大学物理 马文蔚 课堂笔记28

1、上海师范大学上海师范大学1Pz*OMFrd式中式中d=r sin 称为力称为力F对转轴对转轴Z的的力臂力臂.如图刚体绕如图刚体绕 O z 轴旋转轴旋转, 力力 作用在刚作用在刚体横截面上点体横截面上点 P 且在此平面内且在此平面内, 为为由点由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢. 力力 对转轴的力矩对转轴的力矩 . FMrF 一、力矩一、力矩 M4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量物体为什么会转动？物体为什么会转动？ 一个力作用在物体上一定能使物体由静止到转动吗一个力作用在物体上一定能使物体由静止到转动吗 ？ FrM(1)FdFrMsin力矩力矩大小大小:力矩是矢

2、量力矩是矢量.力矩力矩方向方向: 右手法则右手法则- 拇指伸直拇指伸直, 四指由四指由r弯向弯向F, 这时拇指的指向就力矩的方向这时拇指的指向就力矩的方向.力矩的力矩的单位单位: Nm. 当力矩沿当力矩沿Z轴正向轴正向时为时为正正, 反之反之为为负负./15要使一个刚体由静止到转动必须要有力矩的作用要使一个刚体由静止到转动必须要有力矩的作用 !OOF上海师范大学上海师范大学2zO0MF4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量FrM(1)讨论讨论(i) 当作用力通过转轴时当作用力通过转轴时, 其力矩为零其力矩为零. 如右图如右图.(ii) 若力若力 不在转动平面内不在转动平面内, ,

3、 应把力分解为应把力分解为平行平行 和和垂直垂直于转轴方向的两个分量于转轴方向的两个分量. . 如右下图如右下图. . FFFF/zOkFr/FF其中其中 对转轴的力矩为零对转轴的力矩为零. 因为因为F/不能使物体绕不能使物体绕Z转动转动. /F注意注意, 式中式中 是分力是分力F 与与 r的夹角的夹角, 而不是力而不是力F与与r的夹角的夹角.FrMzF故故 对转轴的力矩为对转轴的力矩为sin rFMz(2)/15上海师范大学上海师范大学34.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量(iv) 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消. .jiijMMjr

4、irijijFjiFdOijMjiM如右图所示如右图所示.由于刚体内质点间相互作用的内力是作用由于刚体内质点间相互作用的内力是作用力和反作用力力和反作用力, 因此因此, 刚体内各刚体内各质元间质元间的作的作用力对转轴的合力矩为零用力对转轴的合力矩为零.0,jiijMM内 (3)(v) 合力为零时合力为零时, , 其合力矩其合力矩不一定不一定为零为零. . 如下图如下图. .0,0iiMF02,0RFMFiiFFFF(iii) 合合力矩等于各力矩等于各分分力矩的力矩的矢量和矢量和321MMMM/15上海师范大学上海师范大学4 例例1 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1000m，水深

5、，水深100m水面与大坝表面垂直水面与大坝表面垂直, 如图如图所示所示. 求作用在大坝上的力求作用在大坝上的力, 以及这个力对通过大坝基点以及这个力对通过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩.解解 (i) 求作用在大坝上的作用力求作用在大坝上的作用力: 设水深设水深 h，坝长，坝长L.ypLApFddd4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量yOhyxAdydQyOxyLAdd 在坝面上取面积元在坝面上取面积元作用在此面积元上的力为作用在此面积元上的力为)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则面积元，则面积元dA处的压强为处的压强为 0pyLyhgpFd)(d0因

6、此面积元上的受力为因此面积元上的受力为hyLyhgpF00d)(上式积分上式积分, 可得整个大坝作受的作用力为可得整个大坝作受的作用力为2021gLhLhp23510010008 . 9100 . 12110010001001. 1N101091. 5/15上海师范大学上海师范大学5FyMddyLyhgpyMd)(d03206121LhgLhphyLyhgpyM00d)(对通过点对通过点 Q 的轴的力矩的轴的力矩FdyQOhyydFdyLyhgpFd)(d04.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量(ii) 求作用在大坝上的力矩求作用在大坝上的力矩hhygyLydyghpL0020d

7、)(3320312121LhgLhgLhp33323510010108 . 961100101001. 121mN12121210138. 210633. 110505. 0/15上海师范大学上海师范大学6Ormz二、转动定律二、转动定律FtFnFsinrFM mrmaFttM1. 单个质点单个质点 m 与转轴刚性连接与转轴刚性连接2mrM即2tmrrFM4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量力矩是使刚体转动状态发生变化的原因力矩是使刚体转动状态发生变化的原因, 使刚体产生角加速度使刚体产生角加速度.力是使物体运动状态发生变化的原因力是使物体运动状态发生变化的原因, 使物体产生加

8、速度使物体产生加速度, 且有且有 F=ma那么力矩与角加速度之间有什么数量的关系呢那么力矩与角加速度之间有什么数量的关系呢 ?如图质点如图质点m绕转轴绕转轴Z作定轴转动作定轴转动.转动平面上的任意力转动平面上的任意力F可分解为切向和法向的分力可分解为切向和法向的分力.可见可见, 质点绕定轴转动时质点绕定轴转动时, 角加速度与力矩成角加速度与力矩成M正比正比, 与与mr2成反比成反比.与与 a=F/m, 相比较相比较, 可见可见, mr2反映了刚体转动的惯性大小反映了刚体转动的惯性大小./15质点的转动惯量质点的转动惯量: J=mr2 称为称为质点质点绕绕Z轴转动的轴转动的转动惯量转动惯量. r

9、是质点到转是质点到转轴的轴的垂直距离垂直距离上海师范大学上海师范大学72. 质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量在刚体内任意取一质元在刚体内任意取一质元 m.在切线方向应用牛顿定律得在切线方向应用牛顿定律得jjjtjjtjtrmamFFie上式两边乘以上式两边乘以rj, 得得2iejjjtjjtjrmFrFr2iejjjjrmMM即即(4)对刚体上所有质元示和对刚体上所有质元示和, 则由则由(4)式得式得rmMMjjjjjjj2ie)rmMjjjj

10、2e(/150jijM即因为因为合合内力矩内力矩等于零等于零.jtFejtFi上海师范大学上海师范大学8刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正比成正比, 与刚体的与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. (7)式称为式称为刚体刚体做定轴转动时的做定轴转动时的转动定律转动定律:定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFi)rmMjjjjj2e(5)4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量由由(5)可见可见, 在外力矩一定时在外力矩一定时, 刚体角加速度刚体角加速度 与与2jjjrm成反比成反比, 同外力一定时同外力一定时, 物体加速度与

11、质量成反比类似物体加速度与质量成反比类似.2jjjrmJ对分立对分立质点系质点系mrJd2(6)对质量连续分布的对质量连续分布的刚体刚体JM (6)式代入式代入(5)式式, 得到得到(7)转动惯量转动惯量的大小表示刚体转动时转动状态发生变化的难易程度的大小表示刚体转动时转动状态发生变化的难易程度.与之相对应的是与之相对应的是质量质量表示物体运动状态发生变化的难易程度表示物体运动状态发生变化的难易程度.不同的刚体不同的刚体, 转动惯量不同转动惯量不同, 同一个刚体对不同的转轴其转动惯量也是不同的同一个刚体对不同的转轴其转动惯量也是不同的.转动惯量转动惯量 J 的物理的物理意义意义：转动惯性大小的

12、量度转动惯性大小的量度./15上海师范大学上海师范大学9mrJrmJjjjd,22三、转动惯量的计算三、转动惯量的计算1. 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量式中式中r是质量元是质量元dm到转轴的到转轴的垂直距离垂直距离.4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量O1r1mz2r2m3r3mirim式中式中ri是质点是质点mi到转轴的到转轴的垂直距离垂直距离.2222112rmrmrmJjjj(8)mrrmJjjjd22(9)Ozdmr( 质量质量线密度线密度)2 对质量对质量线线分布的分布的刚体刚体：lrm

13、ddrJ222 对质量对质量面面分布的分布的刚体刚体：( 质量质量面密度面密度)SrmddrJ222 对质量对质量体体分布的分布的刚体刚体：( 质量质量体密度体密度)VrmJddr22书上书上P110 表表4-2 列举了几种常见刚体转动时的转动惯量列举了几种常见刚体转动时的转动惯量. 下面举二例验证之下面举二例验证之.转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状及转轴的位置形状及转轴的位置(三要素三要素).注意注意/15上海师范大学上海师范大学10解解 (i) 转轴转轴O1O1 通过中心通过中心, 建立坐标系如右图建立坐标系如右图, 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，rrm

14、ddrdJ22lrrJ022d2/2/21dllrrJ331lrrmrJddd22例例1 一一 质量为质量为m 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求: (i) 通过棒中心并与棒垂直通过棒中心并与棒垂直 的轴的转动惯量的轴的转动惯量; (ii) 通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量. l2121ml(ii) 转轴转轴O2O2 通过端点通过端点并垂直于棒并垂直于棒, 如右下图如右下图4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量取一距离转轴取一距离转轴 O1O1 为为r 处的质量元处的质量元dm, 质量元质量元dm对转轴对转轴OO 的转动惯量为的转动

15、惯量为 32/02121d2lrrl231ml计算结果与书上计算结果与书上P110 表表4-2 的结果一致的结果一致.122222)2(1214131JlmmlmlmlJ/15rd2l2lr绕中点转动绕中点转动1O1Olrdr绕端点转动绕端点转动2O2O上海师范大学上海师范大学11)(ddrdJ222rdrddsrdrdrsrmRRrdrrdmJ022002dr例例2 一一 质量为质量为m 、半径为、半径为R 的均匀圆盘的均匀圆盘, 求通过圆盘中心并与圆盘垂直的求通过圆盘中心并与圆盘垂直的OO 轴的转动惯量轴的转动惯量.4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量在距离转轴在距离转轴

16、OO 为为r 处取一质量元处取一质量元dm, 质量元质量元dm对转轴对转轴OO 的转动惯量为的转动惯量为 计算结果与书上计算结果与书上P110 表表4-2 的结果一致的结果一致./15ROO整个圆盘对转轴整个圆盘对转轴OO 的转动惯量为的转动惯量为 4042412RrR2224221222mRRmRSRR如何计算通过任意转轴的转动惯量如何计算通过任意转轴的转动惯量? ORmdr2RmSm设圆盘的面密度为设圆盘的面密度为 , 则有则有解解上海师范大学上海师范大学124.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量122222)2(1214131JlmmlmlmlJ/15J1是绕通过质心的转轴

17、的转动惯量是绕通过质心的转轴的转动惯量, J2是绕通过端点的转轴的转动惯量是绕通过端点的转轴的转动惯量, 是两个转轴之间的距离是两个转轴之间的距离. 2/ l1O2l2l 绕中点转动绕中点转动1O绕端点转动绕端点转动2O2O四、平行轴定理四、平行轴定理dCOm2mdJJCO(10)如图所示如图所示, , 质量为质量为m m的刚体的刚体, 如果对其质心轴的转动惯量为如果对其质心轴的转动惯量为J JC C，则可以证明则可以证明, ,对任一与该轴平行对任一与该轴平行, ,相距为相距为d的转轴的转轴O O的转动惯量为的转动惯量为 PCR22222321mRmRmRmRJJCP例如例如, 对均匀圆盘对均

18、匀圆盘, 对通过质心对通过质心C的转动惯量为的转动惯量为221mRJC对通过圆盘边缘并垂直圆盘的转轴的转动惯量为对通过圆盘边缘并垂直圆盘的转轴的转动惯量为通过平行轴定理通过平行轴定理, 可以方便地计算通过任意转轴的转动惯量可以方便地计算通过任意转轴的转动惯量.上海师范大学上海师范大学13例例2(P111) 质量为质量为mA的物体的物体 A 静止在光滑水平面上静止在光滑水平面上, 和一质量不计的绳索相连和一质量不计的绳索相连接接, 绳索跨过一半径为绳索跨过一半径为 R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C, 并系在另一质量为并系在另一质量为mB的的物体物体 B 上上. 滑轮与绳索间没有

19、滑动滑轮与绳索间没有滑动, 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：问：(1) 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物物体体 B 从静止落下距离从静止落下距离y时时, 其速率是多少？其速率是多少？4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF物体物体A、B 作作平动平动，滑轮作，滑轮作转动转动.解解 (1) 当考虑滑轮质量时当考虑滑轮质量时, 跨过滑轮两端跨过滑轮两端 的绳索上张力是不相等的

20、的绳索上张力是不相等的.对对A、B、C分别列牛顿定律及转动定律方程分别列牛顿定律及转动定律方程对系统作隔离受力分析对系统作隔离受力分析, 并建立坐标系如图并建立坐标系如图.AamFAT1对物体对物体ABamFgmBT2B对物体对物体BJRFRFT1T2对圆盘对圆盘CRaaaCtBA转动与平动的联系转动与平动的联系/15上海师范大学上海师范大学144.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFAamFAT1对物体对物体ABamFgmBT2B对物体对物体BJRFRFT1T2对圆盘对圆盘CRaaaCtBA转动与平动的联系转动与平动的联系2CBABmmmgma2CB