结构力学第7章静定结构的位移计算

1、结构力学结构力学教研室 青岛理工大学工程管理系静定结构的位移计算 第七章7.1 概 述 1.什么叫位移? 结构在外因作用下引起的某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变。 位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。 位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为： v 绝对位移（一般称位移）v 相对位移 绝对位移指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。如图7-1-1所示C截面的位移。 绝对位移是以结构未变形前的初始状态为参考状态的。 ucCCBvccC图7-1-1 相对位移指结构上的两个指定截面，位移后新的位置

2、关系相对其位移前旧位置关系的改变。 相对位移是结构上的两个截面互以对方为参考状态的。(a) (b) 图7-1-2 在图7-1-2(a)中，A、B两端点的相对水平位移为：C、D两结点的相对转角位移：AB=AH+BHCD=C+DAB=AV-BV在图7-1-2(b)中，A、B两端点的相对竖向位移：2.研究结构位移计算的目的 验算结构的刚度，使结构的变形 （一般由结构上的最大位移控制） 限制在允许的范围内。 为超静定结构的内力分析打基础。 即位移条件的建立和使用。 7.2 刚体的虚功原理及应用1.虚功的概念力与其在力方向上的位移的乘积。虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功

3、区别于实功的重要特点。 虚功可大于零也可小于零。(a)力状态 (b)位移状态 LbaBCBCC图7-2-12.刚体的虚功原理及应用v 刚体的虚功原理一个具有理想约束的刚体体系，若发生满足约束允许的微小刚体位移（可能的位移），则该刚体体系上任意平衡力系（可能的力系），在该位移上所作的总外力虚功等于零。 可表示为：W外虚=0该式叫虚功方程。虚力方程求位移。 虚位移方程求内力、约束力；由于虚功中的两种状态不相关的特点，可使其中的一种状态是虚设的，而另一种是真实的状态。因此，虚功方程演变出两种形式及应用： v 虚位移方程及应用虚位移方程使体系上真实的平衡力系，在体系可能的任意微小的刚体虚位移上，所作的

4、外力总虚功等于零的方程。虚位移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。 如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构），B端上有一集中荷载FP，求A端需用多大的力FA，该杠杆体系能平衡。(a) (b) 图7-2-2 使机构发生约束允许的任意微小刚体虚位移，见图(b)。因为欲求的力FA要使图(a)所示体系为平衡力系，所以该力系上的所有外力在图(b)所示的虚位移上总外力虚功等于零，得虚位移方程： 0BPAAFF即： PABAFF由虚位移图的几何关系，知：acAB () PAFacF 所以：LbaBCBCBPCBB(=1)(a) (b) 例7-2-1试用单位位移法（虚位移法）求图(a)所示简支梁的

5、支座B的约束反力。 分析：图(a)是一个平衡力系。图(b)是可绕A铰作刚体转动（1个自由度）的体系。 可知，静定结构可利用刚体的虚功原理（虚位移方程）求力。解：(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座反力让机构发生 单位虚位移见图(b) (3)写出虚位移方程01PPByFF(4)求解虚位移方程v 虚力方程及应用使体系上虚设的平衡力系，在体系真实的刚体位移上，所作的外力总虚功等于零的方程。 虚力方程虚力方程用以求真实的位移(a) LcdBkk(b) Bk图7-2-3 静定结构在支座发生位移时，是满足约束允许的刚体位移，并且不产生内力。 在拟求位移截面，按假定的位移方向，作用一集中荷载（或单位荷载，或

6、单位力），由平衡条件可求得虚力状态的支座反力。 虚设力状态如图7-2-3(b) 在支座移动时的位移计算公式EGCDEGCD3RF1RF2RF(a) (b) 图7-2-4 虚力方程01332211cFcFcFRRR则所求位移为： 31iRicF例7-2-26m6m4m10cm20cmC(1)求顶铰C的竖向位移；(2)求C铰两侧截面的相对转角位移解：(1) CF=3/4BxF=1/2By(2)按位移计算公式计算位移21)(5 .17)1043()2021(cmcFiRiCV(3)计算顶铰两侧截面的相对 转角位移 F=0ByCF=1/4Bx相对转角位移 211(10)2.54RiiFcrad ()

7、7.3 结构位移计算公式 变形体可分两大类 非线性变形体 线性弹性体物理线性材料的应力与应变成正比例，即服从虎克定律。几何线性结构的变形（或位移）是微小的，在进行结构的内力和位移分析计算中，可按其原有的几何尺寸考虑。 结构（变形体）的位移计算一般公式推导如下 BAB(a) BAB(b) 微段变形对结构位移的影响BBFQMBFN(c) (d) dMdFdFdQN)(31dMdFdFcFdQNiRi结构位移计算的一般公式LLLQNdMdFdF)(1LLLQNndMdFdFiRiLLLQNcFdMdFdF)(7-3-1) (7-3-2) 各种变形体的位移计算公式0NQRiiFdsFdsM dsFc

8、(7-3-3) 7.4 在荷载作用下静定结构的位移计算 在荷载单独作用下，结构的位移计算公式 dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPN0 (7-4-1) 各类结构在荷载作用下的位移计算公式 梁和刚架，主要考虑弯曲变 形的影响，位移公式为： dsEIMMP(7-4-2) dsEAFFNPN(7-4-3) 桁架，只考虑轴向变形的影响， 位移公式： 组合结构和拱结构 ，一般将梁 式杆和桁架杆分别按各自的主要 变形考虑，位移计算公式可写成： dsEAFFdsEIMMNPNP(7-4-4) 例7-4-14mC3m4mDBA(a) 求：(1)D结点的竖向位移(2)CD杆的转角位移 已知各杆EA

9、相等，并为常数。解：(1)求D结点的竖向位移DV1)计算NPFCDBA(b) NPF图(kN) 2)计算 NFCDBA(c) NF图（kN） 3)计算 DV 51LEAFFNPNDV)(6 .53)55 .1283. 055 .1283. 030141067. 02(1mEAEADV(2)求CD杆的转角位移radEAEA25.26)55 .1221. 0241017. 041017. 0(1() 1/3mCDBA1/3m(d) NF图（1/m） 例7-4-2 求B结点的水平位移。各杆EI相同，并为常数。 (a) 解:(1)分别计算出荷载、虚单位力作用下结构的支座反力，并建立各杆独立的截面位置坐

10、标，注意同一杆件在两种状态中的坐标一致。见图(b)、(c)。qLqL/2qL/2xx1xx11(b) (c) (2)两种状态下任意截面的弯矩函数: (均以内侧受拉为正 )AB杆：2)(2qxqLxxMxxM)(BC杆： xqLxM2)(xxM)()(832)2(4210022EIqLdxxqLxdxqxqLxdxEIMMLLPBH(3)将以上所得弯矩函数代入刚架的位移计算公式中，做积分运算： 图乘公式代替积分公式7.5 图乘法MPyyxxyooAEIEIAyC(a) 图乘公式的应用条件 结构上各杆均为等截面直杆即， 各杆EI分别或分段为常数； 竖标必须取自直线弯矩图形; 另一弯矩图的面积A和面

11、积形 心易求得。 标准二次抛物线(b) 例7-5-1(a) (b) L/2L/2qABCBCA5(L/2)/882qLL/2L/212求：简支梁B端截面的角位移和梁中点C处的竖向位移。已知梁的EI值为常数。 解：(1)求梁B端的角位移1)作在荷载作用下梁的弯矩图， 见图(b)所示。 2)作虚单位力偶作用下的弯矩图 （常称单位弯矩图），见图(c) 所示。 3)由图乘公式计算位移 (2)求梁中点C的竖向位移CVCAy1M=1BF =1Py2BCA(c) (d) L/2L/2FPBCA(a) 例7-5-2 计算图(a)所示悬臂梁B端截面的竖向位移BV。 解：作PMM图见图(b)、(c)。(b) BC

12、A231(c) F =1PL/2BALCy3y2y1(c) (d) F =1PL/2B2ALC31BCAy3y2y1例7-5-3求所示刚架B点的水平位移BHq=5kN/mCBDA(a) 10kNmCcDA21.5kNm8kNm8kNm2Bb14322.5kNm(b) PM图10kNmCBDAq=5kN/m8kNm8kNm(c) PM图CBDA图M(d) 例7-5-4求: :A,B两端点的相对竖向位移AB 2m2mq=5kN/mDBC(a)12kNmDBC2kNm10kNmPM图(b) DBCM图(c) 7.6 温度改变时静定结构的 位移计算 BAB静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许

13、的变形和位移，为零内力状态。 设温度沿截面高度h以直线传递，见图(a)，则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。h2h1ht ds0dt ds2t ds1ds(a)h2h1ht0t2tt1o(b) 例7-6-1图示静定刚架，各杆截面相同，截面为矩形，截面高度h=60cm。设材料在温度作用下的线膨胀系数为a=0.00001。白天施工时，室内外温度均在10，夜间室外温度降至-10C，室内温度不变。求悬臂端G点的水平位移。各杆杆长均为：L=6m。 CGDt2BAt2t1t2t2(a) 解：CGDBA(b) 实际状态下在白天和夜晚刚架外侧的温度变化量：Ct

14、20)10(1027.6 线性变形体的互等定理1.功的互等定理（基本定理） 一简支梁分别受两组荷载作用，发生相应各自独立的弯曲变形。 (a) 状态1 (b) 状态2 引入状态引入状态2 2中变形微量与内力的线性关系得：中变形微量与内力的线性关系得：)(2121211121LLLQNnPdMdFdFFdsEIMMdsGAFFkdsEAFFFQQNNP2121021121由变形体的虚功原理，让简支梁的状态1的力在状态2的相应位移上做虚功，得同理，再让梁状态2的力在状态1的相应位移上做虚功，得dsEIMMdsGAFFkdsEAFFFQQNNP1212012212显然有212121PPFF若有多个荷载

15、则上式表示简支梁状态1中的外力在状态2的相应位移上所做的外力总虚功，等于状态2中的外力在状态1的相应位移上所做的外力总虚功。2211PPFF同一线性变形体系的任意两种相互独立的状态，第i状态的力在第j状态的位移上所做的外力总虚功，等于第j状态的力在第i状态的位移上所做的外力总虚功。即 功的互等定理iFjFPjPijiijWW 2.位移互等定理21212pF12121pF1221 称为位移影响系数每单位力引起的位移值 。212121PPFF1221表示由于 单位力时， 2PF1PF（ ） （ ） 引起的相应于 1PF2PF（ ）为的位移值 。位移互等定理2112(7-7-2) 位移互等定理叙述为

16、： ，等于由1PF212PF12在任一线弹性变形体上，由力引起的沿另一力影响系数方向上的位移影响系数引起的沿2PF1PF。方向上的位移在任一线弹性变形体上，由单位力 11PF引起的沿单位力 12PF方向上的位移 21等于由 12PF引起的沿 11PF方向上的位移 12状态2 (b) 3.反力互等定理R21R11R22R12状态1 (a) 状态2 (b) 221112RR反力互等定理2112rr(7-7-3) 反力互等定理叙述为:引起的另一支座2的反力在任一线弹性变形体上，由支座1的位移 影响系数 , ,等于由支座2的位移 引起的另一支座1的反力影响1221r12r系数。在任一线弹性变形体上，由支座1的位移 影响系数 , ,等于由支座2的位移 引起的另一支座1的反力影响1221r12r系数。在任一线弹性变形体上，由支座1的位移 或，在任一线弹性变形体上，由引起的另一支座2的反力 等于由支座2的单位位移 引起的支座1的反力 111221r12r支座1的单位位移r21r11r22r12线性变形体系线性变形体系4.反力位移互等定理21A221A12状态1 (a) 0221121RFP状态2 (