学建模基础理论，出版社：科学出版社，20075 西南师范大学数学与财经学院，常微分方程，出版地：西南师范大学出版社，200511附录t=sin(t0); v1=0:0.1:t(1); v11=t(1):0.1:5; y1=(5.556e-4.*cos(t(1)+41.67e-4.*sin(t(1)./v1-4.167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1)-41.67e-

19、4.*sin(t(1)./v11+4.167e-3/4; plot(v1,y1,r); hold on plot(v11,y11,r); xlabel(v); ylabel(W); v2=0:0.1:t(2); v22=t(2):0.1:5; y2=(5.556e-4.*cos(t(2)+41.67e-4.*sin(t(2)./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2)-41.67e-4.*sin(t(2)./v22+4.167e-3/4; plot(v2,y2,g-.); hold on plot(v22,y22,g-.); v3=0:0.1:t(3); v

20、33=t(3):0.1:5; y3=(5.556e-4.*cos(t(3)+41.67e-4.*sin(t(3)./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3)-41.67e-4.*sin(t(3)./v33+4.167e-3/4; plot(v3,y3,k:); hold on plot(v33,y33,k:); v4=0:0.1:t(4); v44=t(4):0.1:5; y4=(5.556e-4.*cos(t(4)+41.67e-4.*sin(t(4)./v4-4.167e-3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4)-41.67e-4.*si

21、n(t(4)./v44+4.167e-3/4; plot(v4,y4,b); hold on plot(v44,y44,b); v5=0:0.1:t(5); v55=t(5):0.1:5; y5=(5.556e-4.*cos(t(5)+41.67e-4.*sin(t(5)./v5-4.167e-3/4; y55=(5.556e-4.*cos(t(5)-41.67e-4.*sin(t(5)./v55+4.167e-3/4; plot(v5,y5,c); hold on plot(v55,y55,c); v6=0:0.1:t(6); v66=t(6):0.1:5; y6=(5.556e-4.*cos(t(6)+41.67e-4.*sin(t(6)./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6)-41.67e-4.*sin(t(6)./v66+4.167e-3/4; plot(v6,y6,y); hold on plot(v66,y66,y); v7=0:0.1:t(7); v77=t(7):0.1:5; y7=(5.556e-4.*cos(t(7)+41.67e-4.*sin(t(7)./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7)-41.67e-4.*sin(t(7)./v77+4.167e-3/