数学1-34函数

1、2021-10-161 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第三节集合与函数2021-10-162元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种性质的事物的全体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集 M表示 M 中排除 0 与负数的集 .2021-10-1632. 表示法表示法：(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,

2、0Nnn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 ZxN x或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数(3) 公式法：2021-10-1641. 区间区间),(ba3.常用集合,ba,(ba),ba), a),(b ),( a,(b ).,( 2. 邻域邻域),( a),(0 a),( a ),( a ),(0 a ),(0 a 2021-10-165是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,4. 4. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如 ,

3、ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AABA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有2021-10-166AcABB定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABABx或B在在A中的余集中的余集2021-10-167二、函数概念, Dx yx , Ry 1. .【函数定义【函数定义】设设数集数集D包含于包含于R，若，若 因变量因变量, , )(Dxxfy 自变量自变量函数函数定义域

4、定义域 )(,000处的处的为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx 函数值函数值 ),(称为函数的称为函数的函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyRf 值域值域则则 f 称为为定义在称为为定义在D上的函数，通常简记为上的函数，通常简记为:f2021-10-1682.【几个特殊的函数举例【几个特殊的函数举例】(1)【常数函数【常数函数】cy c c为常数为常数xyocy 图形是一条平行于图形是一条平行于 轴的直线轴的直线x(2)(2)【绝对值函数【绝对值函数】 00 xxxxxyxy xyo2021-10-169 (3) 【符号函数【符号函数】 010001sgnxxxxy当当

5、当当当当1-1xyoxxx sgn或或xxx sgn2021-10-1610(4) 【取整函数【取整函数 】y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x该函数是数论中一个该函数是数论中一个极为重要的函数极为重要的函数 3.5 3 4 -3.5 2021-10-1611 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1x xy yo o(5) 【 狄利克雷函数狄利克雷函数】2021-10-1612(6) 【取大（小）函数【取大（小）函数】

6、)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2021-10-1613 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. .(7)【分段函数【分段函数】,max,2xx例如例如 其他其他,10,2xxx2021-10-1614 , 2使得使得若若 K 三、具有某种特性的函数1)(Kxf 1. .【有界函数【有界函数】有有若数集若数集,1XxKDX 2)( Kxf ) ( )

7、( 1是其中的一个是其中的一个上有上界上有上界在在称函数称函数KXxf上界上界 ) ( )( 2是其中的一个是其中的一个上有下界上有下界在在称函数称函数KXxf下界下界 (1)【定义【定义】有有若数集若数集, 0,XxMDX 则称函数则称函数 f (x)在在X上上有界有界.否则称否则称无界无界.Mxf )(界不唯一界不唯一2021-10-1615M-MyxoX0 xM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界【结论【结论】上有界上有界在在Xxf)(界界上既有上界又有下上既有上界又有下在在 )(Xxff (x) 在在X上上无界无界MxfXxM )( , , 0 11使得使得2021-10-1616

8、2【单调函数【单调函数】,)(DIDxf区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数, 2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是单调增加单调增加的的 .2021-10-1617)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI 恒恒有有则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是单调减少单调减少的的 .),()(21

9、xfxf 2021-10-16183【函数的奇偶性【函数的奇偶性】偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf图象关于图象关于 y 轴对称轴对称称称 f (x)为为D上的上的偶函数偶函数2021-10-1619有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设, DxD 奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 图象关于图象关于原点原点对称对称则称函数则称函数 f (x)为为D上的上的奇函数奇函数)()(xfxf 2021-10-16202)(xxeexfy 偶函数xyoxexexych双曲余弦 xch记)(2

10、)(xfeexfxx 显然显然2021-10-1621xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦 记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切 记xyth1sh22 xxch显然，显然，2021-10-16224【函数的周期性【函数的周期性】（通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期）. .2l 2l23l 23l,0, lDx且且,Dlx )()(xflxf 则称则称 f (x)为为周期函数周期函数 ,若若称称 l 为为周期周期【定义【定义】2021-10-1623to)(tf22xo2y2周期为周期为 周期为

11、周期为 2【注【注】 周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 .【例如【例如】 常量函数常量函数Cxf )(xysin )sin( tAy2021-10-1624【例【例2】【解【解】,01)( CQxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1单值函数单值函数, ,有界函数有界函数, ,偶函数偶函数, ,周期函数周期函数( (无最小正周期无最小正周期) )不是单调函数不是单调函数, ,特别注意特别注意狄利克雷函数狄利克雷函数2021-10-1625四、函数的四则运算;),()()

12、(1 21DDxxgxfxFy 则：则：;),()()(221DDxxgxfxGy ),(/ )()(3xgxfxHy ,),(y11Dxxf 已知二个函数已知二个函数,),(y22Dxxg . 0)(,21 xgDDx且且2021-10-1626对映射对映射YXf:若若YXf )(, ,则称则称 f 为为满射满射; ; XYf)(Xf 若若,2121xxXxx 有有 )()(21xfxf 则称则称f 为为单射单射; ;若若f 既是满射又是单射既是满射又是单射, ,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. . XY)(Xff满射满射单射单射双射双射五、反函数2021-10-1627五

13、、反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(1yfx 反函数反函数o【定义【定义】若函数若函数)(:DfDf为一、一映射（单射为一、一映射（单射,满射）满射）则存在逆映射则存在逆映射DDff )(:1称此映射称此映射1 f为为 f 的的反函数反函数 .2021-10-1628xy)(xfy 函数函数o)(1xfy 的图形相同；的图形相同；与与)()(1yfxxfy 【注【注】xyo)(xfy ,表表示示因因变变量量用用表表示示用用但但习习惯惯上上，自自变变量量yx.)()(1对对称称的的图图形形关关于于直直线线与与xyxfyxfy 2021-10-1629六、复合函数

14、1. .【复合函数【复合函数】,uy 设设,12xu 21xy (1)【定义【定义】【说明】通常【说明】通常 f 称为外层函数，称为外层函数，g 称为内层函数称为内层函数.1),(Duufy ,),(Dxxgu 1)(DDg 且且则则Dxxgfy , )(设有设有函数链函数链称为由称为由, , 确定的确定的复合函数复合函数, , u 称为称为中间变量中间变量. . 2021-10-1630(2)【注意【注意】,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. .,2cotxy 例如例如,uy

15、,cotvu .2xv 三重复合函数三重复合函数1）构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DDg 不可少不可少. . （即：内层函数在（即：内层函数在复合函数定义域复合函数定义域D内的值域内的值域g(D)一定包含在外层函数的定义域一定包含在外层函数的定义域D1内）内）2021-10-1631七. 初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数与反三角函数三角函数这六种函数这六种函数, ,称为称为基本基本初初等函数等函数. .1.基本初等函数基本初等函数cy 常常数数函函数数) 1 (2021-10-1632xy幂幂函函数数)2(

16、2xy )1 , 1(,0时时当当 21xy xy )0 , 0(.单调递增单调递增)1 , 1(x1y 2xy xy )0 , 0(,0时时当当 .单调递减单调递减.轴轴为为其其两两条条渐渐近近线线轴轴、yx2021-10-1633xay 指指数数函函数数)3()1 , 0(1 a1 a.单调递增单调递增.单调递减单调递减.轴轴为为其其渐渐近近线线x2021-10-1634)ln()4(xygyxa lo对对数数函函数数1 a.单调递增单调递增1 a.单调递减单调递减.轴轴为为其其渐渐近近线线y2021-10-1635xyxyarcsin,sin)5(正正弦弦函函数数与与反反正正弦弦函函数数

17、11 2021-10-1636xyxyarccos,cos)6(余余弦弦函函数数与与反反余余弦弦函函数数2021-10-1637xyxyarctan,tan)7(正正切切函函数数与与反反正正切切函函数数2 2 2 2 2021-10-1638xarcyxycot,cot)8(余余切切函函数数与与反反余余切切函函数数2021-10-1639【定义【定义】 由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限次有限次四则运算四则运算和和有限次有限次的复合的复合运算运算所构成并可用所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数, ,称为称为初等函数初等函数. .否则称为否则称为非初等函数非初等函数.2.初等函

18、数初等函数2021-10-1640八. 平面曲线的其他表示方法),(xfy 它的方程为函数它的方程为函数隐函数表示的圆隐函数表示的圆平面曲线在直角坐标系下，平面曲线在直角坐标系下，20sincos)1 (2ttRytRxR22yx圆圆1. 参数方程形式参数方程形式222yxR 例例如如：有些表示比较复杂，使用不方便，往往用参数方程有些表示比较复杂，使用不方便，往往用参数方程形式或极坐标形式表示形式或极坐标形式表示.,2222xRyxRy 2021-10-1641RrR2)1 (22yx圆圆2. 极坐标形式极坐标形式cos22)2(RrRx22yx圆圆sin22)3(RrRy22yx圆圆oo几个

19、重要曲线几个重要曲线附录附录2.ppto2021-10-1642【例【例1】).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设 【解【解】 1)(),(1)(,)()(xxxexfx ,1)(10时时当当 x , 0 x且且, 12)( xx ;20 x, 0 x且且, 11)(2 xx; 1 x2021-10-1643,1)(20时时当当 x , 0 x且且, 12)( xx ;2 x, 0 x且且, 11)(2 xx ; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 2021-10-1644Znnxn ,13. .【非初等函数举例【非初等函数举例】符号函数符号函数取整函数取整函数xy 当当,n xyo134212 010001sgnxxxxy当当当当当当 CQxQxxDy, 0, 1)(有理数点有理数点无理数点无理数点1x xy yo o狄里克雷函数狄里克雷函数1-1xyo分段函数（略）：分段函数（