第74讲几何证明与计算(K字型的妙用)

1、第二轮复习第74讲 几何证明与计算（“K”字型的妙用） 三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。学习目标：1. 学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验2. 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力学习重点：会用“K”字型的性质解决问题学习难点： “K”字型的构造学习过程：一、温故知新观察下列基本

2、图形，你能得出什么结论？ABCDE（1）如图，已知：点B、C、D在同一直线上，ACEC，ABBD，EDDB.追问1：这个图形有什么特征？追问2：若AC=CE，若ACCE，你有什么新的发现？ABCDE（2）如图，已知：ABC=ACE=D，问：A、ECD 有何关系？（3）“K”字型呈现形式：二、自主练习：1如图，等边ABC的边长为9，BD=3，ADE=60度，则AE长为 . 2如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则EBF的度数是（ ）.A45 B50 C60 D不确定 三、经典例题：例： 如图，在中，过点C作AC的垂线CE，且CE=CA

3、，连接AE、BE. （1）若，求四边形ABCE的面积； （2）若，求证.四、赢在中考：1小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上（如图），已知2=35，则1的度数为（）.A55 B35 C45 D125 2如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为 3正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EFCE交AB于点F若BF=2，BC=6，求FE的长. 五、感悟数学：六、课后作业：1 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 y = 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y = 的图象上，

4、且OAOB ，tanB= ，则k的值 2. 如图，在中，点B在轴上，且，A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线经过A点，双曲线经过C点，则的值为（ ） A12 B9 C6 D33如图， 矩形ABCD的顶点A、D在反比例函数的图象上，顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且，再在其右侧作正方形DEFG、FPQR（如图所示），顶点F、R在反比例函数的图象上，顶点E、Q在x轴的正半轴上，则点R的坐标为 4已知：在ABCD中，AECD，垂足为E，点M为AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F（1）若点E是CD的中点，求证：ABC是等腰三角形（2）求证：AFM=3BCF德中命制人

5、：邓宏书 审稿人：刘加勇 “K”字型的妙用参考答案二、自主练习：17 2. 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】过E作HIBC，分别交AB、CD于点H、I，证明RtBHERtEIF，可得IEF+HEB=90，再根据BE=EF即可解题【解答】解：如图所示，过E作HIBC，分别交AB、CD于点H、I，则BHE=EIF=90，E是BF的垂直平分线EM上的点，EF=EB，E是BCD角平分线上一点，E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，RtBHE和RtEIF中，RtBHERtEIF（HL），HBE=IEF，HBE+HEB=90，IEF+HEB=90，B

6、EF=90，BE=EF，EBF=EFB=45故选：A【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质三、经典例题：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积=SABC+SACE即可解题；（2）作EDAB，EFBC延长线于F点，易证BAC=ECF，即可证明ABCCFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题【解答】解：（1）ACCE，CE=CA，AC=CE=AE=，tanBAC

7、=，BAC=30，BC=AC=，AB=BC=，四边形ABCE的面积=SABC+SACE=ABBC+ACCE=+=+1；（2）作EDAB，EFBC延长线于F点，则四边形BDEF为矩形，EF=BD，ACB+ECF=90，ACB+BAC=90，BAC=ECF，在ABC和CFE中，ABCCFE，（AAS）EF=BC，ABE中，AE=BE，EDAB，AD=BD，AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，即AB=2BC【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证ABCCFE是解题的关键四、赢在中考：1.【考点】平行线的性质；余角和补角菁优网版权所有【分析】根据ACB=90，2=3

8、5求出3的度数，根据平行线的性质得出1=3，代入即可得出答案【解答】解：ACB=90，2=35，3=1809035=55，ab，1=3=55故选A【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出3的度数和得出1=3，题目比较典型，难度适中2. 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过点C作CEx轴于点E，过点M作MFx轴于点F，MPy轴，根据正方形的性质可以得出MB=MA，可证明AMPBMF，就可以得出PM=MF，就可以证明四边形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由AOBPBECF，从而得出C点的纵坐标【

9、解答】解：过点C作CEx轴于点E，过点M作MFx轴于点F，连结EM，MFO=CEO=AOB=APM=90，四边形POFM是矩形，PMF=90，四边形ABCD是正方形，PABC=AMB=90，AM=BM，OAB=EBC，AMP=BMF，AMPBMF（AAS），PM=FM，PA=BF，四边形POFM是正方形，OP=OF=3 ，A（0，2），OA=2，AP=BF=3-2=1，OB=3+1=4，在AOB和BEC中，AOBBEC（AAS），OB=CE=4 ，AO=BE=2OE=4+2=6，C（6，4）故答案为：（6，4）【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定

10、理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键3. 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】连接CF，由正方形的性质得出B=90，再由EFCE，证得MEFNCE，得出CEF为等腰直角三角形，求得EF=CF，再由勾股定理求得CF即可【解答】解：连接CF,过点E作MNAD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示：四边形ABCD为正方形，可得四边形AMND为矩形，MN=AD=CDDNE=90，BDC=45，DN=ENME=CNEFCE，CEF=90，MEF=ECN且FME=ENC=90MEFNCE（ASA），EF=CECEF为等腰直角三角形，EF=

11、CF，由勾股定理得：CF=2，EF=2=2，故答案为：2【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键六、课后作业：1. 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得，根据tanB=，可得，根据待定系数法，可得答案【解答】解：作ADx轴于点D，作BCx轴于点C，设A点坐标是（x，y），C=D=90AOB=90，BOC+AOD=90，AOD+OAD=90，BOC=OAD，又D=C，OADBOC，tanB=，y=AD=OC，x=O

12、D=BC，第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，xy=OCBC=2，k=OCBC=23=6，故答案为：6【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式2.【考点】反比例函数系数k的几何意义菁优网版权所有【分析】过点A作AEx轴于E，过点C作CFx轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲线y=上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解【解答】解：过点A作AEx轴于E，过点C作CFx轴于F，A点的横坐标是2，且在双曲线y=上，A（2，2m），ABC=90，ABC+CBF=ABC+BAC=90，ABC=FCB

13、，ABEBCF，=3，CF=1，BF=，C（1，1），双曲线y=经过C点，1=m，m=3，故选D【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形3. 【考点】反比例函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题【分析】过D作DMx轴，FNx轴，RIFN，RHx轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：2，设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与OM长，利用AAS得到三角

14、形DME与三角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN，DM=EN，设F纵坐标为b，代入反比例解析式得到横坐标为，由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标，列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON，FN的长，同理得到三角形RFI与三角形RQH全等，设R纵坐标为c，由ON+NH表示出横坐标，将R坐标代入反比例解析式求出c的值，即可确定出R坐标【解答】解：过D作DMx轴，FNx轴，RIFN，RHx轴，ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且AB=2BC，BCD=90，OBC=OCB=45，MCD=MDC=45，BOCCMD，且相似比为1：2，设OC=OB=a，则

15、CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，D（3a，2a），将D坐标代入反比例y=中得：6a2=6，即a2=1，解得：a=1（负值舍去），DM=2，OM=3，DEFG为正方形，DE=EF，DEF=90，MDE+MED=90，MED+NEF=90，MDE=NEF，在DME和ENF中，DMEENF（AAS），DM=EN=2，FN=ME，设F（，b），则FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，可得5+b=，即b2+5b6=0，即（b+6）（b1）=0，解得：b=1或b=6（舍去），F（6，1），即ON=6，FN=1，同理RFIRQH，设RH=RI=NH=c，即R（6+c，c），将R坐标代入y=中得：c（6+c）=6，即c2+6c+9=（c+3）2=15，解得：c=3+或c=3（舍去），则R（3+，3+）故答案为：（3+，3+）【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键4. 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）易证ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根据