模糊数学第四章---模糊关系

1、第三章第三章 模糊关系模糊关系第一节第一节 模糊关系的基本概念模糊关系的基本概念第二节第二节 模糊关系的合成模糊关系的合成第三节第三节 模糊等价关系模糊等价关系第四节第四节 模糊相似关系模糊相似关系第五节第五节 模糊关系应用模糊关系应用 ( (模糊聚类分析和模糊综合评判模糊聚类分析和模糊综合评判) )1. 概念概念定义定义3.1,X Y设是论域 1 , 0:YXR称为从X 到 Y 的模糊关系. 的程度具有关系称为RyxyxR,),(关联度)。特别特别，从X到X的模糊关系称为 X上的模糊关系.).(YXFR显然例如，远远大于 :yxyxyxyx0)(1001),(12 ,101/1) 1 , 2

2、( , 5 . 0) 1 ,11( 101/100) 1 ,101( 第一节第一节 模糊关系的基本概念模糊关系的基本概念2. 运算运算)(,YXFSR设);,(),( ,),(yxSyxRYXyxSR);,(),( ,),(yxSyxRYXyxSR),(),(),)(yxSyxRyxSR),(),(),)(yxSyxRyxSR),(1),(yxRyxRc: (), ).F XYcU I结论是一个软代数但不是布尔代数可推广可推广定义为：的逆)(1XYFRR),(),(1yxRxyR性质性质：ccRR SRSR SRSR )()( (3)()2()() 1 (11111111证明证明：),(1),

3、(),()( (3)1xyRxyRyxR cc).,(1),(1),()(11xyRyxRyxR c从而从而，ccRR )()(113.截关系与强截关系截关系与强截关系),(| ),(yxRyxR截关系的称为R),(| ),(yxRyxR截关系的强称为R截关系与强截关系分别满足截集与强截集性质, )()( tTttTtRR RR1 , 0例如：4. 有限论域上的模糊关系有限论域上的模糊关系 , , ,2121mnyyyYxxxX设 ,1 , 0:YXR得矩阵令),(jiijyxRr nmnnmmrrrrrrrrr212222111211视其为关系R,mnijrR)(即 1 , 0),(),(j

4、ijiyxRyx.,的程度具有关系为Ryxrjiij例1.信任甲，乙，丙RYX 10.80.90.310.90.90.31R例2.80,70,60,50,407 . 1, 6 . 15 . 14 . 1YX ，身高与体重之间的关系为：18 . 02 . 01 . 002 . 08 . 018 . 02 . 01 . 02 . 08 . 018 . 001 . 02 . 08 . 01R,)( ,)(mnijmnijsSrR设ijijjijijisryxSyxRyxSR),(),(),)(则（ijjiijjisyxSryxR),( ,),(即.)(mnijijsrSR所以，.)(mnijijsr

5、SR类似可得：.)1 (mnijcrR),(| ),(jijiyxRyxR| ),(ijjiryxmnijrR)(ijijijrrr01jiijjiryxRxyR),(),(1.1的转置为即RRijijsrjiSR,3 . 05 . 04 . 02 . 07 . 04 . 03 . 06 . 08 . 0cR例例17 . 05 . 06 . 08 . 03 . 06 . 07 . 04 . 02 . 0R4 . 05 . 017 . 03 . 04 . 05 . 06 . 08 . 0S4 . 05 . 06 . 07 . 03 . 04 . 05 . 04 . 02 . 0SR 6 . 05

6、 . 04 . 03 . 07 . 06 . 05 . 06 . 08 . 0cccSRSR)(1011011006 . 0R第二节第二节 模糊关系的合成模糊关系的合成1. 普通关系的合成的特征关系普通关系的合成的特征关系,),(,),(,),(SzyRyxYyTzx 若.SRTSRT 的合成，记为与称为则.),(),( ,),(),(SzyRyxYyTzxzxT 且1111 ),(),(,),(),(,zySyxRyzySyxRy且.),(),(1 zySyxRy).,(),(),(zySyxRzxTy 故)(),(),(ZXPTZYPSYXPR 2. 模糊关系合成的定义模糊关系合成的定义)

7、( ),( ),(ZXFTZYFSYXFR设,),(ZXzx若对).,(),(),(zySyxRzxTYy.SRTSRT的合成，记为与是则称 RRR XXFR,),(2记为当).,(),(),(2zyRyxRzxRXy即., 2(1整数）一般地，n RRRnn3. 有限论域上模糊关系合成有限论域上模糊关系合成, , ,212121nmlzzzZyyyYxxxXnlijnmijmlijtTsSrR)( ,)( ,)(),(),(),(kjjiYykizySyxRzxTj)., 2 , 1 ;, 2 , 1( )(1nklisrtkjjimjki公式：公式：).,(),( 1kjjimjzySyx

8、R)()()(2211mkimkikiiksrsrsrt)5 . 02 . 0() 1 . 07 . 0()8 . 03 . 0()()()(2211mjimjijiijsrsrsrt将矩阵乘法中乘积改为取小，加改为取大6 . 08 . 07 . 03 . 06 . 05 . 08 . 01 . 03 . 08 . 09 . 0012 . 07 . 03 . 03 . 02 . 01 . 03 . 0合成与矩阵乘积规则及注意事项类似第三节 模糊等价关系XXR对称关系：传递关系：1.普通等价关系普通等价关系自反关系：RxxXx),( ,RxyRyx),(),( RzxRzyRyx),(),(),

9、( 且等价关系： 自反、对称、传递利用等价关系R可以对X进行划分(partition), ( | ,RxxxxXx 令 xXXx 2121xxxx或2.模糊自反关系模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)定义),(XXFR，若1),( ,xxRXx则称R为模糊自反关系. 10是普通自反关系，自反RR命题3.1自反自反，反之，若110 RR ,1),( ,)(iiiinnijxxRrrRX有限时，根据主对角线元素是否为根据主对角线元素是否为1判定判定R 是否自反是否自反证明：)10( 1),(,，自反xxRXxR. ),(是普通自反关系即RRxx1),(Rxx. 1),

10、(, 1),(xxRxxR即3. 模糊对称关系模糊对称关系(fuzzy symmetric relations) 定义定义),(XXFR，若),(),( ,xyRyxRXyx则称R为模糊对称关系.X 有 限 时 ，根据矩阵是否为对称阵判定根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系是否对称关系.3 . 01 . 01 . 03 . 0为对称关系显然显然，),(),(,1yxRyxRyxR为模糊对称关系RR1命题3.3. 10是普通对称关系，对称RR证明：),( ,),(yxRRyxR则对称，且设对称，反之，若R ),(),(yxRxyR故.是普通对称关系R ),( Rxy,),( ),(Ryxyx

11、R则令,),(Rxy从而),(),( yxRxyR于是),(),(xyRyxR类似得).,(),( xyRyxR故,Xyx任取4. 模糊传递关系模糊传递关系(fuzzy transitive relations)定义定义.,2是模糊传递的则称若RRR ),(XXFR例如4 . 04 . 015 . 0R4 . 04 . 05 . 05 . 02R则. ,2是传递的故RRR ),(),(,22zxRzxRXzxRR),(),(),(zyRyxRzxRXy),(),(),(,zyRyxRzxRXzyx命题命题3.4),(),(),(,zyRyxRzxRXzyxR传递此此时时传传递递性性即即为为：则

12、则模模糊糊传传递递关关系系为为一一个个若若 .)(,)(,21nnijnrRXXFRxxxX),(),(),( ,kjjikikjixxRxxRxxRXxxx.,jkijikrr rkji亦亦即即，命题命题3.53.5.,1 , 0是普通传递关系是普通传递关系模糊传递模糊传递 RR设设R R是模糊传递的，是模糊传递的，证明：证明： RzyRyx),(),(且且若若 ),(,),(zyRyxR 则则知：知：由命题由命题4 . 3 ),(),(),(zyRyxRzxR.),( Rzx即即.是普通传递关系是普通传递关系 R.,1 , 0是普通传递关系是普通传递关系反过来，设反过来，设 R),(),(

13、,zyRyxRzyx 取取对对 ),(,),(zyRyxR 则则 RzyRyx),( ,),(即即 RzxR),( 的传递性得：的传递性得：由由),(),(),(zyRyxRzxR 于是于是根据命题根据命题3.43.4知：知：R R模糊传递模糊传递. .5. 模糊等价关系模糊等价关系(fuzzy equivalency relations)定义定义 若若R是模糊自反、对称、传递关系，则称是模糊自反、对称、传递关系，则称 R是一个模糊等价关系。是一个模糊等价关系。.6 . 3普通等价关系普通等价关系是是，当当为模糊等价关系当且仅为模糊等价关系当且仅命题命题 RR例如例如:) 111aaaR(0

14、R是对称阵且主对角线元素全为是对称阵且主对角线元素全为1 1，故为，故为模糊对称及自反关系模糊对称及自反关系。.,2等价等价为传递的，从而为传递的，从而故故另外，另外，RRRR 对模糊等价关系，对模糊等价关系，的一个划分的一个划分构成论域构成论域每个每个XR )(,54321XXFRxxxxxX 16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01R划分为：划分为：时，时，,),(11Rxxii .,54321xxxxx对应的划分相同对应

15、的划分相同划分划分时，时，1,),(18 . 0RRxxii ,8 . 06 . 054231xxxxx 时，划分为：时，划分为： ,),(8 . 0542318 . 031xxxxxRxx 划分为：划分为：， ,6 . 05 . 054231xxxxx 时，划分为：时，划分为： ,5 . 04 . 025431xxxxx 时，划分为：时，划分为： 对该水平，无法划分对该水平，无法划分时，全体归为一类，即时，全体归为一类，即4 . 0 随着划分水平的提高，划分加细随着划分水平的提高，划分加细6. 6. 模糊传递闭包模糊传递闭包( (transitive closure) )定义定义 ,(),R

16、 t RF XXt R若满足：( ) ;ii t R 传递 ( ) ;it RR () (),iiiSF XXSRSt R若传递且则.tRR则 称是的 传 递 闭 包R的传递闭包是包含R的最小的传递关系注注(i) 传递闭包若存在，则唯一() iiRRtR传 递 当 且 仅 当命题命题3.7的传递闭包是RRRRRRtkk321)(证明：显然；RRti)( )()()()()( )(11llkkRRRtRtii)(11lklkRR SSRSRSiii22 )(传递，则且若)(),(1RtRSkRSkkk故归纳可证：)(11llkkRRlklkR11mmR2传递即)( )(RtRt命题命题3.8.)

17、( ,|1knkRRtnX则若证明：第一步: 证明),(),(),(),(1211121zyRyyRyxRzxRmmyyym),(),(),(1121zyRyxRzxRy),(),(),( ),(),(),( ),(),( ),)(),(221122111212321211zyRyyRyxRzyRyyRyxRzyRyxRzxRRzxRyyyyy第二步：knknRR11 使得存在,21nyyy,|nX 由于)( jiyyji故存在),()(1zxRijn),(1zxRknk),)(1zxRknk ),(),(),(),(211121zyRyyRyxRzxRnyyynn),(),(),(),(21

18、11zyRyyRyxRzxRnn个元素为1,),(10nyyyxn),(),(),(),(),(1111zyRyyRyyRyxRzxRnjjiin第三步：.)(1knkRRt iniknknnRRRRRR12112)(12)(niniRR依次类推， 时，当nm knkmRR1 iniiniiniRRR111)()(12)(nnRRRRRt.1knkR 例如例如:3 . 05 . 08 . 09 . 02 . 04 . 08 . 03 . 01R8 . 03 . 08 . 04 . 05 . 08 . 08 . 05 . 01 2R则8 . 05 . 08 . 08 . 04 . 08 . 08

19、 . 05 . 01 3R8 . 05 . 08 . 09 . 05 . 08 . 08 . 05 . 01)( 32RRRRt故第四节第四节 模糊相似关系模糊相似关系定义定义3.123.12.是模糊相似关系是模糊相似关系自反、对称，则称自反、对称，则称若若RR1mmRR 为相似关系，考虑为相似关系，考虑假设假设),)(),(1xxRRxxRmm , 1),(),(xxRxxRm命题命题3.143.14.也也是是相相似似关关系系为为相相似似关关系系，则则若若kRR证明：证明：.1为相似关系为相似关系时，时，RRkk.1自反自反故故mR),)(),(1yxRRyxRmm),(),(xzRzyRm

20、z.1对对称称故故mR),(),(yzRzxRmz),(),)(1xyRxyRRmm),(),(xyRyxRmy命题命题3.153.15|()( ).nXnRF XXt RR若且为相似关系，则证明：证明：2RR 先证先证1mmRR递推可得：递推可得：.)(21nnknkRRRRRRt13 . 05 . 03 . 016 . 05 . 06 . 01R例子3215 . 05 . 05 . 016 . 05 . 06 . 01RR3)(RRt),(),(),(2yzRzxRyxRz),(),(),(yxRyxRxxR),(),(2yxRyxR推论推论3.23.2).(|nmRRRnXnm为相似关系

21、，则为相似关系，则且且若若证明：证明：.15. 3mnRR 的证明知：的证明知：由命题由命题.)(1nkkmRRtRR另外另外，.nmRR故故推论推论3.33.3.)(|为为等等价价关关系系为为相相似似关关系系，则则且且若若RtRnX 证明：证明：.)(14. 3为相似关系为相似关系，由命题由命题nRRt是传递的是传递的又又)(Rt.)(为等价关系为等价关系所以，所以，Rt求相似关系求相似关系R的传递闭包的传递闭包nllRRRRRR132lRRt)(加速算法加速算法(二次方法二次方法)：12242kkRRRRR16 . 05 . 04 . 03 . 06 . 015 . 02 . 05 . 0

22、5 . 05 . 011 . 08 . 04 . 02 . 01 . 011 . 03 . 05 . 08 . 01 . 01R.是一个相似关系是一个相似关系R例如：16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 012 . 08 . 04 . 04 . 02 . 015 . 05 . 05 . 08 . 03 . 012R16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 014R,48

23、RR 4)(RRt第五节第五节 模糊关系应用模糊关系应用一、一、 模糊聚类分析模糊聚类分析二、二、 综合评判综合评判一、一、 模糊聚类分析模糊聚类分析Fuzzy Clustering Analysis聚类分析：聚类分析：利用给定的指标对事物进行分类利用给定的指标对事物进行分类模糊聚类分析：模糊聚类分析：将模糊数学方法用于聚类分析将模糊数学方法用于聚类分析问题描述：问题描述：).,(,212121imiiimnxxxxmCCCxxxX所对应的指标为所对应的指标为个指标，其中个指标，其中分类所依据的分类所依据的是是是待分类事物集是待分类事物集模糊聚类分析方法描述模糊聚类分析方法描述第一步：原始数据

24、处理；第二步：标定第一步：原始数据处理；第二步：标定. . .ijjirxx）的的相相似似系系数数（相相关关程程度度与与即即确确定定标定的方法如下：标定的方法如下：（1 1）数量积法）数量积法jixxMjirmkjkikij111mkjkikjixxM1max 其中其中.1 , 02/ )1 (, 0ijijijijrrrr使得使得令所有令所有若存在若存在.1 , 1,ijr 此时此时（2）相关系数法21211)()()(mkjjkmkiikjjkmkiikijxxxxxxxxrmkjkjmkikixmxxmx111 ,1 其中（3）最小-最大法)()(11jkmkikjkmkikijxxxx

25、r（3）绝对值指数法mkjkikxxijer1|（4）绝对值减数法mkjkikijxxcr1|1. 10内分散开，在适当选取，使得其中ijrc写出矩阵 .)(nnijrR所有标定方法满足：1 ,iijiijrrr为相似阵R第三步，聚类. .)(),(进行分类并利用求出RtRt例8 （环境单元分类） 每个环境单元包括空气、水分、土壤、作物四要素，环境单元的污染状况由污染物在四要素中含量的超限量来描述，现设有五个环境单元，它们的污染数据如下： 1x2x5x3x4x55325234355253115241单元单元空气水分土壤作物要素要素试根据这些污染数据对五个环境单元进行分类。1 . 0c 法法，取

26、取标标定定，利利用用绝绝对对值值减减数数411|1 . 01|1ijkikmijkikijxxxxcr1 . 0|)52|43| 35|25(|1 . 0112r55)()5 , 4 , 3 , 2, 1,(ijijrRjir得矩阵得矩阵所有所有类似可求得类似可求得16 . 03 . 04 . 03 . 06 . 015 . 02 . 05 . 03 . 05 . 011 . 08 . 04 . 02 . 01 . 011 . 03 . 05 . 08 . 01 . 01R 1,54321xxxxx 分类为：分类为： 0.8,54231xxxxx 分类为：分类为： 0.6,54231xxxxx

27、 分类为：分类为： 0.5,25431xxxxx 分类为：分类为： 0.4全体归为一类全体归为一类16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 011 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01)(Rt求求得得16 . 03 . 04 . 03 . 06 . 015 . 02 . 05 . 03 . 05 . 011 . 08 . 04 . 02 . 01 . 011 . 03 . 05 . 08 . 01 . 01R 1,54321xxxxx 分类为：分类为： 0.8,54231

28、xxxxx 分类为：分类为： 0.6,54231xxxxx 分类为：分类为： 0.5,25431xxxxx 分类为：分类为： 0.4全体归为一类全体归为一类直接聚类法直接聚类法直接聚类法一般步骤：直接聚类法一般步骤：如如果果求求相相似似类类对对每每个个取取,1|, 1)1 (ijjiirxxx .1,时时的的分分类类即即得得与与合合并并 jijixxxx,)2(所所在在的的等等价价类类与与合合并并若若为为第第二二大大值值取取jiijxxr .类类得得等等价价类类合合并并有有公公共共元元素素的的相相似似得得新新的的相相似似类类).2(,)3(重重复复为为第第三三大大值值取取 直接聚类法与基于传递闭包的分类结果完全相同直接聚类法与基于传递闭包的分类结果完全相同18 . 07 . 06 . 05 . 03 . 03 . 08 . 012 . 08 . 06 . 06 . 05 . 07 . 02 . 015 . 017 . 08 . 06 . 08 . 05 . 017 . 03 . 02 . 05 . 06 . 017 . 014 . 013 . 06