理论力学-动力学-第8章

1、第3篇 工程动力学基础将适用于质点的牛顿第二定律扩展到质点系，将适用于质点的牛顿第二定律扩展到质点系，得到质点系的得到质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理，动量定理、动量矩定理和动能定理，统称为质点系的动力学普遍定理。统称为质点系的动力学普遍定理。 质点系动力学普遍定理的主要特征是：建立了描质点系动力学普遍定理的主要特征是：建立了描述质点系整体运动状态的物理量（动量、动量矩和述质点系整体运动状态的物理量（动量、动量矩和动能）与作用在质点系上的力系的特征量（主矢、动能）与作用在质点系上的力系的特征量（主矢、主矩和功）之间的关系。主矩和功）之间的关系。 第8章 动量定理及其应用 根据工程静力学中

2、所得到的结论，任意力系可向根据工程静力学中所得到的结论，任意力系可向一点简化为一主矢和一主矩，当主矢和主矩同时为零一点简化为一主矢和一主矩，当主矢和主矩同时为零时，该力系平衡；而当主矢和主矩不为零时，物体将时，该力系平衡；而当主矢和主矩不为零时，物体将产生运动。产生运动。质点系的动量定理建立了质点系动量对时质点系的动量定理建立了质点系动量对时间的变化率与主矢之间的关系。间的变化率与主矢之间的关系。本章的内容是大学物理学中相关教学内容的延伸本章的内容是大学物理学中相关教学内容的延伸和扩展，但是不是简单的重复，而且我们将更着重动和扩展，但是不是简单的重复，而且我们将更着重动量定理在工程中的应用。量

3、定理在工程中的应用。 动量定理及其守恒形式动量定理及其守恒形式 返回返回pvm 质点系中所有质点动量的矢量质点系中所有质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质和，称为质点系的动量，又称为质点系动量的主矢。即：点系动量的主矢。即： iiim vp 质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的基本特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。的投影形式。 ,xiixyiiyziiziiipmvpmvpmv 注意到物理学中，质点系质注意到物理学中，质点系质心位矢公式对时间的一阶导数：心位矢公式对时间的一

4、阶导数： rriiiCmmvviiiCmm 式中，式中，rC为质点系质心的位矢；为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；为质心的速度；m为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为： Cmvp 这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 Cmvp 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。上述

5、动量表达式对于刚体系也是正确的。 动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能描述质点系的转动效应。描述质点系的转动效应。 质点系的动量定理质点系的动量定理对质点系中第对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：个质点应用牛顿第二定律有： 质点的动量定理质点的动量定理 质点的动量对时间的一阶质点的动量对时间的一阶导数，等于作用在质点上的力导数，等于作用在质点上的力其中其中F ii为质点系中其它质点作用在第为质点系中其它质点作用在第i个质点上的力（即内力）；个质点上的力（即内力）； F ei为质点系以外的物体作用在第为质点系以外的物体作用在第i个质

6、点上的力（即外力）。个质点上的力（即外力）。 ied(v )FFFdiiiiimtied(v )FFFdiiiiimtied(v )FFdiiiiiiimted()diiiiimtvF 这就是微分形式的质点系动量定理这就是微分形式的质点系动量定理(theorem of the momentum of the system of particles)，即：质点系的动量对时间的变化率等，即：质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。式中于质点系所受外力系的矢量和。式中 或或 为作用在质点系为作用在质点系上的外力系主矢。上的外力系主矢。 eRFiieFed()diiiiimtvFeeR

7、dpFFdiit 将上述方程两侧积分，便得到积分形式的质点系动量定理，将上述方程两侧积分，便得到积分形式的质点系动量定理，也称为质点系的冲量定理也称为质点系的冲量定理(theorem ofimpulse)： 这表明：质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点这表明：质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。这一定理广泛应用于求解碰撞问题。系所受外力冲量。这一定理广泛应用于求解碰撞问题。 ed()diiiiimtvFeeRd pFFdiit21e21ppF dIteiiiitt如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，即如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，即 时，由上时，由上述方程

8、可知，质点系的动量保持不变。即述方程可知，质点系的动量保持不变。即eR0F 112Cpp 这就是质点系动量守恒定理这就是质点系动量守恒定理(theorem of the conservation of momentum of a system of particles)。式中。式中C1为常矢量，由运动为常矢量，由运动的初始条件决定。的初始条件决定。eeRdpFFdiit21e21ppF dIteiiiitt实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式：实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式： 若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴

9、上的投影恒为零，由上式可知，投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。质点系的动量在该坐标轴上守恒。例如例如 式中式中C2为常量，由运动初始条件决定。为常量，由运动初始条件决定。 eeReeReeRddddddxixxiyiyyizizzipFFtpFFtpFFte20RxxFpC, 例例 题题 1 图示系统中，三个重物的质量分别为图示系统中，三个重物的质量分别为m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为子相连接，四棱柱体的质量为m4 ，速度，速度为为v。如略去一切摩擦和绳子的重量。如略去一切摩擦和绳子的重量,假假设物体相对四棱柱体的

10、速度设物体相对四棱柱体的速度 已知。已知。 求：求： 1系统动量的表达式；系统动量的表达式； 2系统初始静止，当物块系统初始静止，当物块1下降下降s时，时，求四棱柱体的速度和四棱柱体相对地求四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。面的位移。rv解：解：1. 1. 确定系统的动量表达式。建立确定系统的动量表达式。建立坐标系如图示。根据坐标系如图示。根据jivp)()(iyiiixiiiiivmvmm 取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为各物块相对四棱柱体的速度为vr，则，则 vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(0)(0sin

11、4r32r1mvmmvmpy123412r13rp()(cos) i (sin)jmmmm vmm vmm v解：解：2. 2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。体相对地面的位移。 因不计一切摩擦，系统在水平方向因不计一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即上动量守恒，即 1r2r34( cos)()0 xpm vvm vvm vm v123412r()(cos)0mmmm vmm v由此解得由此解得 r432121cosvmmmmmmv解解2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。相对地面的位移。 又因为系统初始静止，故

12、在水平方向上质心守恒。对上式积分，又因为系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，得到四棱柱体的位移。得到四棱柱体的位移。 r432121cosvmmmmmmvsmmmmmmx432121cos返回返回质心运动定理质心运动定理(theorem of the motion of the center of mass)是质点系动量定理的另一种形式。是质点系动量定理的另一种形式。pvvciiimmeeRdpFFdiiteeRddddCiimttvpFFeCiimaFddCCtva 这就是这就是质心运动定理质心运动定理：质点系的总质量与质心加速质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上

13、外力的矢量和度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。 直角坐标系中质心运动定理的投影式为：直角坐标系中质心运动定理的投影式为：为质心加速度在直角坐标轴上的投影。为质心加速度在直角坐标轴上的投影。 eCiimaFeeeCixiCiyiCizimxFmyFmzF,CCCxyz 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力位置上，各作用一水平力F和和F，使圆盘由静止开始运动，设，使圆盘由静止开始运动，设F = F，试问哪个圆盘的质心运动得快？，试问哪个圆盘的质心运动得快？(A) A盘质心运动得快盘质心运动得快 (B) B盘

14、质心运动得快盘质心运动得快(C) 两盘质心运动相同两盘质心运动相同 (D) 无法判断无法判断质心运动定理质心运动定理FFAB四种答案中哪一个是正确的？四种答案中哪一个是正确的？BBAAmmvvpcos2sin2lxlyBABBAAmmvvpcos2sin2lxlyBAsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAAsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAAjipcos2sin2lmlm)cos(-sin2ji lmBBAAmmvvpmC= mA+ mB=2mp2(-sini cosj)lm( sincos)cvlij根据上述方程，如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则有

15、根据上述方程，如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则有 0eeRiiFF0CavCC这表明：质点系的质心作匀速直线运动。如果系统初始为静止状这表明：质点系的质心作匀速直线运动。如果系统初始为静止状态，态， ，则质心的位矢为常矢量，则质心的位矢为常矢量 ，质心位置保持不变，质心位置保持不变，即质心守恒。即质心守恒。0Cv1Cr CeCiimaFiizCiiyCiixCFzmFymFxmeee 根据上述方程，如果外力主矢根据上述方程，如果外力主矢在某一坐标轴（例如在某一坐标轴（例如 x 轴）上的轴）上的投影为零，投影为零，eeR0 xixiFF0Cxa2CxvC这就是质心运动守恒定律。这一定律表

16、明：质心速度在某一坐标这就是质心运动守恒定律。这一定律表明：质心速度在某一坐标轴（例如轴（例如x轴）上的投影为常量。轴）上的投影为常量。 如果质心初始为静止状态，如果质心初始为静止状态，即即 , 则质心在则质心在x轴上的座标保持不变。轴上的座标保持不变。0Cxv 电动机的外壳和定子的总质电动机的外壳和定子的总质量为量为 m1 ,质心质心C1与转子转轴与转子转轴 O1 重合重合 ；转子质量为；转子质量为 m2 ，质心质心 O2 与转轴不重合与转轴不重合 ，偏心，偏心距距 O1O2 = e 。若转子以等角速。若转子以等角速度度 旋转旋转 求：求：电动机底座所受的水电动机底座所受的水平和铅垂约束力。

17、平和铅垂约束力。解：解：1. 选择包括外壳的定选择包括外壳的定子、转子的电动机作为研子、转子的电动机作为研究对象。究对象。 2. 系统所受的外力：系统所受的外力：定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。m1gm2gFxFyM 2. 系统所受的外力系统所受的外力定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。3. 各刚体质心的加速度各刚体质心的加速度aC1 0 ;aC2 e 2(向心加速度向心加速度)m1gFxFyMaO2 3. 各刚体质心的加速度各刚体质心的加速度

18、aC1=0 ;aC2=e2(向心加速度向心加速度),eRxiCixiFameRyiCiyiFam 4. 应用质心运动定理应用质心运动定理m1gFxFyMaO22120cosxmmetF 212120sinymmetFm gm g 2120cosxmmetF 212120sinymmetFm gm g 22cosxFmet 2122sinyFm gm gm et22cosxFmet 2122sinyFm gm gm et5. 关于计算结果的分析关于计算结果的分析 动约束力与轴承动反力动约束力与轴承动反力2d2sinyFm et 2d2cosxFm et 约束力何时取最大值与最小值约束力何时取最大

19、值与最小值周期性反复变化的周期性反复变化的约束力对结构的破坏作用约束力对结构的破坏作用sincos2sin()=44由得当时 电动机的外壳和定子的总质量为电动机的外壳和定子的总质量为 m1,质心质心 C1与转子转轴与转子转轴 O1 重合重合 ；转子质量为转子质量为 m2 ，质心，质心 O2 与转轴不与转轴不重合重合 ，偏心距，偏心距 O1O2 = e。转子以等转子以等角速度角速度旋转。旋转。如果如果底座与基础之底座与基础之间没有螺栓固定，初始条件为间没有螺栓固定，初始条件为 ：0，vO2x = 0, vO2y=e 。求：求：1. 电动机跳起的条件；电动机跳起的条件； 2. 外壳在水平方向的运动

20、规律。外壳在水平方向的运动规律。解：解：1. 选择包括外壳的定子、选择包括外壳的定子、转子的电动机作为研究对象，分转子的电动机作为研究对象，分析系统的受力：析系统的受力：定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g; 由于底座与基础之间没有螺栓由于底座与基础之间没有螺栓固定，所以没有水平方向约束力，固定，所以没有水平方向约束力，只有约束力只有约束力Fy、M。FyMm2gm1gFyMm1g 解：解： 2. 分析运动，确定各个刚体分析运动，确定各个刚体质心的加速度质心的加速度 定系定系Oxy固结于地面；固结于地面；xyOy1x1aO2外壳作平移，其质心加速度为外壳作平移，其质心加速度为aO1; 转子作平面运动，其质心加速转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成：度由两部分组成： ae=aO1 (牵连加速度，牵连加速度，水平方向水平方向); ar=aO2=e 2(相对加速度，指相对加速度，指向向O1)。aO1aO1 动系动系O1x1y1固结于固结于外壳。外壳。 解：解：3. 应用质心运动定理应用质心运动定理确定约束力确定约束力eRyiCiyiFam212120sinymmetFm g