积分变换基本知识1

1、1傅立叶积分变换傅立叶积分变换 （傅氏变换）（傅氏变换）拉普拉斯积分变换拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）（拉氏变换）21、何为积分变换？、何为积分变换？).()(),(Fdttftkba记为记为 所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种变换一个函数变成另一个函数的一种变换. .：变变量量，具具体体形形式式可可写写为为这这类类积积分分一一般般要要含含有有参参原原像像函函数数；是是要要变变换换的的函函数数，这这里里 )(tf像像函函数数；是是变变换换后后的的函函数数， )(F.),(积积分分变变换换核核是是一一个个二二元元函函数数，

2、 tK32、积分变换的产生、积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解到原问题的解. .原原 问问 题题原问题的解原问题的解直接求解困难直接求解困难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换4 傅立叶积分变换傅立叶积分变换1 1、傅立叶变换的概念、傅立叶变换的概念 上一节介绍了：当上一节介绍了：当 f (t) 满足一定条件时，在满足一定条件时，在 f (t) 的连续点处有：的连续点处有：.)(21)( dedeft

3、ftii从从上上式式出出发发，设设1( )( ).(2)2itf tFed ( )( ),(1)itFf t edt 则则5( )( )( )itFf t edtf t 称称为为的的傅傅立立叶叶变变换换简称简称傅氏变换傅氏变换, ,记为记为F F )(F);(tf1( )( )2itf tFed 称称为为傅傅立立叶叶逆逆变变换换简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换, ,记为记为F F )(tf).(1tf 简写简写 f (t) F( ) .傅立叶变换对傅立叶变换对( )( )itFf t edt 像函数像函数1( )( )2itf tFed 原像函数原像函数 6单位脉冲函数单位脉冲函数2 2、 单位脉

4、冲函数单位脉冲函数1 1、 单位脉动函数单位脉动函数 .,0,0,1)(其它其它tt (t)1/Ot0,0,( )lim( )0,0.tttt 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, , 某一瞬时某一瞬时( (设为设为t=0) )进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, , 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, , 则则7 .0,1,0,0)(tttq.)()(lim)()(0ttqttqdttdqtit 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, , 即即 所以所以,

5、当当t 0时时, i (t)=0, 由于由于q (t)不连续不连续, 从而在从而在普通导数意义下普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数, , 得得00(0)(0)1(0)limlim.ttqtqitt 0,0,( ),0.ti tt 广义函数，广义函数，没有普通意义没有普通意义下的函数值下的函数值. .82.1 单位脉冲函数的定义单位脉冲函数的定义定义定义对于任何一个对于任何一个无穷次可微无穷次可微的函数的函数 f(t), 称满足称满足)1()()(lim)()(0tdtfttdtft .)(.)(是单位脉动

6、函数是单位脉动函数这里这里函数函数为为的的tt 2.2 单位脉冲函数的性质单位脉冲函数的性质(1) 积分性质积分性质12( ).( )t dt .11)(lim)(00 tdtdttdt证明：证明：,0,(1) ( )0,0.ttt (2) ( )1.t dt 工程上把下面两个条件作为单位脉冲函数的定义工程上把下面两个条件作为单位脉冲函数的定义9 一些工程书中，一些工程书中，- -函数函数常用一个长度等于常用一个长度等于1 1的有向线的有向线段来表示段来表示. .tO(t)1)3().0()()(ftdtft (2) 筛选性质筛选性质 对于无穷次可微的函数对于无穷次可微的函数 f (t)，有，

7、有一般地一般地)4(. )()()(00 tftdtftt0( ) ( )lim( ) ( )t f t dtt f t dt 证：证：001lim( )f t dt 0lim( )(0) (0)ff 10 求求单位脉冲函数的傅氏变换单位脉冲函数的傅氏变换. .解：解：.1)()(0 ttitietdetF 可见可见, 单位脉冲函数单位脉冲函数 (t)与常数与常数1 1构成了一构成了一傅氏变傅氏变换对换对； 同理同理, , (tt0)和和 亦构成了一个亦构成了一个傅氏变换对傅氏变换对. .0tie 需要指出的是，此处的广义积分是按需要指出的是，此处的广义积分是按(1)(1)式计式计算的，不是普

8、通意义下的积分值，我们称这种傅算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换氏变换为广义的傅氏变换. . 根据傅氏积分公式，函数根据傅氏积分公式，函数f (t)能取傅立叶积能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即( ).f t dt 11 0, 0, 0, 1)(tttu称为单位跃阶函数称为单位跃阶函数.首先注意，这里的变换显然指的是广义变换首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察我们用考察逆变换逆变换的方法证明的方法证明. .则则事事实实上上，设设),(1)( iFdeitfti )(121)().(1)( itu的

9、傅氏变换为的傅氏变换为证明证明111( )22ititededi 12(*).21sin1d)(21sin210 dtedtti由于由于,2sin0 dxxx所以所以当当 t0 时，有时，有.2sinsin000 duuudtutt时时13综上所述，根据综上所述，根据(*), 有有11( )( )f ti F F 0, 021210, 12121tt).(tu 解：由定义，有解：由定义，有10 () F Fdeti )(210)()(0和和 例例3 求求的傅氏逆变换的傅氏逆变换. .210tie 特别地特别地1 ( ) F F.2114.)(200构成了一个傅氏变换对构成了一个傅氏变换对和和即

10、即 tie002()(). (*)itedt 例例4 4 求正弦函数求正弦函数 f (t)=sin 0 t 的傅氏变换的傅氏变换. .解：解：0()sinitFetdt 特别的特别的,2()itedt 002itititeeedti ).(200 tieF15同理，可得同理，可得0012()()ititeedti 即即000(sin)()() .ti F F000(cos)()() .t F F注：我们介绍注：我们介绍- -函数，主要是提供一个应函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性用工具，而不去追求数学上的严谨性. .00001222*()()()() .ii 16 为了叙述

11、方便起见为了叙述方便起见, , 假定在这些性质中假定在这些性质中, , 凡是需凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件. . 1、 线性性质线性性质则则11221122( )( )()().k ftk ftk Fk F.21为为常常数数，其其中中kk11( )( ),f tF 22( )( ),ftF 2、位移性质位移性质.)()(0的的位位移移函函数数为为称称tfttf 00()().itf tteF ( )( ),f tF 时移时移00( )()itef tF 频移频移170001( )cos()(),2f ttFFF F000( )s

12、in()().2if ttFFF F提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明. .1().|f atFaa 3、相似性质、相似性质1,()().aftF 则则-翻转性质翻转性质. .( )( ),f tF 尺度变尺度变换换184 4、微分性质、微分性质 如果如果 f (t) 在在(- , + )上连续或只有有限个可去间上连续或只有有限个可去间断断点点, , 且当且当|t|+ 时时, f(t)0, 则则( )( ),f tF ( )( ).fti F时域时域( )( )()( ).nnftiFd()( )( ).dnnnnit f tF 类似地可推得象函数的导数公

13、式：类似地可推得象函数的导数公式：频域频域196、帕塞瓦尔等式、帕塞瓦尔等式( )( ),f tF 若若则有则有221( )|( )|.2ft dtFd 能量能量积分积分定理定理201、掌握单位脉冲函数的定义、掌握单位脉冲函数的定义2、了解单位脉冲函数的性质了解单位脉冲函数的性质4 4、会求常见函数的傅氏变换和逆变换、会求常见函数的傅氏变换和逆变换. )()()(00 tftdtftt21 卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用在实际问题如线性系统分析中有着重要应用. .1 1、卷积、卷积定义定义 设函数设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义在整个数轴上有定义