高中数学复习专题：椭圆

1、(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用的作用.(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）点、离心率）.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称范围、对称性、顶点、离心率、渐近线性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解抛物线的定义、几何图形和标准了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们

2、的简单几何性质方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称范围、对称性、顶点、准线、离心率性、顶点、准线、离心率).(5)理解直线与圆锥曲线的位置关系；了理解直线与圆锥曲线的位置关系；了解圆锥曲线的简单应用解圆锥曲线的简单应用.(6)理解数形结合的思想理解数形结合的思想. 圆锥曲线是高中数学主干知识圆锥曲线是高中数学主干知识平面平面解析几何的又一核心内容，考查题型广泛，解析几何的又一核心内容，考查题型广泛，形式多样，难易题均有涉及形式多样，难易题均有涉及.小题主要以椭小题主要以椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和几圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和几何性质为主；大题主要考查直线与椭圆的位何性质

3、为主；大题主要考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，内容涉及交点个数问题，有关弦的中点问题内容涉及交点个数问题，有关弦的中点问题及弦长问题，相交围成三角形的面积问题等及弦长问题，相交围成三角形的面积问题等.在解题过程中计算占了很大的比重，对运在解题过程中计算占了很大的比重，对运算求解能力有较高的要求，计算要根据题目中算求解能力有较高的要求，计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，合理利用曲线的特点和相互之间的关系进行，合理利用曲线的定义和性质将计算简化，讲求运算的合曲线的定义和性质将计算简化，讲求运算的合理性，如理性，如“设而不求

4、设而不求”，“整体代换整体代换”等等.试题试题淡化对图形性质的技巧处理，关注解题方向的淡化对图形性质的技巧处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量，选择及计算方法的合理性，适当关注与向量，解三角形，函数等知识的交汇，关注对数形结解三角形，函数等知识的交汇，关注对数形结合，函数与方程，化归与转化，特殊与一般思合，函数与方程，化归与转化，特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略，以及想的考查，关注对整体处理问题的策略，以及待定系数法，换元法等的考查待定系数法，换元法等的考查.预计预计2011年高考在本章的小题考查重年高考在本章的小题考查重点是椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准

5、点是椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程和几何性质，特别是椭圆的离心率问方程和几何性质，特别是椭圆的离心率问题，大题综合考查直线与椭圆的位置关系，题，大题综合考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，以及与抛物线的几何性质及焦点弦问题，以及与其他知识点的综合交汇其他知识点的综合交汇.1.已知两定点已知两定点A（-1,0）,B（1,0），点），点M满足满足 则点则点M的轨迹是（的轨迹是（ ）A.圆圆B.椭圆椭圆C.线段线段D.直线直线 因为因为AB=2，所以点，所以点M在线段在线段AB上，上，故选故选C. 易错点：平面上到两个定点易错点：平面上到两个定点F1,F2的距的距离之和为定

6、值，且大于离之和为定值，且大于 的动点轨迹才是的动点轨迹才是椭圆椭圆.2,MAMBC12F F2.已知椭圆已知椭圆 (ab0)的焦点分的焦点分别为别为F1、F2，b=4，离心率为，离心率为.过过F1的直线交的直线交椭圆于椭圆于A、B两点，则两点，则ABF2的周长为（的周长为（ ）A.10B.12C.16D.20 因为因为b=4，又，又b2=a2-c2，得得a=5,c=3，由椭圆定义可知，由椭圆定义可知ABF2的周长为的周长为4a=20，选，选D.22221xyab35D35cea3.椭圆椭圆x2+2y2=2的右焦点到直线的右焦点到直线y=3x的距的距离是（离是（ ）A.B.C.1D. 将椭圆方

7、程化为将椭圆方程化为所以其右所以其右焦点坐标为（焦点坐标为（1,0），它到直线），它到直线y= x的距离为的距离为 选选B. 易错点：研究椭圆的几何性质，须将易错点：研究椭圆的几何性质，须将椭圆方程化为标准方程椭圆方程化为标准方程.B123232212xy ，333213d ，4.已知椭圆已知椭圆G的中心在原点，长轴在的中心在原点，长轴在x轴轴上，离心率为上，离心率为 ,且椭圆且椭圆G上一点到上一点到G的两个的两个焦点之和为焦点之和为12，则椭圆，则椭圆G的方程为的方程为 . e= ，2a=12，a=6，b=3，则所求椭圆方程为则所求椭圆方程为32221369xy32221.369xy5.椭圆

8、：的两个焦点椭圆：的两个焦点F1,F2,点点P在在椭圆上，如果线段椭圆上，如果线段PF1的中点恰在的中点恰在y轴上，则轴上，则=. 由已知椭圆方程得由已知椭圆方程得a=2，b=，c=3，F1（-3,0）,F2（3,0）.221123xy12PFPF733因为焦点因为焦点F1和和F2关于关于y轴对称，所以轴对称，所以,则则P（3，），），所所 故填故填7.32232PF ，2137 324 322PFaPF，127PFPF ，1.椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程(1)平面内与两个定点平面内与两个定点F1,F2的距离的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做

9、椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距两焦点的距离叫做椭圆的焦距.12F F(2)椭圆的标准方程是椭圆的标准方程是 (ab0)或或(ab0).(3)椭圆的标准方程中椭圆的标准方程中a,b,c之间的关系是之间的关系是a2=b2+c2.(4)形如形如Ax2+By2=C的方程，只要的方程，只要A、BC为正数，且为正数，且AB就是椭圆方程，可化为标就是椭圆方程，可化为标准形式：准形式：22221xyab22221xyba、221.xyCCAB2.椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(1)椭圆椭圆 (ab0)上的点中，横上的点中，横坐标坐标x的取值

10、范围是的取值范围是-a,a，纵坐标，纵坐标y的取值范的取值范围是围是-b,b，=2c，若，若b0)的四个顶点的四个顶点是是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)，它们是椭圆与其，它们是椭圆与其对称轴的交点对称轴的交点.(4)离心率范围是离心率范围是(0，1).22221xyab,cea 重点突破：椭圆的定义及其标准方程重点突破：椭圆的定义及其标准方程 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为且此焦点与长轴上较近的端点距离为2 -2，求此椭圆的方程求

11、此椭圆的方程.设所求椭圆或设所求椭圆或(ab0)，根据题意列出关于，根据题意列出关于a,b,c的方程组，从的方程组，从而求出而求出a,b,c的值的值.222221xyab22221xyba设所求椭圆设所求椭圆或或(ab0)，b=ca-c=2 -2a2=b2+c2 (舍去舍去).则所求椭圆则所求椭圆求椭圆的方程，借助于数形结合，求椭圆的方程，借助于数形结合，先定位分析焦点所在的位置，再用待定系数先定位分析焦点所在的位置，再用待定系数法，将已知条件代入求解法，将已知条件代入求解.22221xyab22221xyba则则，解得，解得a=2 b=2c=2，或，或22a=6 -8b=4 -6c=4 -6

12、222222211.8448xyxy或或已知已知P点在以坐标轴为对称点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为5和和3，过，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆方程点，求此椭圆方程. 设所求椭圆设所求椭圆或或(ab0)，两个焦点分别为，两个焦点分别为F1,F2.则由题意得：则由题意得：所以所以a=4.22221xyab22221xyba1228aPFPF ，在方程在方程中令中令x=c，得，得在方程在方程中令中令y=c，得，得依题意知依题意知 =3，所以，所以b=2 .则椭圆方程为则椭圆方程为或或 .222

13、21xyab22221xyba2bya ；2bxa ；2ba32211216xy2211612xy重点突破：椭圆的几何性质重点突破：椭圆的几何性质已知已知P点为椭圆点为椭圆+y2=1上的点，上的点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且是椭圆的两个焦点，且F1PF2=60,求求F1PF2的面积的面积. 求解圆锥曲线上的点与其焦点围求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题，常用正，余弦定理进行求解成的三角形问题，常用正，余弦定理进行求解.24x依题意得，依题意得，在在F1PF2中，由余弦定理得中，由余弦定理得解得解得则则F1PF2的面积为的面积为1224PFPFa ，22212122 32cos60P

14、FPFPFPF（）21212122PFPFPFPFPF（）2cos60PF ，124.3PFPF 211sin603 3.2PFPF 圆锥曲线定义与三角形的圆锥曲线定义与三角形的有关性质相结合是解本题的关键，常有关性质相结合是解本题的关键，常用的解题技巧要熟记于心用的解题技巧要熟记于心.已知已知P为椭圆为椭圆 +y2=1上的动上的动点，点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且是椭圆的两个焦点，且F1PF2=,求当求当取最大值时，点取最大值时，点P的位置的位置. 设设则则m+n=4，24x12,PFm PFn ，122 3.F F 在在F1PF2中，由余弦定理得中，由余弦定理得因为因为m+n=4,m0

15、,n0，所以，所以mn当且仅当当且仅当m=n时时“=”取得，所以取得，所以cos-.所以当所以当取得最大值时，点取得最大值时，点P在短轴的两个在短轴的两个顶点处顶点处.222121212cos2PFPFF FPFPF 2212221.2mnmnF Fmnmn（）24.2mn （）12重点突破：直线与椭圆的位置关系重点突破：直线与椭圆的位置关系 已知直线已知直线l：y=x+m与椭圆与椭圆相交于相交于P,Q两点两点.()求实数求实数m的取值范围的取值范围.()是否存在实数是否存在实数m，使得等于椭圆，使得等于椭圆的短轴长；若存在求出的短轴长；若存在求出m的值，若不存在，请的值，若不存在，请说明理由

16、说明理由. 22132xyPQ()联立直线与椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程，由由0解得解得.()假设存在，由弦长公式假设存在，由弦长公式可解得可解得m的值，检验的值，检验m是否满足是否满足0的条件的条件. y=x+m整理得整理得5x2+6mx+3m2-6=0.由已知得，由已知得，=36m2-20(3m2-6)0，解得，解得-m .21PQk12xx ，()联立联立22132xy ，55()设设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则由，则由()x1+x2=x1x2=所以所以知知65m 23-6.5m 221212PQxxyy 21212114xxx x226362455mm （），由得由得解得

17、解得因为因为0m2=0.由于由于解得解得k=-.故所求弦所在直线方程为故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0.x+2y-4=0 x2+4y2=16所以所以y1=0,y2=2.所以弦长所以弦长2122168414kkxxk ，12由由得得y2-2y=0，1221114 022 5.yyk如图所示，已知如图所示，已知A,B,C是椭圆是椭圆E：(ab0)上的三点，其中上的三点，其中A点的坐标为（点的坐标为（2 ，0），），B C 过 椭 圆 的 中 心过 椭 圆 的 中 心 O , 且且ACBC, 22221xyab32.BCAC ()求点求点C的坐标及椭圆的坐标及椭圆E的方程；的方程；()若椭圆若

18、椭圆E上存在两点上存在两点P,Q,使得使得PCQ的的平分线总是垂直于平分线总是垂直于x轴，试判断向量轴，试判断向量PQ与与AB是是否共线，并给出证明否共线，并给出证明.()利用利用RtAOC，可求出，可求出C点坐标点坐标.()判断向量判断向量PQ与与AB是否共线，可从是否共线，可从PQ与与AB的斜率入手的斜率入手. ()因为因为且且BC经过原经过原点，所以点，所以又又A(2，0)，ACB=90，所以，所以C(,)，且，且a=2代入椭圆方程得：代入椭圆方程得：则椭圆则椭圆E的方程为的方程为2BCAC ，,OCAC 3233112b解得解得b2=4.333221.124xy()对于椭圆上的两点对于

19、椭圆上的两点P、Q，若，若PCQ的的平分线总垂直于平分线总垂直于x轴轴,则则PC与与CQ所在直线关于所在直线关于直线直线x=3对称，设直线对称，设直线PC的斜率为的斜率为k，则直线，则直线CQ的斜率为的斜率为-k，所以直线，所以直线PC的方程为的方程为y- =k(x- ),即即y=k(x- )+ . 直线直线CQ的方程为的方程为y=-k(x- )+ . 将代入将代入 得：得：(1+3k2)x2+6 k(1-k)x+9k2-18k-3=0， 333333221124xy3因为因为C（ , ）在椭圆上，所以）在椭圆上，所以x= 是是方程的一个根方程的一个根.所以所以所以所以同理可得：同理可得：所以

20、所以333229183313Pkkxk ，2291833 13Pkkxk ，（）229183.3 13Qkkxk （）2 31.3QPQPPQQPQPyyk xxkkxxxx（）因为因为C（ , ），所以），所以B（- ,- ），），又又A（2 ，0），），所以所以所以所以kAB=kPQ，所以向量，所以向量PQ与向量与向量AB共线共线. 平面向量作为数学解题工具，常与平面向量作为数学解题工具，常与平面解析几何综合考查，在向量与解析几何的平面解析几何综合考查，在向量与解析几何的综合性问题中，写出向量的坐标是关键综合性问题中，写出向量的坐标是关键.过在椭过在椭圆上的点作直线时，切记此点的横坐标是直

21、线圆上的点作直线时，切记此点的横坐标是直线与椭圆方程联立后一元二次方程的一个根与椭圆方程联立后一元二次方程的一个根.333333133 3ABk，1.求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹方程法和待定系数法，方程法和待定系数法，(1)由椭圆的几何性由椭圆的几何性质直接求出参数质直接求出参数a,b；(2)先设出椭圆的标准先设出椭圆的标准方程，根据已知条件列出方程，用待定系数方程，根据已知条件列出方程，用待定系数法求出参数法求出参数a,b.2.解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与用数形结合法、设而不求

22、法、弦长公式及根与系数的关系去解决系数的关系去解决.设直线设直线l与曲线与曲线C交于交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，两点，则则3.椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形的相关问题常为焦点三角形，解决焦点三角形的相关问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解.212122111.ABkxxyyk1.（2009浙江卷）浙江卷）已知椭圆已知椭圆（ab0）的左焦点为）的左焦点为F，右顶点为，右顶点为A，点，点B在椭圆上，且在椭圆上，且BFx轴，直线轴，直线AB交交y轴于点轴于点P.若若则椭圆的离心率是

23、则椭圆的离心率是（ ）A.B.C.D.22221xyab2APPB ，D32221312对于椭圆，因为对于椭圆，因为则则OA=2OF，所以，所以a=2c，所以，所以e=，选，选D. 对于对解析几何中与平面向量对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用汇，也体现了数形结合的巧妙应用.2APPB ，122.（2009福建卷）福建卷）已知直线已知直线x-2y+2=0经经过椭圆过椭圆C:（ab0）的左顶点）的左顶点A和上和上顶点顶点D，椭圆，椭圆C的右顶点为的右顶点为B，点，点S是椭圆是椭圆C上上位于位于x轴上方的动点，

24、直线轴上方的动点，直线AS，BS与直线与直线l:x=分别交于分别交于M,N两点两点.（）求椭圆求椭圆C的方程；的方程；（）求线段求线段MN的长度的最小值；的长度的最小值；22221xyab103（）当线段当线段MN的长度最小时，在椭圆的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点上是否存在这样的点T，使得，使得TSB的面积为的面积为？若存在，确定点？若存在，确定点T的个数，若不存在，说的个数，若不存在，说明理由明理由.15解法解法1：()由已知得由已知得,椭圆椭圆C的左顶的左顶点为点为A(-2，)，上顶点为，上顶点为D(0,1)，所以，所以a=2,b=1.故椭圆故椭圆C的方程为的方程为 +y2=1.

25、()直线直线AS的斜率的斜率k显然存在，且显然存在，且k0，故可设直线故可设直线AS的方程为的方程为y=k(x+2)，从而，从而M y=k(x+2) +y2=124x10 16,.33k（）由由24x得得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.设设S（x1,y1），则（），则（-2）x1= 得得从而从而 即即又又B(2,0),故直线故直线BS的方程为的方程为y=- (x-2).y=-（x-2）x=22164,14kk 21228,14kxk 124,14kyk 由由，得，得x=222284,.1414kkSkk （）14k14k1031031.3yk 所以所以N故故又又k0,所以所以

26、当且仅当即当且仅当即k=时等号成立时等号成立.所以所以k=时，线段时，线段MN的长度取最小值的长度取最小值.101,33k （）161.33kMNk16116182,33333kkMNkk161,33kk 141483()由由()可知，当可知，当MN取最小值时，取最小值时，k= .此时此时BS的方程为的方程为x+y-2=0,S(),所以所以要使椭圆要使椭圆C上存在点上存在点T,使得使得TSB的面积的面积等于，只须点等于，只须点T到直线到直线BS的距离等于，所的距离等于，所以以T在平行于在平行于BS且与且与BS距离等于距离等于 的直线的直线l146 4,5 54 2.5BS 1524上上.24设直线设直线l:x+y+t=0,则由则由 解得解得t=-或或t=-. x+y-=0,得得5x2-12x+5=0.由于由于=440,故直线故直线l与椭圆与椭圆C有两个不有两个不同的交点；同的交点；2242t ，3252当当t=-32时，由时，由22 14xy32 x+y