第五章劳斯判据

1、本章主要内容 系统（运动）稳定性概念 (Stability)v 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据 静态误差计算 (Static Error)v 有关定义和计算 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)v 各类性能指标定义和二阶系统运动分析第五章 线性定常连续系统分析5.1 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析q 控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定；稳定； q 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t时，其输出也是有界值；时，其输出也是有界值；q 线

2、性系统的稳定性是系统自身的一种属性。线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。5.1.1 系统稳定性的概念及条件系统稳定性的概念及条件一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。其输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统特征根系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）（极点）全部全部具有负实部。具有负实部。 q 解析方法解析方法 求解系统的特征方程求解系统的特征方程q 高阶系统求解困难高阶系统求解困难q 劳斯稳定判据劳斯稳定判据5.1.2 劳斯劳斯(E. J. Routh)稳定判据稳定判据已知系统的特征方程式为：已知系统的特征方程式为：

3、00111 asasasannnn(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正系统特征方程式的系数必须皆为正 必要条件必要条件；(2) 劳斯行列式第一列的系数全为正劳斯行列式第一列的系数全为正 充分条件充分条件；(3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。的个数。劳斯行列式：劳斯行列式：043214321432175316424321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnnn ,13211 nnnnnaaaaab15412 nnnnnaaaaab,17613 nnnnnaaaaab,121311bbaabcn

4、n ,121211ccbbcd 131512bbaabcnn ,141713bbaabcnn ,131312ccbbcd 系统稳定的必要且充分条件是：在系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。第一列的系数全为正号。劳斯稳定判据：劳斯稳定判据：00111 asasasannnn例例5.1利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。 102118712)()(234 ssssssRsY解：解：它的特征方程式是：它的特征方程式是： 01021187234 sss

5、s特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，劳斯行列式：劳斯行列式： 劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。实际上该系统的实际上该系统的4个根为：个根为： jsss73. 015. 1,76. 2,94. 14,321 01234sssss0217101810100001010517157105例例5.2 若一系统的特征方程为：若一系统的特征方程为： 05432234 ssss利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。 解：解：列写劳斯行列式：列写劳斯行列式： 该系统的

6、特征方程式有两个实部为正的特征根，该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。系统不稳定。 系统的系统的4个根为：个根为：jsjs42. 19 . 2,87. 029. 14,32, 1 符号改变一次符号改变一次 符号改变一次符号改变一次 01234sssss04253105006051 几种特殊情况几种特殊情况（1）第一列有零值出现）第一列有零值出现q 用一很小的正数用一很小的正数来代替这个零，并继续劳斯行列式来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算；的计算；q 当得到完整的劳斯行列式后，令当得到完整的劳斯行列式后，令0，检验第一列的检验第一列的符号变化次数；符号变化次数；q 若符号没

7、有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可可利用辅助方程求出；利用辅助方程求出；q若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。稳定根的个数。014222345sssssS5 1 2 1S4 2 4 1S3 0 0S2 1 0S1 0 0S0 0 0 021 21 114系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。特征根（特征根（Matlab:c=1 2 2 4 1 1;roots(c)Matlab:c=1 2 2 4 1 1;roots(c) ) 例例5.3 例例5.4 01510

8、6322345 sssss试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：解：解：计算劳斯行列式如下：计算劳斯行列式如下：15621031012345ssssss0首列整理为首列整理为:1510/25/521012345 ssssss系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。 方程解为：方程解为： 1.3690j 0.9073- -1.84231.5272j 0.82844,532, 1 s ss15151012302530562 05/2 符号改变一次符号改变一次 符号改变一次符号改变一次 （2）某行的系数都为零）某行

9、的系数都为零l l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；大小相等，符号相反；l l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），），然后由然后由 的系数代替零行，继续的系数代替零行，继续 劳斯行列式的计算；劳斯行列式的计算；dssdP)(l l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。通过求解辅助方程求出那些对根。例例5.5 05025482422345 sssss试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为：试判定该系

10、统的稳定性，系统的特征方程为： 解：解：计算劳斯行列式计算劳斯行列式0123455048225241ssssss 辅助多项式：辅助多项式： 50482)(24 sssP00求求p(s)对对s 的导数的导数:ssdssdP968)(3 导数方程的系数代入导数方程的系数代入s3 行。行。896507 .1125024 )2)(5)(5)(1)(1( sjsjsss原原方方程程5007 .1125024)96(0)8(05048225241012345 ssssssjss5, 1 例例5.6 可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根： 50482)(

11、24 sssP行列式第一列系数符行列式第一列系数符号变化一次，号变化一次，说明系统有一个正实说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。部的根，系统不稳定。0)1)(25(22 ss辅助方程是系统特征方程的一个因子式。辅助方程是系统特征方程的一个因子式。5.1.3 劳斯稳定判据的应用劳斯稳定判据的应用1、判断系统的稳定性、判断系统的稳定性2、分析系统参数对系统稳定性的影响、分析系统参数对系统稳定性的影响解题思路：解题思路：1、列出闭环传递函数、列出闭环传递函数2、写出闭环特征方程式、写出闭环特征方程式3、利用劳斯行列式判断、利用劳斯行列式判断例例5.7 控制系统方块图如图所示，确定能保证该控制系统方

12、块图如图所示，确定能保证该系统稳定的系统稳定的K值范围。值范围。KssssKsRsY )2)(1()()(2解：解：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：R(s)Y(s)2)(1(2 ssssK其闭环特征方程为：其闭环特征方程为：劳斯行列式为：劳斯行列式为：02331K为使系统稳定，为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足必须大于零，同时还必须满足:, 0279 K914 K即即01234sssssKKK)7/9(23/7 因此，保证系统稳定的因此，保证系统稳定的K值范围是值范围是。9/140 K0233234 Kssss(2) 若要求闭环极点全部位于若要求闭环极点全部位于s = -1

13、垂线的左侧，求垂线的左侧，求K的取值范围。的取值范围。 例例5.8 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 )177()(20 sssKsG(1)确定使闭环系统产生持续振荡的确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，并求的取值，并求振荡频率。振荡频率。分析：分析： (1) 若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。系统的振荡频率就是此根的虚部值。系统的振荡频率就是此根的虚部值。1 ss (2) 只要把虚部向左平移只要把虚部向左平移1，构成新的，构成新的s 复平面复平面: 用劳斯判据求出所有落在用劳斯判据求出所有落在

14、s平面的根对应的平面的根对应的K值。值。-10ss(1) 确定使闭环系统产生持续振荡确定使闭环系统产生持续振荡的的K的取值，确定振荡频率。的取值，确定振荡频率。解：解： （1）系统闭环传递函数）系统闭环传递函数 )(1)()(00sGsGsG 闭闭KsssK 17723劳斯行列式：劳斯行列式： 007K11971710123KssKss ,07119 K令令由为零的上一行组成辅助方程：由为零的上一行组成辅助方程：则则K=119。07)(2 KssP可求出：可求出：。17,17,172 njss （振荡频率）（振荡频率）)177()(20 sssKsG119？解解：（：（2） 代入闭环特征方程：代入闭环特