第5章多元函数积分学

1、第五章一元函数定积分学一元函数定积分学(分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限方法方法)多元函数积分学多元函数积分学二重积分二重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分多元函数 积 分学 扩展扩展 重点研究：重点研究：二重积分二重积分三重积分三重积分第五章第五章 多元函数积分学多元函数积分学5.2 5.2 二重积分计算二重积分计算 5.3 5.3 二重积分简单应用二重积分简单应用5.1 5.1 二重积分概念和性质二重积分概念和性质 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶),(yxfz D例例1 1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积1.问

2、题的提出问题的提出曲顶柱体曲顶柱体5.1.1 二重积分的概念二重积分的概念解法：解法：用定积分思想解决此问题用定积分思想解决此问题: :曲顶柱体：曲顶柱体：0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶：顶：连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 求其体积。求其体积。“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限” ” ),(yxfz D母线平行于母线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面，D播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积

3、采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和

4、、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取极限作和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoDi),(ii先分割曲顶柱先分割曲顶柱体的底，并取体的底，并取典型小区域，典型小区域，),(yxfz ),(iiDi z =f (x, y)yxz(1)(1)分割分割) , ,2 , 1( :niDi 任任意意分分割割(2)(2)近似近似iii ),(任任取取) ,2 ,

5、1( ),(nifViiii， (3)(3)求和求和 niiii,fV1)( (4)(4)取极限取极限令令 直直径径ini 1max niiii,fV10)(lim 例例2 2 非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, , 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(yx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若Cyx设设D 的面积为的面积为 ,则则CM若若),(yx非均匀非均匀 , , 仍可用仍可用其面密其面密 “分割、分割、 近似、求和、取极限近似、求和、取极限” ” 解决解决。1)1)分割分割用用任意任意曲线网分曲线网分

6、D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域。相应把薄片也分为小区域。Dyx2)2)近似近似中中任取任取一点一点i在在每每个个),(ii3)3)求和求和niiMM1=niiii1=),(4)4)取极限取极限 )(max1inid 令令niiiiM10),(lim i),(ii), 2, 1=(), (niMiiii则第则第 i 小块的质量小块的质量yx两个问题的共性两个问题的共性(1)(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)(2)所求两个问题结构形式相同所求两个问题结构形式相同“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限”10),(limniiiifV10),(l

7、imniiiiM曲顶柱体体积：曲顶柱体体积：平面薄片的质量：平面薄片的质量： 定义：定义：将将 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域), 2, 1=(nii任取任取一点一点,), (iiiniiiif1=0), (lim则称则称f(x,y)可积，可积，上式记为上式记为f(x,y)在在D上的二重积分上的二重积分。Dyxfd),(称为积分变量yx,和式极限和式极限Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作设设f(x,y)是定义在有界区域是定义在有界区域 D上连续函数上连续函数 , niiiif1=),(iiif),(作乘积作乘积并作和并作和)(m

8、ax=1indin个小闭域最大直径个小闭域最大直径,和式极限存在和式极限存在DyxfVd),(曲顶柱体体积可写成：曲顶柱体体积可写成：DyxMd),(平面薄板的质量可写成平面薄板的质量可写成: :若若 f(x,y) 在在D上可积，上可积，也常记作也常记作 d,ddyx二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(二重积分注意的问题：二重积分注意的问题： DDdudvvufdxdyyxf).(),(2)二重积分与积分变量无关与被函数和积分

9、区域有关二重积分与积分变量无关与被函数和积分区域有关, ,(3)几何上二重积分等于几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体体积的代上各部分区域上的柱体体积的代数和。数和。(4)用二重积分的方法可扩展三重积分，即用二重积分的方法可扩展三重积分，即iiiniiufdxdydzzyxf)(),(10lim(1)函数函数f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则f(x,y)在在D上总是可积。上总是可积。5.1.2 5.1.2 二重积分的性质二重积分的性质Dyxfkd ),(. 1( k 为常数为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d ),(. 3DDDyxfyx

10、fyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积，则的面积，则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特别，由于特别，由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有7.(7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ),),(D),(),(fdyxfD设函数设函数 f(x,y) 在闭区域在闭区域D上连续，上连续， 为为D的

11、面积，则的面积，则至少存在一点至少存在一点使使例例1 1 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : dyxdyxDD 32)(,)(其中其中2) 1()2( :22yxD解：解：积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与它与x轴交于点轴交于点 (1,0) ，与直线与直线x+y=1相切，相切，而域而域 D 位位, 1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方于直线的上方, ,故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2 2 判断积分判断积分dxdyyxyx 4322221的正负号。的正负号。解：解：分积分域为分积分域为D1,D2

12、,D3，则，则原式原式 = =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计 . .舍去此项舍去此项例例3 3 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解：D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos1001积分性质积分性质5 5100200I102200即即: : 1.96 I 210101010D10011021xyo5.2 5.2 二重积分的计算二重积分的计算 二重积分的计

13、算的思想二重积分的计算的思想: : 把二重积分计算转化成两把二重积分计算转化成两个定积分的计算个定积分的计算，二重积分计算问题就解决了，分别讨论，二重积分计算问题就解决了，分别讨论直角坐标系下直角坐标系下和和极坐标系下极坐标系下的二重积分的计算。的二重积分的计算。5.2.1 在直角坐标下二重积分的计算在直角坐标下二重积分的计算 二重积分仅与被积函数及积分域有关，二重积分仅与被积函数及积分域有关，为此，先介绍：为此，先介绍： 1.1.积分域积分域 D:若积分区域为：若积分区域为：, bxa ).()(21xyx (1)X-(1)X-型域型域X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )

14、(1xy X X型区域的特点：型区域的特点：a、平行于平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个； b、).()(21xx Y Y型区域的特点：型区域的特点：a、穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与区轴的直线与区域边界的交点不多于两个域边界的交点不多于两个。b、(2)Y-(2)Y-型域：型域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D).()(21yy).()(21yxy(3)(3)矩型域：矩型域：dycbxa Oabdcaxbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy曲顶柱体的体积）(),

15、(VdxdyyxfD2.X-2.X-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 由几何意义，若由几何意义，若(x,y)0，则，则axbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xydxx dxxAdV)(yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注: : 若若(x,y)0仍然适用。仍然适用。注意注意: : 1)上式说明上式说明: : 二重积分可化为二次定积分计算二重积分可化为二次定积分计算; ;2)积分次序：积分次序：X-X

16、-型域型域 先先Y Y后后X;X;3)积分限确定法：积分限确定法：域中一线插，域中一线插， 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：3.Y-3.Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB .),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf 于于是是：同理同理4. 4. 矩形域下二重积分的计算：矩形域下二重积分的计算： Ddcbadxyxfdydyxf),(),( dyc bxa D: Dbadcdyyxfdxdyxf),(),( 例例4 4 计算

17、计算dxdyyxD)341 (11, 22:,yxD-22 xy1-1解解: : 矩形区域既是矩形区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域，先对哪个，先对哪个变量积分都可以。变量积分都可以。dxdyyxD)341(dyyxdx)341 (2211dxyyx112226)41(dxx)41 (22222242xx8注意注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限正确确定积分限, ,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。5.5.利用直角坐标系计算二重积分的步骤利用直角坐标系计算二重积分的步骤(1)画出积分区域的图形，求出边界曲线交点坐标

18、；画出积分区域的图形，求出边界曲线交点坐标；(3)确定积分限，化为二次定积分；确定积分限，化为二次定积分；(2)根据积分域类型，确定积分次序；根据积分域类型，确定积分次序；(4)计算两次定积分，即可得出结果。计算两次定积分，即可得出结果。例例5 5 计算计算,dDyx其中其中D 是抛物线是抛物线y2=x及直线及直线y=x- -2所围成的闭区域。所围成的闭区域。解：解：为计算简便，先对为计算简便，先对x后对后对y积分积分, ,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y

19、2y2y则则 另一解法：另一解法：先对先对y 后对后对 x积分积分, ,DyxdxyxxD, 10:1xyxxD2, 41 :22Dxy22 xy214oyx1D1D1dDyx2dDyx10412xxxxxydydxxydydx两种解法相当交换积分顺序，两种解法相当交换积分顺序，即即型相互转化型与yXDD例例5 5 计算计算,dd2Dxyxe其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyD11xxy 解解: : 由被积函数可知由被积函数可知, ,因此取因此取D为为X 型域型域：100:xxyDDxyxedd2xy0d10d2xxex01212xe)11 (21e10

20、d2xex1x先对先对 x 积分不行积分不行, , 说明：说明：由被积函数考虑由被积函数考虑交换积分顺序。交换积分顺序。例例6 6 更换下列积分更换下列积分I I的次序的次序 31)3(210100),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdxI2xy )3(21xy0 1 2 3 1DdxdyyxfI),()3(210 , 31:2xyxD解解: : 210, 10:xyxDxI型区域的转化成转化成y型区域型区域10 ,23:yyxyD1023),(yydxdyyxfdy例例7 7 计算二次积分计算二次积分 1012xydyedx1, 10: yxxDyx，yD 010:1012xydyed

21、x102dyyey10212ye解：解： 1002yydxedy1002dxxeyy1002dxxeyy)(212102ydey)11 (21e)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型型DbadxxAf(x,y)dxdy)(小小 结结dxdy.yf(xba(x)(x)21 )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY型型.),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf矩形域矩形域 Ddcbadxyxfdydyxf),(),( dyc bxa D: Dbadcdyyxfdxdyxf),(),( 计算二次积分：计算二次积分： 由由内向外内向

22、外逐层计算，逐层计算，内层内层积分计积分计算时，算时，外层积分变量外层积分变量看做常量看做常量。 根据区域形状和类型确定根据区域形状和类型确定积分次序，从而积分次序，从而穿线确定内限穿线确定内限，夹线确定外限夹线确定外限。计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点：化二重积分为二次积分。化二重积分为二次积分。5.2.2 5.2.2 在极坐标下二重积分的计算在极坐标下二重积分的计算)20 ,0(sin,cos rryrx ,r)sin,cos(),( rrfyxf 首先，利用关系式首先，利用关系式可将被积函数可将被积函数 f(x,y) 化为极坐标系中积分变量化为极坐标系中积分变量

23、的函数的函数xyokkr2)(21忽略高阶无穷小在极坐标系下在极坐标系下, , 用同心圆用同心圆 r = =常数常数则除包含边界点的小区域外，小区域的面积则除包含边界点的小区域外，小区域的面积kkkkkkrrr221)(),2, 1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(krkrkkkrrdrddrrkkkk即及射线及射线=常数常数，分划区域，分划区域D为为Dyxfd),(ddrr所以所以Drrf)sin,cos(drrddrd)20 ,0(sin,cosrryrx又因为又因为)sin,cos(),(rrfyxfDo)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos

24、(rrrrf设设,)()(:21rD则则Drrrrfdd)sin,cos(d一、极点不在积分区域一、极点不在积分区域 即即20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD二、极点在积分区域二、极点在积分区域 若若 f (x,y)1，则可求得则可求得D 的面积的面积d)(21202Dd思考：思考：下列各图中域下列各图中域D分别与分别与x, y轴相切于原点，轴相切于原点，试试答：答： ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么? ?(1)(2)22)2(Dd例例8 8 计算二重积分计算二重积分Drdrdry

25、yx222,d22Dyx其中其中D 为圆周为圆周yyx222所围成的闭区域。所围成的闭区域。sin2r原式原式drrsin2020dd03sin38解解: : 利用极坐标利用极坐标:Dsin20r0drsin2003302cos) 1(cos38d832例例9 9 计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: : 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角2reddrr20d由于由于故故坐标计算坐标计算.5.3.1 三重积分的概念三重积分的概

26、念 5.3.2 三重积分的计算三重积分的计算5.3 5.3 三重积分三重积分 5.3.1 三重积分的概念三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: : 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dd

27、dzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通

28、过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高

29、的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作投影法投影法方法方法3. 3. 三次积分法三次积分法设区域设区域:利用投影法结果，利用投影法结果，bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得: :vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd当被积函数

30、在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有

31、特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23

32、154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;

33、2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中为由例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o oxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22y

34、xzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42rzvdddd原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo如图所示, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)c

35、os,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积

36、.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可

37、比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz机动

38、 目录 上页 下页 返回 结束 zoxy23. 设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二. .空间立体的体积空间立体的体积 一一. .平面图形的面积平面图形的面积 二二. .平面薄板的重心平面薄板的重心* *三三. .物体的转动惯量物体的转动惯量* * 5.3 5.3 二重积分的简单应用二重积分的简单应用 5.3.1 5.3.1 几何上的应用几何上的应用5.3.2 5.3.2 物理及力学上的应用物理及力学上的应用一一. .平面薄板的