排列组合教材分析

1、两个基本原理组合排列数公式组合数公式组合数性质应用问题一、知识结构排列分类计数原理分类计数原理问题问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4 种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2 种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3 种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 分步计数原理分步计数原理 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多

2、少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。分类计数原理分类计数原理 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类类办法办法,在在第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方种不同的方法。那么完成这件事共有法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。 分步计数原理分步计数

3、原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤个步骤，做第一步有，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同种不同的方法，的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事有这件事有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。 名称对比分类计数原理分步计数原理相同点均用于计算做一件事或完成一项工作的方均用于计算做一件事或完成一项工作的方法数法数事件完成与否每一类中的任何一每一类中的任何一种办法均能独立完种办法均能独立完成这件事成这件事每一步中的办法均不每一步中的办法均不能独立完成这件事，能独立完成这件事，必须各步

4、顺序完成之必须各步顺序完成之后才能完成这件事后才能完成这件事总的方法种数 各类的方法数相加各类的方法数相加 各步的方法数相乘各步的方法数相乘两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：排列的定义： 从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。10.2 排列排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示。Amn123mn-1nn-2n-m+1n-0n-(m-1)排列数公式：nmNmnmnnnnAmn,).1).(2)(1(*其中)!(!mnnAmn全排列： n

5、个不同的元素全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。全排列数公式：123).2)(1(nnnAnn! nAnn即01（规定: ！）10.3 组合 本节内容与本章其它内容均有密切联系：组本节内容与本章其它内容均有密切联系：组合与排列研究的问题是平行的，组合数公合与排列研究的问题是平行的，组合数公式的推导要依据排列数公式；二项式系数式的推导要依据排列数公式；二项式系数就是一组有规律的组合数，推导二项式定就是一组有规律的组合数，推导二项式定理用到了组合数的性质；求等可能性事件理用到了组合数的性质；求等可能性事件的概率时，常常要涉及到组合数的计算。的概率时，常常要涉及到组合数的计算。 一般地说

6、，从 n 个不同元素中，任取 m (mn) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。10.3 组合组合数的定义 从 n 个不同元素中取出 m (mn) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示。mnC组合数公式(1)(2)(1)!n nnnmmmmnnmmACA!()!mnnCm nm组合数的性质mn mnnCC11mmmnnnCCC011221102mmmmmmnnnnnnnnnnnC CCCCCC CC CC01nC（规定：）.*其中mn,且m,nN排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：排排 列列组组 合合

7、定义定义数数符号符号公式公式关系关系性质性质 ，mnC!)1()1(mmnnnCmn 从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组把它并成一组所有排列的个数所有排列的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmmnnnCCCmn mnnCCAmnA(1)(1)mnn nnmmmmnnmAAC例：某班有40名学生， (1)从中选出两名同学分别担任正副班长，有多少种选法？(2)从中选出两名同学代表去参加会议 ，有多少种选法？排列组合应用题分析 例例1. 1名老师和名老师和4名学生排成一排，若老师不排名学生排成一排，若老师不排在两端，

8、则共有多少种不同的排法？在两端，则共有多少种不同的排法？1.A4AA A722.AAA A721344143423432343分析： 特殊元素先排：老师在中间3个位置上，任选一个的选法有种，然后排剩余的 名同学在余下的4个位置上，排法有种，由分步计数原理，共有种；特殊位置先排：先安排两端站两名学生共有种方法，再排其它位置有种，所以总的排法种数为种。例例2. 3个女生与个女生与5个男生排在一起，女生必须排个男生排在一起，女生必须排在一起，可以有多少种不同的方法？在一起，可以有多少种不同的方法？6633636335AAAA分析：因为 个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同 个男生共六

9、个元素，排成一排有种不同的排法，同时每种排法中，女生之间又有种不同的排法，根据分步计数原理可得共有种不同的排法。44354345AAA A分析：先让其余4人站好，有种排法，再从4个人隔成的5个空位中选3个位置将甲、乙、丙排入，有种方法，根据分步计数原理可得共有种不同的排法。四四.排列中部分元素顺序固定排列中部分元素顺序固定除法除法例例4. 7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？有多少种排法？73773733MMAM AAMA分析：设符合要求的排法种数为，则对中的每一种排法，如果再让甲、乙、丙任意排的话，这样得到的结果和让七个节目全排

10、列的结果是一样的，根据分步计数原理可得，从而840。五五.允许重复的排列问题允许重复的排列问题选择权选择权 例例5. (1)将将3封不同的信投入封不同的信投入4个不同的信箱，有多个不同的信箱，有多少种不同的投法？少种不同的投法？ (2)4名学生报名参加数学、物理、化学三个课外名学生报名参加数学、物理、化学三个课外小组，有多少种不同的报名方法？小组，有多少种不同的报名方法？3443分析:(1)中投信的人有选择权，所以投每封信都有4种可能，共有444 种投法。(2)中学生有选择权，所以每名同学报名都有3种可能，共有3333 种报名方法。六六.圆排列问题圆排列问题例例6. 5人围着一张圆桌而坐人围着

11、一张圆桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线，其余4人共有 种排法。 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E44AmnAm例例7. 15人排成两排，前排人排成两排，前排7人，后排人，后排8人，共有人，共有多少种不同的方法？多少种不同的方法？ 71571515157A8AAAA158888分析：前排 人有种方法，后排 人有种方法，所以共有种不同方法，其实就相当于将这个人排成一排的方法种数。例例8. 9名乒乓球运动员，其中男名乒乓球运动员，其中男5名，女名，女4名，名，现在

12、要进行混合双打训练，有多少种不同分现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？组法？4AA225422222542分析：先选男、女运动员各两名，有C C 种选法，这 名运动员进行混合双打有种排法，所以共有C C种方法。例例9. 从从6名运动员中选出名运动员中选出4个参加个参加4100m接力赛，接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？不同参赛方法？ 分析：设全集6人中任取4人参赛的排列，A甲第一棒的排列，B乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：43655252.324card(I)-card(A)-card(B

13、)+card(AB)=A -A -A +A十十.元素无差别问题元素无差别问题隔板法隔板法 例例10. 将将10个相同的球放入个相同的球放入3个不同的盒子中，个不同的盒子中， (1)每个盒子不空，有多少种不同的放法？每个盒子不空，有多少种不同的放法？ (2)盒子可以是空的，有多少种不同的放法？盒子可以是空的，有多少种不同的放法？29122111112CCCC分析：3个盒子分10个球，用两个隔板，将10个球排成一排，（1），共有种情况；（2），共有=种情况。 隔板法可推广到n个球，放到m个盒子中去的一般情况： 若盒子非空，则方法数为 若盒子可以为空，则方法数为 ，即 从m+n个位置中选出m个位置放

14、隔板，其余位置则放球。m-1n-1Cnmn+mn+mCC或 再如：把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不同的放法有（ ） A、81种 B、15种 C、10种 D、4种例例11. 从从4台甲型和台甲型和5台乙型电视机中任取出台乙型电视机中任取出3台，其台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有共有 A140种种 B80种种 C70种种D35种种CCCC333954分析：逆向思考，至少各一台的反面就是只取一种型号，而不取另一种型号，故不同的取法种数为70，故应选 。十二十二. 分组问题分组问题例12. 现有9名同

15、学参加实验：(1)平均分三组平均分三组，参加不同不同实验，有多少种分法？(2)平均分三组平均分三组，参加相同相同实验，有多少种分法？(3)分三组，各组分别有各组分别有2，3，4人人，参加相同相同实验，有多少种分法？(4)分三组，各组分别有各组分别有2，3，4人人，参加不同不同实验，有多少种分法？(5)分三组，一组一组5人，其余每组各人，其余每组各2人人，参加相同相同实验，有多少种分法？(6)分三组，一组一组5人，其余每组各人，其余每组各2人人，参加不同不同实验，有多少种分法？十三十三. 利用分类讨论思想解决利用分类讨论思想解决例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员

16、, ,其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人会人会跳舞跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方有多少选派方法法? ?分析：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞, 3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行分类，只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有_种,只会唱的5人中有1人选上唱歌人员_种,只会唱的5人中有2人选上唱歌人员有_种，由分类计数原理共有_种。2233CC112534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+ + +十四十四.化不熟悉问题为熟悉问题化不熟悉问题为熟悉问题例例14. 马

17、路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九的九只路灯只路灯,现要关掉其中的现要关掉其中的3盏盏,但不能关掉相但不能关掉相邻的邻的2盏或盏或3盏盏,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2盏盏,求满求满足条件的关灯方法有多少种？足条件的关灯方法有多少种？分析：将此问题转化为将三盏不亮的灯插入到亮着的六盏灯所形成的5个空隙中去解决，也就是不相邻问题，共有 种可能。35C十五十五.穷举法穷举法 例例15. 三边长均为整数，最长边为三边长均为整数，最长边为8 的三角的三角形有多少个？形有多少个？分析：另两边用字母x、y表示，且不妨设1xy8，x+y9 当 y=8时，x=1,2,8, 有

18、8个。 当y=7时，x=2,37 有6个。 当y=6时，x=3,4,5,6,有4个 当y=5时，x=4,5,有2 个。 所以，所求的三角形的个数为8+6+4+2=20。再如：四人各写出一张贺卡，先集中起来，四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（四张贺卡的不同分配方式有（ B ）种。）种。 A.6 B.9 C.11 D.32 分析： ADC ADB ABCBCDA CDAB DCAB DAC DBA CBA十六十六. 分解因式分解因式例例16. 30030能被多少个不同的偶数整除？能被多少个不同的偶数整除

19、？ 分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113。十七. 递推公式 17. 10人有相应的10个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并有检测指示灯和检测时的手指按钮，10人某人把手指按在键钮上，若是他的档案，则指示灯出现绿色，否则出现红色，现在这10人把手指按在10个指纹档案的键钮上去检测，规定一个人只能在一个档案上去检测，并且两个人不能在同一档案上去检测，这时指示灯全部出现红色，这样的情况共有 种。 分析：此题相当于十个编号为1到10的球放入十个编号为1到10的盒子里，要求每个盒子只盛一个球，并且球和盒子编号不能相同，求放法总数。nnnnnnnaniii 1.)inainaanaa2121 设有 个球和盒子时的放法总数为 ，则 1.先安排1号球，共有 1种方法； 2.此时不妨设1号球安排在第 （1）个位置，再安排第 个球的位置，有两种情况：第 号球放在1号盒子中时，此时剩余 2个球的放法有种方法； 2.)第 号球不放在1号盒子中时，此时剩余 1个球的放法有种方法；故 （ 1）（）.2342353464575686797810892a1n3a2a =3(a +a )=9a =4(a +a )=44 a =5(a +a )=265; a =6(a +a )=1854; a =7