线性代数实验报告

1、线性代数实验报告数学实验报告题目第一次实验题目一、 实验目的1熟悉MATLAB的矩阵初等运算；2掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令；3会用MABLAB求解线性方程组二、 问题求解和程序设计流程1 已知，在MATLAB命令窗口中建立A、B矩阵并对其进行以下操作：(1) 计算矩阵A的行列式的值(2) 分别计算下列各式： 、 和、 、 、 、 解： （1） 编写程序如下： A=4 -2 2;-3 0 5;1 5 3;B=1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1;a=det(A)运行结果：a =-158 （2）编写程序如下： C=2*A-BD=A*BE=A.*B F=A/BG=ABH=A*AK=A

2、运行结果：C = 7 -7 0 -4 0 13 0 11 5D = 12 10 24 7 -14 -7 -3 0 -8E = 4 -6 8 6 0 -15 2 -5 3F = 0 0 2.0000 -2.7143 -8.0000 -8.1429 2.4286 3.0000 2.2857G = 0.4873 0.4114 1.0000 0.3671 -0.4304 0 -0.1076 0.2468 0H = 24 2 4 -7 31 9 -8 13 36K = 4 -3 1 -2 0 5 2 5 32 在MATLAB中分别利用矩阵的初等变换及函数rank、函数inv求下列矩阵的秩：(1) 求 R

3、ank(A)=? (2) 求解：（1）编写程如下：format ratA=1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4; rref(A)运行结果：ans = 1 0 0 -8/5 0 1 0 0 0 0 1 6/5 由A经初等变换后得到的行最简型可知：A的秩为3。A=1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4;rank(A)直接利用rank函数求出A的秩为3.（2）编写程序如下： B=3 5 0 1;1 2 0 0;1 0 2 0;1 2 0 2; inv(B)运行结果：ans = 2.0000 -4.0000 0 -1.0000 -1.0000 2.5000 0 0

4、.5000 -1.0000 2.0000 0.5000 0.5000 0 -0.5000 0 0.50003. 在MATLAB中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性无关组：,解：编写程序如下：format ratA=1 -1 5 -1;1 1 -2 3;3 -1 8 1;2 3 9 7;a=det(A);if a=0 fprintf(以上矩阵线性相关) b=rref(A)else fprintf(以上矩阵线性无关)end运行结果：以上矩阵线性相关b = 1 0 0 12/11 0 1 0 59/33 0 0 1 -2/33 0 0 0 0 分析：由运行结果可知：该向量组的一

5、个极大无关组为：1，2，3.4、在MATLAB中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解：（1） (2) 解：（1）编写程序如下： format ratA=1 -1 4 -2;1 -1 -1 2;3 1 7 -2;1 -3 -12 6;a=rank(A)if a=4 fprintf(该方程组只有零解n)else a4 fprintf(该方程组有多组解n) a=null(A,r); syms k1 k2 x=k1*a(:,1)+k2*a(:,2)end运行结果：a = 4 该方程组只有零解（2）编写程序如下： format ratB=2 3 1 4;1 -2 4 -5;3 8 -2 13;4

6、 -1 9 -6; rref(B)运行结果：ans = 1 0 2 -1 0 1 -1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 分析：由B的增广矩阵的最简型可知，该方程组有无穷多组解。编程如下： format rat a=null(B,r); syms k1 k2 x=k1*a(:,1)+k2*a(:,2) 运行结果如下： x = -2*k1+k2 k1-2*k2 k1 k2分析：记x3,x4为自由未知量k1,k2，则该方程组的通解为：X1= -2*k1+k2X2= k1-2*k2X3= k1X4= k2 5、化方阵为对角阵.解：编写程序如下： format rat A=2 2 -2;2 5 -4

7、;-2 -4 5;tx,tz=eig(A)运行结果：tx = -963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3 tz = 1 0 0 0 1 0 0 0 10 分析：由以上运行结果可直接得出：A的对角矩阵为tz = 1 0 0 0 1 0 0 0 10 6、求一个正交变换，将二次型化为标准型。解：编写程序如下： A=5 -1 3;-1 5 -3;3 -3 3;P,D=eig(A)运行结果：P = 0.4082 0.7071 -0.5774 -0.4082 0.7071 0.5774 -0.8165 0 -0.57

8、74D = -0.0000 0 0 0 4.0000 0 0 0 9.0000 分析与结论： 由以上运行结果可知，求得的正交向量P为：P = 0.4082 0.7071 -0.5774 -0.4082 0.7071 0.5774 -0.8165 0 -0.5774使得p-1Ap=diag（0,4,9）.因此，通过正交变换X=py，可以将f化为标准型：f=4y22+9y32.第二次实验题目一、实验目的（1） 熟悉三维空间中的线性变换，加深对正交变换保持距离不变性的理解（2） 深刻理解矩阵特征值的内涵二、问题求解和程序设计流程问题：（1）使用图形窗口的旋转工具，你发现了什么问题？你能否说明上述向量

9、序列（点）分布在两个不同的圆周上？若是，你如何证明以及这两个圆的方程是什么？（2）例4与例5生成向量序列（点）在空间分布“形状”不同是因为什么？分别计算例4和例5中变换矩阵的行列式与特征值，你发现了什么？（3）若上述变换矩阵为实对称正交矩阵，情况又如何？解：（1)因为进行迭代并执行程序得：编写程序：x=rand(3,1)A=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x;endplot3(ax(1,:),ax(2,:),

10、ax(3,:),*)运行结果:x = 0.9134 0.6324 0.0975可以观察到上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上。验证如下：编写程序如下：x=0.9134;0.6324;0.0975;A=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x; endfor k=1:99 dot(cross(ax(:,k),ax(:,k+1),ax(:,k+2) end运行结果:ans = -0.2232ans = 0.2232

11、ans = -0.2232ans = 0.2232ans = -0.2232 运行结果按照上述规律依次排列。分析与结论：因为三个向量混合积的结果为相隔一个分别相等，所以可以形成两个半径不同的圆。即上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上。 求圆方程如下： 编写程序如下：x=0.9134;0.6324;0.0975;A=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x; endfor k=3:2:99 if norm(ax(

12、:,1)-ax(:,k)norm(ax(:,1)-ax(:,k+2) d1=norm(ax(:,1)-ax(:,k+2); m1=ax(:,k+2); endendfor t=4:2:98 if norm(ax(:,2)-ax(:,t)norm(ax(:,2)-ax(:,t+2) d2=norm(ax(:,2)-ax(:,t+2); m2=ax(:,t+2); endendr1=d1/2A=(x+m1);A=A;r2=d2/2B=(x+m2);B=B;fprintf(圆1的方程是：(x-%.4f)2+(y-%.4f)2+(z-%.4f)2=%.4f2n,A(1)/2,A(2)/2,A(3)/2

13、,r1)fprintf(圆2的方程是：(x-%.4f)2+(y-%.4f)2+(z-%.4f)2=%.4f2n,B(1)/2,B(2)/2,B(3)/2,r2) 运行结果： r1 = 1.1047r2 = 1.1047圆1的方程是：(x-0.0587)2+(y-0.1072)2+(z-0.0901)2=1.10472圆2的方程是：(x-0.0315)2+(y-0.1026)2+(z-0.1381)2=1.10472分析与结论：上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上，且该两圆半径相等。 （2）两者空间分布不同时由于变换矩阵的行列式互为相反数。 编程如下：formatA=-0.6068,0.44

14、43,-0.6591;-0.4007,-0.8871,-0.2290;-0.6865,0.1251,0.7163;B=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);a,tza=eig(A)b,tzb=eig(B)q=det(A)w=det(B) 运行结果：a = 0.3864 + 0.0000i -0.0081 - 0.6521i -0.0081 + 0.6521i 0.0298 + 0.0000i 0.7068 + 0.0000i 0.7068 + 0.0000i -0.9219 + 0.

15、0000i 0.0195 - 0.2734i 0.0195 + 0.2734itza = 1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.8888 + 0.4583i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.8888 - 0.4583ib = 0.3819 + 0.0000i 0.6535 + 0.0000i 0.6535 + 0.0000i -0.6982 + 0.0000i 0.2040 + 0.4633i 0.2040 - 0.

16、4633i -0.6056 + 0.0000i 0.1769 - 0.5342i 0.1769 + 0.5342itzb = -1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.9512 + 0.3086i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.9512 - 0.3086iq = 1.0000w = -1.0000 分析与结论：由于两矩阵一行列式为1，另一为-1，导致结果不同。（3）编写程序如下：x=rand(3,1)A=1 0 0;0

17、1 0;0 0 1;ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x;endplot3(ax(1,:),ax(2,:),ax(3,:),*) 运行结果： 分析与结论： 选取最简单的以实对称正交矩阵，单位矩阵。得到上述结果，只有一个点。 (4) 编写程序如下：x=rand(3,1);A=rand(3,3);ax=x;n=100; for k=1:n B=rand(3,3); A=orth(B); x=A*x; ax=ax,x;endplot3(ax(1,:),ax(2,:),ax(3,:),*)运行结果：分析与结论：由n+1个点够成一个球，且当上述程序中循环次数n增大时，形成的球体越规整。如当n取1000时，结果如下：三、实验总结与体会 通过此次对matlab的上机学习，我掌握了其基本操作方法，对利用matlab对矩阵进行基本计算，和基本编程都有了了解与学习，并对matlab在矩阵方面的应用有了一定程度的了解和认识。学会了如何用matlab对实际线性代数问