第4章被控过程的数学模型(修改)

1、 第第4 4章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型1 1）掌握被控过程机理建模的方法与步骤；掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 2 2）熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；熟悉被控过程的自衡和非自衡特性； 3 3）掌握单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表掌握单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表达式；达式； 4 4）重点掌握被控过程基于阶跃重点掌握被控过程基于阶跃(方波方波)响应的建模步骤、响应的建模步骤、作图方法和数据处理；作图方法和数据处理； 5 5）熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会用用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法

2、程序。 6 6）熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法程序。 4.14.1 过程建模的基本概念过程建模的基本概念4.1.1 4.1.1 被控过程的数学模型及其作用被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的被控过程的数学模型是指过程的输入变量输入变量与与输出变量输出变量之间定量关系的描述之间定量关系的描述过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道控制作用至输出变量的信号联系称为控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道控制通道干扰作用至输出变量的信号联系称

3、为干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道干扰通道过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和 过程的数学模型过程的数学模型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型 过程输出实际上是多个输过程输出实际上是多个输入的函数，每个输入对被控量入的函数，每个输入对被控量的影响都是不一样的，通常选的影响都是不一样的，通常选用一个用一个可控性良好可控性良好的输入作为的输入作为控制量，而其他输入被统称为控制量，而其他输入被统称为外部扰动。外部扰动。被控过程的数学模型在过程控制中的重要性被控过程的数学模型在过程控制中的重要性1)1)全面、深入地掌握被控过程的数学模型

4、是控制系统全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。设计的基础。2)2)良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。3)3)数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件条件 。4)4)通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。导。5)5)利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的

5、解决途径。故障及其原因，并提供正确的解决途径。 4.1.2 4.1.2 被控过程的特性被控过程的特性依据过程特性的不同依据过程特性的不同分为分为自衡特性自衡特性与与无自衡特性无自衡特性、单容特单容特性与多容特性性与多容特性、振荡与非振荡特性等振荡与非振荡特性等 1 1有自衡特性和无自衡特性有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程受到干扰时，其当原来处于平衡状态的过程受到干扰时，其输出量输出量在无人或无控制装置的干预下在无人或无控制装置的干预下，能够自动，能够自动恢复到恢复到原来或新原来或新的平衡状态，则称该过程具有自的平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。衡

6、特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。 无自衡过程及其阶跃响应曲线无自衡过程及其阶跃响应曲线 自平衡特性其传递函数的典型形式有：自平衡特性其传递函数的典型形式有：( )(1)KG sTs一阶惯性环节一阶惯性环节 二阶惯性环节二阶惯性环节 12( )(1)(1)KGsTsTs( )(1)sKeG sTs12( )(1)(1)sKeG sTsTs二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后环节纯滞后环节 具有自衡特性的过程及其响应曲线具有自衡特性的过程及其响应曲线 无平衡特性其传递函数的典型形式有：无平衡特性其传递函数的典型形式有：1()GsT s121( )(1)G

7、sTs T s1( )sG seTs121( )(1)sG seTs Ts一阶环节一阶环节 二阶环节二阶环节 二阶二阶+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶一阶+ +纯滞后环节纯滞后环节 3 3振荡与非振荡过程的特性振荡与非振荡过程的特性在阶跃输入作用下，输出会在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，出现多种形式。图中，a)a)、b)b)和和c)c)为振荡过程，为振荡过程，d)d)和和e)e)为非振荡过程。为非振荡过程。 4 4具有反向特性的过程具有反向特性的过程 对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反

8、的变化方向，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向，则称其为具有反向特性的被控过程。则称其为具有反向特性的被控过程。4 4具有反向特性的过程具有反向特性的过程锅炉汽包水位的变化过程即为典锅炉汽包水位的变化过程即为典型的具有反向特性的过程。型的具有反向特性的过程。 冷水量冷水量 蒸发率蒸发率水位水位进水量大进水量大 汽泡溃灭汽泡溃灭 水位水位 1 1机理演绎法机理演绎法白箱方法 根据被控过程的内部机理，运用已知的根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系静态或动态平衡关系，用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。2 2试验辨识法试验辨

9、识法黑箱方法 先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入输出试验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞输出试验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞后时间等）与模型的参数。后时间等）与模型的参数。 3. 3. 混合法混合法灰箱方法机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法的一种方法4.1.3 4.1.3 过程建模方法过程建模方法4.2 4.2 解析法建立过程的数学模型解析法建立过

10、程的数学模型4.2.14.2.1解析法建模的一般步骤解析法建模的一般步骤1 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；2 2）以物料或能量平衡方程为基本依据）以物料或能量平衡方程为基本依据, ,列写列写基本平衡方程基本平衡方程；3 3）以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始）以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始 条件），得到增量方程；条件），得到增量方程；4 4） 整理得到以增量为变量的微分方程标准形式。整理得到以增量为变量的微分方程标准形式。4.2.2 4.2.2 单容过程的解析法建模单容过程的解析法建模例例1 1：某单容液位

11、过程，如右图。：某单容液位过程，如右图。贮贮罐中液位高度罐中液位高度h为被控参数为被控参数, ,流入贮罐流入贮罐的体积流量的体积流量q1q1为为过程的输入量过程的输入量并可通并可通过阀门过阀门1 1的开度来改变；流出贮罐的的开度来改变；流出贮罐的体积流量体积流量q2q2为过程的干扰为过程的干扰，其大小可，其大小可以通过阀门以通过阀门2 2的开度来改变。试确定的开度来改变。试确定q1q1与与h h之间的数学关系之间的数学关系? ?解解 根据动态物料平衡关系，即在根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位单位时间内贮罐的液体流入量与单位时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存

12、量的变化率时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率12dhqqAdt则有：则有：写为增量形式为写为增量形式为12d hqqAdt 1q2q其中其中h分别为偏离某平衡状态的增量。分别为偏离某平衡状态的增量。A A为贮罐的截面积为贮罐的截面积2R假定假定近似成正比近似成正比, ,而与阀门而与阀门2 2的液阻的液阻成反比成反比2q与与h则有则有 22hqR, ,带入增量式中可得带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式单容液位过程的微分方程增量式 进行拉普拉斯变换，进行拉普拉斯变换，并写成传递函数形式并写成传递函数形式 221d hR AhR qdt 212( )( )( )11H

13、 sRKGsQ sRCsTs其中：其中：CRT2为被控过程的时间常数为被控过程的时间常数 2RK 为被控过程的放大系数为被控过程的放大系数 为被控过程的为被控过程的容量系数容量系数，或称，或称 AC C过程容量，这里过程容量，这里列写基本方程式并增量化列写基本方程式并增量化根据动态物料平衡关系:表示为增量形式有: 偏离某平衡状态 的增量hqq,2102010,hqq水箱截水箱截面积面积 dd 21thAqq dd 21thAqq静态时：0 ddth 21qq 单位时间内水箱内液体流入量与流出量之差水箱内液体容量变化率消去中间变量消去中间变量假定q2与h 近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2

14、 成反比关系，则根据压力关系：22Rhq阀门阻力，即流量增加1m2/s时的液位升高量微分方程与传递函数微分方程与传递函数拉氏变换，得到传递函数形式：整理得到单容液位过程的微分方程增量表示： 综合上述两类关系： dd 21thAqq22Rhq dd122qRhthAR 1A)()( )(221sRRsQsHsG令：过程的时间常数 T=R2A=R2C 过程的放大系数 K=R2 过程的容量系数 C=A则：单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。11A)()( )(221TsKsRRsQsHsG容量：贮存能力大小，即引起单位被控量变化时，被控过程贮存量变化程度。微分方程与传递函数微分方程与传递函数对

15、象框图对象框图21Rcs1Q2 (s)Q1 (s)H(s)水箱的输入量/输出量之间的动态平衡关系阀2的静压力关系一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：KG(s)Ts 1ttx0y( )yxv放大倍数放大倍数K的物理意义的物理意义K表明了稳态时，输出表明了稳态时，输出对输入的放大倍数对输入的放大倍数 。求法：。求法： K = y( ) / x0vK 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。越大，表示对象的输入对输出的影响越大。/0( )(1)t Ty tKxe阶跃响应函数：阶跃响应函数：阶跃响应曲线阶跃响应曲线v时间常数时间常数T的物理意义的物理意义对象受

16、到阶跃输入后，输出达到新的稳态值对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值的的63.2所需的时间，就是时间常数所需的时间，就是时间常数T。或或对象受到阶跃输入后，输出若保持初始速对象受到阶跃输入后，输出若保持初始速度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。0y( ) x (1-)tTt TtKe-10y( )x (1-)TKetT0.632y)00.632xK求法：求法：在相同的在相同的阶跃输入作用阶跃输入作用下，对象的时下，对象的时间常数不同时，间常数不同时，被控变量的响被控变量的响应曲线如图应曲线如图所所示示 。 vT反映了对象输出对输入的响应速度反映了对

17、象输出对输入的响应速度T越大，响应越慢。如水槽对象中越大，响应越慢。如水槽对象中 T=AR ，说，说明水槽面积越大，水位变化越慢。明水槽面积越大，水位变化越慢。vT也反映了过渡过程时间也反映了过渡过程时间被控变量变化到新的稳态被控变量变化到新的稳态值所需要的时间理论上需要无值所需要的时间理论上需要无限长。限长。当当t时，才有时，才有yKx0 ，但是当但是当t =3T 时，便有时，便有： 即即：经过：经过3T时间，输出已经变化了满幅值的时间，输出已经变化了满幅值的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。300y(3 )x (1-)0.95 x0.95y(

18、)-TKeK0y( )x (1-)tTtKetTy)3T例例2 具有纯滞后的单容对象具有纯滞后的单容对象 假设流经长度为假设流经长度为l的管道所需时间为的管道所需时间为0 0，具有，具有纯时延纯时延的单的单容过程的微分方程和传递函数为：容过程的微分方程和传递函数为：T0=R2A K0=R2C=A0与与l有关有关 )-(dd0022tqRhthAR 11A)()( )(0000221ssesTKesRRsQsHsG 在例在例1中中考虑输入液体体积流量为考虑输入液体体积流量为Q0，当进水阀当进水阀1 1的开度的开度产生变化后，需流经长度为产生变化后，需流经长度为l 的管道才能进入水箱，使液位发的管

19、道才能进入水箱，使液位发生变化。生变化。具有纯滞后的单容对象具有纯滞后的单容对象阶跃响应曲线阶跃响应曲线 q0(t)h(t)t例例3 无自衡能力的单容对象无自衡能力的单容对象 考虑例考虑例1中输出液体体积流量中输出液体体积流量Q2通过定量泵来调节，通过定量泵来调节， 液位液位高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。不变。解 根据根据动态物料平衡动态物料平衡关系关系:定量泵导致定量泵导致:整理后得到其增量化方程为：整理后得到其增量化方程为：单容非自衡过程可以采用积分环节加以描述。 dd 21thAqq02q dd 1thAq得到其传递函数为：

20、得到其传递函数为： 1)()( )(1TssQsHsG无自衡能力的单容对象无自衡能力的单容对象阶跃响应阶跃响应无时延非自衡有纯时延非自衡0t1QOt0QOOthOth意义：进水量增加，出水量不变，液位会升高，直到溢出。单容过程模型总结单容过程模型总结 单容控过程中都有一个储存单容控过程中都有一个储存“能量能量”的环节。的环节。液容液容 液位控制系统中水箱的储水量液位控制系统中水箱的储水量 系数为水箱截面积系数为水箱截面积A热容热容 温度控制系统中热水所含的热量温度控制系统中热水所含的热量 系数为热水质量与比热的乘积系数为热水质量与比热的乘积Gcp电容电容 电压控制系统系统中的电容电压控制系统系

21、统中的电容 系数为电容量系数为电容量C 有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡特性的有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡特性的是一个积分环节。是一个积分环节。1.具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象 例如：例如：分离式双容液位槽分离式双容液位槽 过程输入量为过程输入量为Q1 1，过程输出量第二个液位槽的液位过程输出量第二个液位槽的液位h2 2假设：不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所造成的时间延假设：不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所造成的时间延迟，求迟，求h2与与Q1之间的数学关系。之间的数学关系。4.2.3 4.2.3 多容过程的解析法建模多容过程的解析

22、法建模具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象微分方程组微分方程组根据动态平衡关系，有水槽1水槽2阀2阀3 dd 1121thCqq dd 2232thCqq212Rhq323Rhq2112( )1( )1Q sQ sC R s32223( )( )1RHsQ sC R s令：令： 水槽水槽1的过程时间常数的过程时间常数 T1=R2A1=R2C1 水槽水槽2的过程时间常数的过程时间常数 T2=R3A2=R3C2 过程的放大系数过程的放大系数 K=R3获得获得双容液位过程的双容液位过程的传递函数为传递函数为双容自衡过程可以采用二阶环节加以描述。具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容

23、对象传递函数传递函数322121223231221 21212( )( )( ) ( )( )1()1(1)(1)RQ sHsG sQ sQ sC R s C R sC R sC R sKKTT sTT sTsT s具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象对象框图对象框图21Rsc11Q3 (s)Q1 (s)水槽1的输入量/输出量之间的动态平衡关系阀3的静压力关系H1(s)sc21Q2 (s)H2(s)31R水槽2的输入量/输出量之间的动态平衡关系阀2的静压力关系具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象阶跃响应阶跃响应q1q2q3qh1h2ht 与单容过程相比，多容过程受到扰动

24、后，被控量与单容过程相比，多容过程受到扰动后，被控量h2的变化速度并不是一开始就最大，而是要经过一段滞后的变化速度并不是一开始就最大，而是要经过一段滞后后才达到最大，即多容过程对于扰动的响应在时间上存后才达到最大，即多容过程对于扰动的响应在时间上存在滞后，称为在滞后，称为容量滞后容量滞后。 产生容量滞后的原因是两个容积之间存在阻力，所产生容量滞后的原因是两个容积之间存在阻力，所以使以使h2的响应时间向后推移。的响应时间向后推移。具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象容量滞后容量滞后具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象模型简化模型简化sesTRsQsHsG01)()()(0

25、312拐点采用单容过程近似：采用单容过程近似：具有自平衡能力的双容对象具有自平衡能力的双容对象带纯滞后带纯滞后考虑两水槽之间的管道长度，当阀考虑两水槽之间的管道长度，当阀2的开度变化后，需流经长度的开度变化后，需流经长度为为l的管道才能进入贮罐的管道才能进入贮罐2，使液位，使液位h2发生变化。假设流经管道所发生变化。假设流经管道所需时间为需时间为1，则具有纯时延多容过程传递函数为：，则具有纯时延多容过程传递函数为：T0 0+ 1Oth2h2()ssesTResTsTRsG)(03213l0l)1(1)(1( )(具有自平衡能力的多容对象具有自平衡能力的多容对象考虑n个水槽（容器）依次分离式连接

26、类推出多容过程（类推出多容过程（n个）的传递函数个）的传递函数若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则 120nTTTT注：多容过程模型简化过程与双容过程简化为单容过程方法类似。1)(1)(1( )(210sTsTsTKsGn过程的总放大系数各单容过程的时间常数nsTKsG) 1( )(00n=1n=2n=3n=4n=5具有自平衡能力的多容对象具有自平衡能力的多容对象阶跃响应阶跃响应注：容量环节越多输出响应越缓慢2 2、无自平衡能力的双容对象、无自平衡能力的双容对象 考虑输出液体体积流量为Q3通过泵来调节 -水槽水槽1的液位高度变化，会对

27、的液位高度变化，会对Q2产生影响。产生影响。 -水槽水槽2的液位高度变化，不会对的液位高度变化，不会对Q3产生影响。产生影响。 根据多容过程类推关系根据多容过程类推关系:1111)()()(121121sCRsTsQsQsGscsTsQsHsG2222211)()()(得到其传递函数为：得到其传递函数为：注：只要多容过程中存在一个无自衡环节则为无自衡多容过程。sTsTsQsHsQsQsG212212111)()()()()(无自平衡能力的双容对象无自平衡能力的双容对象阶跃响应阶跃响应 h2q1t3.相互作用的双容对象相互作用的双容对象 一串并联式双容液位槽 要求：试求要求：试求h2与与Q1之间

28、的数学描述。之间的数学描述。R2同时受到h1和h2的影响。3、相互作用的双容对象相互作用的双容对象 根据根据动态平衡动态平衡关系，有关系，有水槽水槽1水槽水槽2阀阀2阀阀3 dd 1121thCqq dd 2232thCqq2212Rhhq323Rhq21Rsc11Q3 (s)Q1 (s)两水槽间的关联关系H1(s)sc21Q2 (s)H2(s)31R3. 相互作用的双容对象相互作用的双容对象 3. 相互作用的双容对象相互作用的双容对象 令：令： 水槽水槽1的过程时间常数的过程时间常数 T1=R2A1=R2C1 水槽水槽2的过程时间常数的过程时间常数 T2=R3A2=R3C2 过程的放大系数过

29、程的放大系数 K=R3获得串联获得串联双容液位过程的双容液位过程的传递函数为传递函数为1)()()()(122122112TTTsTTKsQsHsG水槽1与水槽2之间的关联时间常数R3C13.相互作用的双容对象相互作用的双容对象 本过程的阶跃响应仍是单调上升的本过程的阶跃响应仍是单调上升的 ，传递函数可等效为，传递函数可等效为等效时间常数为等效时间常数为1 221212121212121 221212121212122()(22)2()(22)ABTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT)1)(1()()()(12sTsTKsQsHsGBA4.3 4.3 实验法建立过程的数学模型实验法

30、建立过程的数学模型试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。在经典辨识法中，最常用的有在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法基于响应曲线的辨识方法；在现代辨识法中，又以在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最小二乘辨识法最为常用。最为常用。 4.3.1 4.3.1 响应曲线法响应曲线法 响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化输入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再根据输入输出数据，求取过的响应曲线或输出

31、数据，再根据输入输出数据，求取过程的输入输出之间的数学关系。响应曲线法又分为程的输入输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃阶跃响应曲线法响应曲线法和和方波响应曲线法方波响应曲线法 4.3.1.1 4.3.1.1 阶跃响应曲线法阶跃响应曲线法1 1）试验测试前，被控过程应处于相对）试验测试前，被控过程应处于相对稳定稳定的工作状态的工作状态; ; 一、注意事项一、注意事项2 2）在相同条件下应重复多做几次试验）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响，减少随机干扰的影响; ;3 3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的非线

32、性程度非线性程度; ;4 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间再做第二次试验时间再做第二次试验; ; 5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响影响, ,但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。试验结果。 一般取阶跃变化在正常输入信号最大幅值的一般取阶跃变化在正常输入信号最大幅值的5%10%之间，之间，多取多取10%。 控制器控制器被控过程被控过程测量变送测量变送+-ryuym调节阀

33、调节阀信号发生器信号发生器记录仪记录仪实验信号的测取框图实验信号的测取框图二、模型结构的确定二、模型结构的确定在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构 对于大多数过程，数学模型和传对于大多数过程，数学模型和传递函数分别为递函数分别为: :- s00( )e1KG sT s012( )(1)(1)KG sT sT s- s012( )e(1)(1)KG sTsTs00( )1KG sT s一阶惯性一阶惯性一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性 对于某些无自衡特性过程，

34、对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：其对应的传递函数为：01( )G sT s- s01( )eG sT s121( )(1)G sTs T s- s121( )e(1)G sTs T s注意：注意： 对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下，对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下，数学模型结构应尽可能简单数学模型结构应尽可能简单 )1()(000sTKsG直角坐标图解法直角坐标图解法如果过程的阶跃响应曲线在如果过程的阶跃响应曲线在t=0时曲线的斜率最大，随后斜率时曲线的斜率最大，随后斜率逐渐减小，当上升到稳态值是斜率为零，那么该响应曲线可以逐渐减小，当

35、上升到稳态值是斜率为零，那么该响应曲线可以一阶惯性环节来近似。一阶惯性环节来近似。三、模型参数的确定三、模型参数的确定（1 1）确定一阶环节的参数）确定一阶环节的参数 一阶环节参数一阶环节参数(直角坐标图解法直角坐标图解法)1()(000TtexKty设设阶跃输入变化量阶跃输入变化量为为x0 0，一阶无时延环节的阶跃响应为，一阶无时延环节的阶跃响应为以K0 x0/T0为斜率作切线，在t=T0处与y()相交。00)(| )(xKytyt00)(xyK0000|TxKdtdyt)(|000000yxKtTxKTt分分析析过过程程趋于新的稳态：趋于新的稳态： t t=0=0时斜率：时斜率： t t=

36、T=T0 0时响应值：时响应值： 一阶环节参数一阶环节参数(直角坐标图解法直角坐标图解法)由阶跃响应曲线确定由阶跃响应曲线确定y() ，再由，再由K0= y()/x0确定确定K0。由由t=0处作切线，其与处作切线，其与y()的交点所对应的时间为的交点所对应的时间为T0 （OB段）段） 。t0 x( )x tOt( )y ( )y tOABT0一阶环节参数一阶环节参数(直角坐标图解法直角坐标图解法)扩展：由于扩展：由于t=0t=0处，阶跃响应的数值小，切线不易确定。处，阶跃响应的数值小，切线不易确定。 可以采用三个典型点取值的可以采用三个典型点取值的平均平均来确定来确定T0。t( )y ( )y

37、 tO02T0T02T39%( )y63%( )y86.5%( )y)(%39)2(0yTy)(%63)(0yTy)(%5 .86)2(0yTy三个典型点三个典型点在阶跃响应曲线上求得在阶跃响应曲线上求得三个状态下的时间三个状态下的时间t1t1、t2t2、t3t3，不难计算出，不难计算出0T0210322()TttTtt或一般求多个值的平均一般求多个值的平均Time (sec.)AmplitudeStep Response05101520253000.511.522.53 153s0 x)(HTsesTKsG0)1()(000在在t t=0 =0 时斜率几乎为零，之后斜率逐渐增大，达到某点（称

38、为时斜率几乎为零，之后斜率逐渐增大，达到某点（称为拐点）后斜率又逐渐减小，曲线呈现拐点）后斜率又逐渐减小，曲线呈现S S形状。形状。S形曲线（2 2）确定一阶时延环节的参数）确定一阶时延环节的参数 纯滞后的一阶环节参数纯滞后的一阶环节参数(图解法图解法)( )y t( )y ABCDtOT0拐点纯滞后的一阶环节参数纯滞后的一阶环节参数(计算法计算法)1）转换）转换y(t)为相对值：为相对值： 标幺化处理标幺化处理)()()(*ytyty000010)(*tettyTt2）选取两个不同的时间点：）选取两个不同的时间点：0020011)(*1)(*21TtTtetyetytO1t2t1)(* ty

39、)(*1ty)(*2ty纯滞后的一阶环节参数纯滞后的一阶环节参数(计算法计算法)4 4）联立求解）联立求解3 3）取自然对数）取自然对数0022000110)(1ln)(1lnTttyTtty)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln201020110202010120tytytyttyttytyttT两点法常选用的配对点及计算公式两点法常选用的配对点及计算公式(2.5t1-t2)/1.5(t2-t1)/1.20.8650.552t1-t22(t2-t1)0.6320.3930.3(3t1-t2)1.5(t2-t1)0.6320.284Ty*(t2)y*(t1)纯滞后的一阶环

40、节参数纯滞后的一阶环节参数(计算法计算法) 可多取几组计算，最后求平均值。如果不同组之间可多取几组计算，最后求平均值。如果不同组之间获得的数值相差较大，则说明采用该模型结构不合理，获得的数值相差较大，则说明采用该模型结构不合理，可以选用二阶模型近似。可以选用二阶模型近似。补充例题补充例题1 163. 01003 . 6)0()(ryyK5878. 0)10*63. 08 . 21ln()1ln(11KryM7568. 2)10*63. 09 . 51ln()1ln(22KryM利用两点法，取利用两点法，取A(20,2.8)和和B(50,5.9)两点进行计算：两点进行计算：解：解：补充例题补充例

41、题1 15878. 0)10*63. 08 . 21ln()1ln(11KryM7568. 2)10*63. 09 . 51ln()1ln(22KryM8313.137568. 25878. 020502112MMttT21121250*( 0.5878) 20*( 2.7568)11.870.5878 2.7568t Mt MMM87.11 ,83.13 ,63. 0TK可知其参数为：可知其参数为：（3）确定二阶环节的参数）确定二阶环节的参数 012( )(1)(1)KG sTsT s传递函数为：传递函数为：三个需要确定的参数三个需要确定的参数1,T0K2T的确定与一阶环节确定方法相同的确定

42、与一阶环节确定方法相同 0K1T2,T的确定采用的确定采用两点法两点法。二阶无时延环节的输入、输出关系为二阶无时延环节的输入、输出关系为 )ee1 ()(2121221100TtTtTTTTTTxKty 含两个未知数的函数，只要任意求含两个未知数的函数，只要任意求两点就可以解出两点就可以解出T1和和T2，经常取稳，经常取稳态值的态值的40%和和80 % 两点来计算。两点来计算。2 . 0ee6 . 0ee22122111212211212211TtTtTtTtTTTTTTTTTTTT求解可得求解可得)55. 074. 1 ()()(16. 2121221212121ttTTTTttTT注意注意

43、：用这种方法确定：用这种方法确定T1和和T2时，应满足时，应满足120.320.46tt的条件的条件 因为，因为，说明有一个时间常数远大于另一个，说明有一个时间常数远大于另一个，系统可以用一个一阶环节近似。系统可以用一个一阶环节近似。00(1)KT s 其中其中1202.12ttT200)1(sTK其中其中12022.16ttT时，应为二阶以上环节。时，应为二阶以上环节。 当当120.46ttnsTKsG) 1()(00)55. 074. 1 ()()(16. 2121221212121ttTTTTttTT32.021tt当时021TT46.021tt当时25.0)(22121 TTTT这时这

44、个函数取得极大值的条件是：这时这个函数取得极大值的条件是：T1=T2 ，则用一个二阶环节近似则用一个二阶环节近似：对于对于n阶环节传递函数阶环节传递函数nsTKsG) 1()(00nttT16.22100,T可以按可以按近似计算近似计算的大小由下表确定的大小由下表确定12tt其中其中n可以根据可以根据n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高阶过程的高阶过程的n与与12tt的关系的关系h ()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 容量个数越多（阶数容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢

45、。越多），阶跃响应曲线上升越慢。（4）确定二阶时延环节的参数）确定二阶时延环节的参数 二阶时延环节阶跃响应曲线如右图：二阶时延环节阶跃响应曲线如右图： 1)1)(e)(210sTsTKsGs传递函数为：传递函数为：需确定参数需确定参数4个个1,T2T0K,通过拐点通过拐点F作切线作切线, 得纯滞后时间得纯滞后时间 OA0，容量滞后时间，容量滞后时间 ABC以及以及BDTAEDTC、而总的纯滞后时间而总的纯滞后时间 00( )yKxC0可以证明：可以证明：21TT与与ACTT的关系为的关系为xxACxxTT1)1 (其中其中12,TxT12CTTT在在CTTT21的约束条件下，可以解得的约束条件

46、下，可以解得1T2T和和这个方程为超越方程，求解比较复杂，通常采用图解法这个方程为超越方程，求解比较复杂，通常采用图解法 自学自学图解法图解法（5）一阶无自衡环节参数一阶无自衡环节参数sesTsG0001)( )y ttOT00 xtan00 xT （6）二阶无自衡环节参数）二阶无自衡环节参数saeTssTsG-o)1(1)(微分方程为： )()(d)(dddtxtyttyTtTattytyd)(d)()()(d)(dtxtyTttyTTaa传递函数转换为： saeTsTsXsY11)()(参照具有纯滞后环节的一阶惯性环节参数的确定方法，可以求得Ta、T、 nittytyttytyiiii,

47、2 , 1,) 1()()()(有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，改为施有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，改为施加脉宽为加脉宽为t的方波脉冲，得到的响应曲线称为的方波脉冲，得到的响应曲线称为“方波响应方波响应”。4.3.1.2 4.3.1.2 方波响应曲线法方波响应曲线法方波响应曲线法是在正常输入的基础上，施加一方波输方波响应曲线法是在正常输入的基础上，施加一方波输入，并测取相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。入，并测取相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。 一个是在一个是在t = 0时加入的正阶跃信号时加入的正阶跃信号x1（t） 另另 一个是在一个是在 t =t 时加入

48、的负阶跃信号时加入的负阶跃信号x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t）其中，其中， x2（t）= - x1（t -t）原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。tttttxxxx0 x0 x0 根据此式，方波响应根据此式，方波响应可逐点拆分为阶跃飞升曲可逐点拆分为阶跃飞升曲线线y1（t）和）和 y2（t）。）。 对应的响应也为两个阶跃对应的响应也为两个阶跃响应之和：响应之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)= x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)如图输出响

49、应由两个时间相差如图输出响应由两个时间相差t0、极、极性相反、形状完全相同的阶跃响应叠性相反、形状完全相同的阶跃响应叠加而成。加而成。12110()()()()()yty ty ty ty t t110( )( )()y ty ty tt t=0t0 阶跃响应曲线与方波阶跃响应曲线与方波响应曲线重合响应曲线重合 t=2t0 时，时，10010(2 )(2 )( )ytyty t依次类推，即可由方波响应曲线依次类推，即可由方波响应曲线求出完整的阶跃响应曲线求出完整的阶跃响应曲线 10010(3 )(3 )(2 )ytytyt t=0t0 阶跃响应曲线与方波响应曲线重合阶跃响应曲线与方波响应曲线重

50、合 t=2t0 时，时，10010(2 )(2 )( )ytyty t10010(3 )(3 )(2 )ytytyt补充例题补充例题2 2121111( )( )( )( )(), 10( )( )(10)y th th th th th ty th t解：矩形脉冲可看成两个相解：矩形脉冲可看成两个相反方向的阶跃作用的代数和，反方向的阶跃作用的代数和，因此因此11111111111(1)(1)0.46(3)(3)1.7(4)(4)3.7(5)(5)8(8)(8)19(10)(10)(0)26.4(15)(15)(5)36844(20)(20)(10)33.526.459.9hyhyhyhyhy

51、hyhhyhhyh1111111111111(25)(25)(15)27.24471.2(30)(30)(20)21 59.980.9(40)(40)(30)10.480.991.3(50)(50)(40)5.1 91.396.4(60)(60)(50)2.896.499.2(70)(70)(60)1.1 99.2100.3hyhhyhhyhhyhhyhhyhh1(80)(80)(70)0.5 100.3100.8yh11( )( )(10)h ty th t4 .50208 .100)0()(ryyK5736. 0)2*4 .50441ln()1ln(11KryM6224. 1)2*4 .5

52、09 .801ln()1ln(22KryM3021.146224. 15736. 015302112MMttT7963. 66224. 15736. 0)6224. 1(*15)5736. 0(*30212112MMMtMt利用两点法，取利用两点法，取A(15,44)和和B(30,80.9)两点进行计算：两点进行计算：可知其参数为：可知其参数为：80. 6 ,30.14 , 4 .50TK。80. 6 ,30.14 , 4 .50TK。4.3.2 4.3.2 最小二乘法最小二乘法最小二乘回归原理分析：最小二乘回归原理分析： 例：某市场在例：某市场在t t时刻黄瓜销量的数据如下时刻黄瓜销量的数据

53、如下( (其其中中q qt t表示表示t t时刻销售黄瓜的数量时刻销售黄瓜的数量, ,单位为单位为: :斤斤,p,pt t表示表示t t时刻的销售价格时刻的销售价格, ,单位为单位为: :元）：元）：这是一个确定性关系这是一个确定性关系: :ttp411q若若x x、y y之间的关系是随机的，例如之间的关系是随机的，例如tptq概率2.50120.250.500.252.02340.250.500.2501011120.250.500.25这时，方程的形式为这时，方程的形式为 114tttqp 称为随机扰动或随机误差项.t其中 为随机变量.t设对设对y y及及x x做做n n次观测得数据次观测

54、得数据( (xi ,yi) ) (i=1,2,n ). .以以(xi ,yi)为坐标在平面直角坐标系中描点为坐标在平面直角坐标系中描点, ,所得到的这张所得到的这张图便称之为散点图图便称之为散点图.若散点呈直线趋势若散点呈直线趋势,则认为则认为y 与与x的关系可以用一元回归的关系可以用一元回归模型来描述模型来描述. 设线性回归方程为设线性回归方程为 Y=a+bx+Y=a+bx+ 其中其中: :是随机误差是随机误差, , N N(0,(0,2 2).).将将(x(xi i,y,yi i) (i=1,2,) (i=1,2,n),n)逐一代入上式逐一代入上式: :), 0(), 2 , 1(, 2

55、, 12Nninibxayiiii独立同正态分布二元函数 的最小值点 称为a,b的最小二乘估计(简记为OLSE ).),( baQ), ( baniiiniibxaybaQ1212)(),(记n1iii0)bxa(y(2aQn1iiii0 x)bxa(y2bQn1iiin1i2iyxb )x(axnynbxnna,1,111niiniiynyxnx其中所以方程组有解,解得xxxyllbxbya其中n1i2ixx)xx(ln1iiixy)yy()xx(l即最小二乘估计所得回归方程为xbay()yyb xx回归直线经过散点几何中心回归直线经过散点几何中心4.3.2 4.3.2 最小二乘法最小二乘法

56、4.3.2.1 4.3.2.1 离散化模型与输入试验信号离散化模型与输入试验信号1离散化时域模型离散化时域模型如果对被控过程的输入信号如果对被控过程的输入信号u(t) ，输出信号，输出信号y(t)进行采样，进行采样，采样周期为采样周期为T 11( )(1)()(1)()abnanbykayka yk nbukb uk n 则相应得到差分方程为则相应得到差分方程为2输入试验信号输入试验信号（1）输入试验信号的条件与要求）输入试验信号的条件与要求 1）在辨识时间内被控过程的模态必须被输入试验信号持续激励。）在辨识时间内被控过程的模态必须被输入试验信号持续激励。 2）输入试验信号的功率或幅值不宜过大

57、，也不能太小；）输入试验信号的功率或幅值不宜过大，也不能太小；3）输入试验信号对过程的）输入试验信号对过程的“净扰动净扰动”要小；要小；（2）输入试验信号的选取）输入试验信号的选取 白色噪声作为输入试验信号可以保证白色噪声作为输入试验信号可以保证获得较好的辨识效果，但白色噪声在获得较好的辨识效果，但白色噪声在工程上不易实现工程上不易实现 研究表明，最长线性移位寄存器序列研究表明，最长线性移位寄存器序列（简称（简称M序列序列）具有近似白色噪声的）具有近似白色噪声的性能性能 4.3.2.2 4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法e(k)为量测噪声为量测噪声 11A zy kB zu ke k1121

58、21,aannA za za za z 其中其中11212,bbnnBzb zb zb z设时不变设时不变SISO动态系统的数学模型为：动态系统的数学模型为：11( )(1)()(1)()( )abnanbykayka yk nbukb uk nek 模型改写为：模型改写为：已知系统的输入和输出序列已知系统的输入和输出序列 ( ), ( )u ky k求参数求参数,iia b4.3.2.2 4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法将模型写成最小二乘格式为将模型写成最小二乘格式为 Ty kh ke k其中其中 12121,1, , , ,abTabTnnh ky ky k nu ku k na aa

59、b bb 11( )(1)()(1)()( )abnanbykayka yk nbukb uk nek 4.3.2.2 4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法令令k=n+1,n+N,共共N次观测，记次观测，记 (1)(2)()TYynynyn NYHe可得向量形式的方程组：( )(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(1)( )()( )ynyunuynyunuHyn NyN un NuN (1)(2)()Te enenen N4.3.2.3 4.3.2.3 最小二乘问题的解最小二乘问题的解1. 一次完成解法（适用于理论研究一次完成解法（适用于理论研究 ）引入最小二乘准则函数引入最小二乘准则

60、函数 2211LLTkkJeky khk TJY HY H最小二乘估计就是在最小二乘估计就是在残差二乘方准则函数极小意义下残差二乘方准则函数极小意义下的最优参数估计，的最优参数估计，极小化极小化，即可求得参数，即可求得参数( )J的估计值的估计值 。 求偏导，并令其为求偏导，并令其为0即可解得：即可解得： 0TJY HY HTTH HH Y即：当当H列满秩时有最小二乘估计值：列满秩时有最小二乘估计值：1()TTLsH HH Y获得一批输入获得一批输入/输出数据之后，利用这种方法可一次求得相应的参数输出数据之后，利用这种方法可一次求得相应的参数估计值，这种处理问题的方法称为估计值，这种处理问题的