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文档简介
1、第二轮复习第74讲 几何证明与计算(“K”字型的妙用) 三角形和四边形作为初中几何的核心知识,是近几年重庆中考重点考查的内容,试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究,能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力,常考的知识包括:全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定,线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识,灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。学习目标:1. 学会识别、构造“K”字型,积累作辅助线的数学经验2. 经历识别、构造基本图形的过程,提高综合分析问题的能力学习重点:会用“K”字型的性质解决问题学习难点: “K”字型的构造学习过程:一、温故知新观察下列基本
2、图形,你能得出什么结论?ABCDE(1)如图,已知:点B、C、D在同一直线上,ACEC,ABBD,EDDB.追问1:这个图形有什么特征?追问2:若AC=CE,若ACCE,你有什么新的发现?ABCDE(2)如图,已知:ABC=ACE=D,问:A、ECD 有何关系?(3)“K”字型呈现形式:二、自主练习:1如图,等边ABC的边长为9,BD=3,ADE=60度,则AE长为 . 2如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE,FE,则EBF的度数是( ).A45 B50 C60 D不确定 三、经典例题:例: 如图,在中,过点C作AC的垂线CE,且CE=CA
3、,连接AE、BE. (1)若,求四边形ABCE的面积; (2)若,求证.四、赢在中考:1小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上(如图),已知2=35,则1的度数为().A55 B35 C45 D125 2如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD顶点A的坐标为(0,2),B点在x轴上,对角线AC,BD交于点M,OM=,则点C的坐标为 3正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,过点E作EFCE交AB于点F若BF=2,BC=6,求FE的长. 五、感悟数学:六、课后作业:1 如图,已知第一象限内的点A在反比例函数 y = 的图象上,第二象限内的点B在反比例函数 y = 的图象上,
4、且OAOB ,tanB= ,则k的值 2. 如图,在中,点B在轴上,且,A点的横坐标是2,AB=3BC,双曲线经过A点,双曲线经过C点,则的值为( ) A12 B9 C6 D33如图, 矩形ABCD的顶点A、D在反比例函数的图象上,顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上,且,再在其右侧作正方形DEFG、FPQR(如图所示),顶点F、R在反比例函数的图象上,顶点E、Q在x轴的正半轴上,则点R的坐标为 4已知:在ABCD中,AECD,垂足为E,点M为AE上一点,且ME=AB,AM=CE,连接CM并延长交AD于点F(1)若点E是CD的中点,求证:ABC是等腰三角形(2)求证:AFM=3BCF德中命制人
5、:邓宏书 审稿人:刘加勇 “K”字型的妙用参考答案二、自主练习:17 2. 【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】过E作HIBC,分别交AB、CD于点H、I,证明RtBHERtEIF,可得IEF+HEB=90,再根据BE=EF即可解题【解答】解:如图所示,过E作HIBC,分别交AB、CD于点H、I,则BHE=EIF=90,E是BF的垂直平分线EM上的点,EF=EB,E是BCD角平分线上一点,E到BC和CD的距离相等,即BH=EI,RtBHE和RtEIF中,RtBHERtEIF(HL),HBE=IEF,HBE+HEB=90,IEF+HEB=90,B
6、EF=90,BE=EF,EBF=EFB=45故选:A【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定,全等三角形对应角相等的性质三、经典例题:【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;矩形的判定与性质;解直角三角形菁优网版权所有【分析】(1)易求得AC的长,即可求得BC,AC的长,根据四边形ABCE的面积=SABC+SACE即可解题;(2)作EDAB,EFBC延长线于F点,易证BAC=ECF,即可证明ABCCFE,可得EF=BC,再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD,即可解题【解答】解:(1)ACCE,CE=CA,AC=CE=AE=,tanBAC
7、=,BAC=30,BC=AC=,AB=BC=,四边形ABCE的面积=SABC+SACE=ABBC+ACCE=+=+1;(2)作EDAB,EFBC延长线于F点,则四边形BDEF为矩形,EF=BD,ACB+ECF=90,ACB+BAC=90,BAC=ECF,在ABC和CFE中,ABCCFE,(AAS)EF=BC,ABE中,AE=BE,EDAB,AD=BD,AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC,即AB=2BC【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的性质,本题中求证ABCCFE是解题的关键四、赢在中考:1.【考点】平行线的性质;余角和补角菁优网版权所有【分析】根据ACB=90,2=3
8、5求出3的度数,根据平行线的性质得出1=3,代入即可得出答案【解答】解:ACB=90,2=35,3=1809035=55,ab,1=3=55故选A【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义,解此题的关键是求出3的度数和得出1=3,题目比较典型,难度适中2. 【考点】正方形的性质;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过点C作CEx轴于点E,过点M作MFx轴于点F,MPy轴,根据正方形的性质可以得出MB=MA,可证明AMPBMF,就可以得出PM=MF,就可以证明四边形OFMP是正方形,由勾股定理就可以求出OF的值,再由AOBPBECF,从而得出C点的纵坐标【
9、解答】解:过点C作CEx轴于点E,过点M作MFx轴于点F,连结EM,MFO=CEO=AOB=APM=90,四边形POFM是矩形,PMF=90,四边形ABCD是正方形,PABC=AMB=90,AM=BM,OAB=EBC,AMP=BMF,AMPBMF(AAS),PM=FM,PA=BF,四边形POFM是正方形,OP=OF=3 ,A(0,2),OA=2,AP=BF=3-2=1,OB=3+1=4,在AOB和BEC中,AOBBEC(AAS),OB=CE=4 ,AO=BE=2OE=4+2=6,C(6,4)故答案为:(6,4)【点评】本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,平行线等分线段定
10、理的运用,坐标与图形的性质的运用,解答时求证四边形POFM是正方形是关键3. 【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】连接CF,由正方形的性质得出B=90,再由EFCE,证得MEFNCE,得出CEF为等腰直角三角形,求得EF=CF,再由勾股定理求得CF即可【解答】解:连接CF,过点E作MNAD,交边AB于点M,边CD于点N.如图所示:四边形ABCD为正方形,可得四边形AMND为矩形,MN=AD=CDDNE=90,BDC=45,DN=ENME=CNEFCE,CEF=90,MEF=ECN且FME=ENC=90MEFNCE(ASA),EF=CECEF为等腰直角三角形,EF=
11、CF,由勾股定理得:CF=2,EF=2=2,故答案为:2【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键六、课后作业:1. 【考点】相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【分析】根据相似三角形的判定与性质,可得,根据tanB=,可得,根据待定系数法,可得答案【解答】解:作ADx轴于点D,作BCx轴于点C,设A点坐标是(x,y),C=D=90AOB=90,BOC+AOD=90,AOD+OAD=90,BOC=OAD,又D=C,OADBOC,tanB=,y=AD=OC,x=O
12、D=BC,第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上,xy=OCBC=2,k=OCBC=23=6,故答案为:6【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,待定系数法求函数解析式2.【考点】反比例函数系数k的几何意义菁优网版权所有【分析】过点A作AEx轴于E,过点C作CFx轴于F,由A点的横坐标是2,且在双曲线y=上,求出点的坐标,得到线段的长度,利用三角形相似得到点的坐标,列方程求解【解答】解:过点A作AEx轴于E,过点C作CFx轴于F,A点的横坐标是2,且在双曲线y=上,A(2,2m),ABC=90,ABC+CBF=ABC+BAC=90,ABC=FCB
13、,ABEBCF,=3,CF=1,BF=,C(1,1),双曲线y=经过C点,1=m,m=3,故选D【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标,相似三角形的判定和性质,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,构造直角三角形3. 【考点】反比例函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题【分析】过D作DMx轴,FNx轴,RIFN,RHx轴,由ABCD为矩形,利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形,继而得到三角形CDM为等腰直角三角形,即两三角形相似,且相似比为1:2,设OB=OC=a,则有CM=DM=2a,表示出D坐标,代入反比例解析式求出a的值,确定出D坐标,得出DM与OM长,利用AAS得到三角
14、形DME与三角形EFN全等,利用全等三角形对应边相等得到ME=FN,DM=EN,设F纵坐标为b,代入反比例解析式得到横坐标为,由OM+ME+EN表示出ON,即为横坐标,列出关于b的方程,求出方程的解得到b的值,确定出F坐标,得到ON,FN的长,同理得到三角形RFI与三角形RQH全等,设R纵坐标为c,由ON+NH表示出横坐标,将R坐标代入反比例解析式求出c的值,即可确定出R坐标【解答】解:过D作DMx轴,FNx轴,RIFN,RHx轴,ABCD为矩形,A与D在反比例图象上,且AB=2BC,BCD=90,OBC=OCB=45,MCD=MDC=45,BOCCMD,且相似比为1:2,设OC=OB=a,则
15、CM=DM=2a,OM=OC+CM=a+2a=3a,D(3a,2a),将D坐标代入反比例y=中得:6a2=6,即a2=1,解得:a=1(负值舍去),DM=2,OM=3,DEFG为正方形,DE=EF,DEF=90,MDE+MED=90,MED+NEF=90,MDE=NEF,在DME和ENF中,DMEENF(AAS),DM=EN=2,FN=ME,设F(,b),则FN=ME=b,ON=OM+ME+EN=3+b+2,可得5+b=,即b2+5b6=0,即(b+6)(b1)=0,解得:b=1或b=6(舍去),F(6,1),即ON=6,FN=1,同理RFIRQH,设RH=RI=NH=c,即R(6+c,c),将R坐标代入y=中得:c(6+c)=6,即c2+6c+9=(c+3)2=15,解得:c=3+或c=3(舍去),则R(3+,3+)故答案为:(3+,3+)【点评】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,利用了方程的思想,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键4. 【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】(1)易证ADC是等腰三角形,所以AC=AD,根据
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