第三章离散傅里叶变换8

1、1第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform2一、Fourier变换的几种可能形式 时间函数 频率函数连续时间、连续频率傅里叶变换连续时间、离散频率傅里叶级数离散时间、连续频率序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散傅里叶变换3连续时间、连续频率傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。()( )j tX jx t edt 1( )()2j tx tX jed4连续时间、离散频率傅里叶级数 时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。000/20/201()( )Tjk

2、tTX jkx t edtT00( )()jktkx tX jke5离散时间、连续频率序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eed6离散时间、离散频率离散傅里叶变换 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的210( )( )NjnkNnX kx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN7四种傅里叶变换形式的归纳时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0)离散(T)和非周

3、期周期(s=2/T)和连续离散(T)和周期(T0) 周期(s=2/T)和离散(0=2/T0)8二 、周期序列的DFS及其性质( )() x nx nrNrN周期序列：为任意整数 为周期000 ( )() ( )( )aajktakx tx tkTTx tA k e连续周期函数：为周期0002 /jktTke 基频：次谐波分量：0 ( )( )jknkNx nA k e为周期的周期序列：002 /jknNke基频：次谐波分量：9 虽然表现形式上和连续周期函数是相同的，但是离散傅里叶级数的谐波，独立成分有限，这是和连续傅里叶级数不同之处(后者有无穷多个谐波成分)，这是因为：knNjnrNkNjee

4、22r为任意整数也就是 nenerNkk 因 而 对 离 散 傅 里 叶 级 数 , 只 能 取 k = 0 到 k = N - 1 的 独 立 谐 波 分 量 , 不 然 就 会 产 生 二 义性 .因而 ，可展成如下的离散傅里叶级数即 nx 1021NkknNjekXNnx这里的1/N是一个常用的常数, 是k次谐波的系数。 kX10求解系数 kX221201,11 10,1jrNNNjrnNjrnNrmN meeNNre为任意整数其他111, 11022NnmnjrnNjNeemNr则：时，注意：012rNNje其它 r时:11对离散傅里叶级数式两端同乘 , 然后从n0到N-1的一个周期内

5、求和，则得到rNNje2 rXkXeNkXekXNenxrkNkNnnrkNjNkNnNknrkNjrnNjNn111010)(2101010)(2210当k=r时，1110)(2NnnrkNjeN0110)(2NnnrkNjeN当kr时，因为：12 knNjNnenxkX210把r换成k可得这就是求k0到N-1的N个谐波系数 的公式。同时看出 也是一个以N为周期的周期序列，即 kX kX kXenxenxmNkXknNjNnnmNkNjNn210)(210这和复指数只在k0,1，N一1时才各不相同，即离散博里叶级数只有N个不同的系数 的说法是一致的。所以可看出，时域周期序列的离散傅里叶级数频

6、域(即其系数)也是一个周期序列。因而我们把两式一起看作是周期序列的离散傅里叶级数(DFS)对。 kX13周期序列的DFS正变换和反变换：21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中：14( )6x nDFS例：已知序列是周期为 的周期序列， 如图所示，试求其的系数。10( )( )NnkNnX kx n W解：根据定义求解 560( )nknx n W22266222345666141210 8610jkjkjkjkjk

7、eeeee(0)60(1)93 3(2)33(3)0(4)33(5)93 3XXjXjXXjXj154( )( ), ( )8( )( )x nR nx nNx nx nDFS例：已知序列将以为周期 进行周期延拓成，求的。解法一：数值解10( )( )NnkNnX kx n W780( )nknx n W222238881jkjkjkeee 380nknW(0)4(1)121(2)0(3)121(4)0(5)121(6)0(7)121XXjXXjXXjXXj 16 210( )NjknNnX kDFS x nx n e解法二：公式解 2780jknnx n e340jknne222888jkj

8、kjkjkjkjkeeeeee44411jkjkee38sin2sin8jkkek17 X kz与 变换的关系： 010 x nnNx nn令其它 x nz对作 变换: 10NnnnnX zx n zx n z 210jkkNNNnkNz WenX kx n WX z 可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到 X k x n x nzz2Nz18DFS的性质1、线性：其中， 为任意常数, a b11( )( )X kDFS x n22( )( )XkDFS x n若1212( )( )( )( )DFS ax nbxnaXkbXk则192、序列的移位2

9、()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W证：1()( )Nmk i mNi mx i W inm令10( )( )NmkkimkNNNiWx i WWX k203、调制特性( )()nlNDFS W x nX kl10( )( )NlnlnnkNNNnDFS W x nW x n W证：1()0( )Nl k nNnx n W()X kl214、对偶性 因为 所以有： 上式即为：2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN 10102NknkNNkknNjWk

10、XekXnxN 10NknkNWnXkxN kxNnXDFS225、周期卷积和1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk若1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm则2312( )( )( )y nIDFS X kXk证： 11201( )( )NknNkX k Xk WN1112001( )( )NNmkknNNkmx m WXk WN 11()12001( )( )NNn m kNmkx mXk WN1120( )()Nmx m x nm2425142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nx nnR

11、 nx nx n例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 5120( )()mx m x nm26270 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5

12、-4 -3 -2 -1n m1/x n m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m10 8 6 10 14 12 ( )y n28同样11201( )()NlX l XklN12101( )()NlXl X klN12( )( )( )y nx n x n若10( ) ( )( )NnkNnY kDFS y ny n W则29三、离散傅里叶变换（DFT）( )()rx nx nrN( )( )( )Nx nx n Rn ( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同样：X(k)也是一个N点的有限长序列( )( )Nx nNx n长度为 的有限长序列周期为 的

13、周期序列( )Nx n( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓30有限长序列的DFT正变换和反变换：10( ) ( )( ) 01NnkNnX kDFT x nx n WkN101( )( )( ) 01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN2jNNWe其中：10( )( )( )( )( )NnkNNNnX kx n WRkX k Rk或 101( )( )( )( )( )NnkNNNkx nX k WRnx n RnN31x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；DFTz与序列的DTFT和 变换的关系：10( )( )NnnX zx n z10(

14、)( )NnkNnX kx n W10()( )Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。2( )jkkNNz WeX z324( )( ),( )816DFTx nR nx n例：已知序列求的 点和点。 DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjjeeeeee32sin 2sin/2je30j nne411jjee33 8 8x nDFTN 求的 点 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28jkkek38sin2sin8jkkek34 16 16x nDFTN 求的点 216jkX kX e

15、3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkek3536四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：10( ) ( )( )( )NnkNNnX kDFT x nx n WRk101( )( )( )( )NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中： 371、线性：, a b为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若1212( )( )( )( )DFT ax nbx

16、naX kbXk则382、序列的圆周移位( )()( )mNNxnx nmRn 定义：( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm3940有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k ()( ) ()( )NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证： ()( )NDFS x nm Rk( )( )mkNNWX k Rk( )mkNWX k41调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT Xkl

17、RkW x nex n()( )()( )NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()( )NIDFS X kl Rn( )( )( )nlnlNNNW x n RnW x n4221( )cos()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkN21( )sin()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()( )2NNNIDFTXklXklRkj证：1( )( )2nlnlNNWx nW x nj22( )2jnljnlNNeex nj2( )sinnlx nN433、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：( )( )( )eox n

18、x nx n*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn 其中：任意序列可表示成 和 之和:( )ex n( )ox n44*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn45其中：*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共轭反对称分量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共轭对称分量：( )( )( )eox nx nx n任意周期序列：46定义：( )(

19、)( )epopx nxnxn则任意有限长序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圆周共轭反对称序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圆周共轭对称序列：47圆周共轭对称序列满足：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虚部圆周奇对称 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圆周偶对称arg( )arg()( )epepNNxnxNnRn 幅角圆周

20、奇对称 48圆周共轭反对称序列满足：*( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 实部圆周奇对称 Im( )Im()( )opopNNxnxNnRn虚部圆周偶对称 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圆周偶对称 幅角没有对称性49*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )( )epopX kXkXk同理：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中：5051对称性质1)()()()()()()(*10*10*kRkNXkR

21、WnxkRWnxnxDFTNNNnNnkNNnNnkN)()()()()(*kRkNXkRkXnxDFTNNNN证明：52对称性质2)()()(*kXnRnxDFTNN53*( )NXk1*01*00*(1)1*0*()( )()( )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )NnkNNNNNNnNnkNNNnnkNNNnNNnkNNNnNNDFT xnRnxnRn WRkxnWRkx nWRkx nWRkXkRkXk证明：54对称性质3*1Re ( ) ( )( )21( )()( )2( )NNepDFTx nDFT x nDFT xnX kXNkRkXk证明：)()()(

22、21)()(Re*kRkNXkXkXnxDFTNNNep55对称性质4*1 Im ( ) ( )( )21( )()( )2( )NNopDFT jx nDFT x nDFT xnX kXNkRkXk证明：* Im ( )( )1( )() ( )2opNNNDFT jx nXkXkXNkRk56对称性质5( )Re( )epDFT xnX k对称性质6( )Im( )opDFT xnjX k57 序列 DFT共轭对称性( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k58 序列 DFT实数序

23、列的共轭对称性Re ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k59纯虚序列的共轭对称性 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k60偶序列的DFT偶对称即 时有：对称性质7( )()( )()NNx nx NnRnx Nn( )()( )()NNX kXNkRkX Nk6162 证明：101()()0( )( )()()NknNnNN kN nNnX kx n Wx Nn WX Nk6

24、3奇对称序列的DFT奇对称即 时有：证明同上对称性质8( )()( )()Nx nx Nn Rnx Nn ( )()( )()NNX kXNkRkX Nk 64DFT的奇偶虚实性x(n)X(k)偶序列偶序列奇序列奇序列实序列实部为偶，虚部为奇虚序列实部为奇，虚部为偶实偶实偶实奇虚奇虚偶虚偶虚奇实奇65 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x

25、 njx n则12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk661( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epX kDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj67( )2DFT ( )2DFT: ( )x nNNx nNX k例：设是点实数序列，试用一次 点来计算的点( )x n解：将按奇偶分组，令12( )(2 ) 0,1,.,1( )(21) 0,

26、1,.,1x nxnnNx nxnnN12 ( )( )( )w nx njx n构成一个复序列12( )DFT( ) ( )( )( )w nNW kDFT w nX kjXk对进行一次 点运算 得12( )( )1( )( )epopX kWkXkWkjDFTN均为 点( )2DFTX kN而是点?684、对偶性 ( )( )DFT x nX k( )( )( )( )( )()( )NNNNDFT X nDFT X n RnDFS X n RkNxkRk证：若则有：( )()( )NNDFT X nNxkRk695、DFT形式下的Parseval定理11*001( )( )( )( )N

27、Nnkx n y nX k YkN*111*0001( )( )( )( )NNNnkNnnkx n y nx nY k WN证： 11*001( )( )NNnkNknYkx n WN1*01( )( )NkX k YkN7011*001( )( )( )( )NNnkx n x nX k XkN1122001( )( )NNnkx nX kN即： ( )( )y nx n令，则716、圆周卷积和1210( )() ( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )Y kX kXk若1120( ) ( )( )() ( )NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn则12( )( )

28、x nx nN设和都是点数为 的有限长序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk7212( )( )( )( ) ( )Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若， 则 1120( )()Nmx m x nm1120( )( )( )( )() ( )NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120( )()NNNmxmxnm1120( )()NNmx m xnm73圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加12( )(

29、)x nx nN1120( )( )() ( )NNNmy nx m xnmRn1210( )() ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nNN用 表示圆周卷积和74751524 ( )(5)( )( )( )x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1

30、1 1 1n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm8 10 12 14 10 6 ( )y n7677同样，可得11201( )() ( )NNNlX l XklRkN12101( )() ( )NNNlXl XklRkN12( )( )( )y nx nx n若10( ) ( )( )NnkNnY kDFT y ny n W则787、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1122( )01 ( )01x nnNx nnN设：12max,NN N令1112120( )( )*( )( )

31、()Nlmy nx nx nx m x nm2121210( )()( )*( )Nmx m x nmx nx n线性卷积：112120( )( ) ( )( )() ( )NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210( )() ( )( ) ( )NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：NN79讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：1120( )()( )NNmrx mx nrNm Rn1120( )()( )NNrmx m x nrNm Rn()( )lNry nrNRn对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；222( )( )()Nrx nxnx nrN对x

32、2(n)周期延拓：1120( )( )() ( )NcNNmy nx m xnmRn圆周卷积：80121NNNN即 当圆周卷积长度时， 点圆周卷积能代表线性卷积12( )1ly nNN而的长度为( )( )NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1( )lNNNy nN只有当时，以 为周期进行周期延拓才无混叠现象N1212( ) ( )( )*( )x nxnx nxn1212102NNNnNN818283小结：线性卷积求解方法 时域直接求解 ( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N

33、2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)= x(n)*h(n)( ) ( )( )( )y nIZT Y zIZT X zH zz z( ) ( )( ) ( )X zZT x nH zZT h n z变换法 DFT法848、线性相关与圆周相关*( )( )()xynrmx n y nm*()( )nx nm y n线性相关：*( )( )()xxnrmx n x nm*()( )()xxnx nm x nrm自相关函数：85*( )( )()xyyxxyrmrmrm相关函数不满足交换率：*( )( )()yxnrmy n x nm*( ) ()kx k y km*( ) ()kx k y

34、 km *( )()kx k y km *()xyrm*( )( )()xynrmx n y nm86相关函数的z变换：*1( )( )()xyRzX z Yz( )( )mxyxymRzrm z*( )()mmnx n y nm z *( )()mnmx ny nm z*()( )( )k nnkx ny k z*( )( )nknkx n zy k z*1( )()X z Yz87*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e相关函数的频谱：88圆周相关定理 ( )( )xyxyrmIDFT Rk则1*0( )()( )NNNnx n ynmRn* ( )( )( )x

35、yRkX kYk若1*0( ) ()( )NNNny n x nmRn89*( )( )( )xyRkX kYk证：先延拓成周期序列 ( )( )xyxyrmIDFS Rk则 1*01( )( )NmkNkYk X k WN11*001( )( )NNnkmkNNknYkx n W WN11*()001( )( )NNn m kNnkx nYk WN1*0( )()Nnx n y nm1*0( ) ()Nny n x nm 则取主值序列1*0( )()( )NNNnx n ynmRn1*0( )( ) ()( )NxyNNnrmy n x nmRn90当 时，圆周相关可完全代表线性相关121N

36、NN类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系91六 、抽样z变换频域抽样理论时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？抽样条件？内插公式？92 ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：( )( )?X kx n分析：( )z( )( )nnx nX zx n z任意绝对可和的非周期序列，其 变换： 93( )( )NxnX kIDFS令为的：101( )( )( )NnkNNkxnIDFS X kX k WN101( )NmknkNNkmx m WWN 1()01( )Nm n kNmkx m

37、WN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r为任意整数94 x(n)为无限长序列混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M( )X k由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。( )x n所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓1 NM），不失真2NM），混叠失真95频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。NM( )( )( )( )( )NNNxn RnIDFS X kRnx n( )X k( )x n961101( )1N

38、 NkkNzX kNWz( )Mx nNNM点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz用频域采样 表示 的内插公式( )X k( )X z971101( )( )1N NkkNzX kX zNWz内插公式：111( )1NkkNzzNWz内插函数：10( )( )( )NkkX zX kz则内插公式简化为： 20,1,.,1jrNzerN零点：，20 (-1)jkNzeN极点：， 阶98()( )

39、jjkkz eez ()jX e用频域采样 表示 的内插公式( )X k1(1)2sin21sin2kNjNjNNkNeeNkN10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN内插函数：99100102 ()( )()NjkX eX kkN内插公式：212 ()20kikNkNiikN101七 、用DFT对模拟信号作频谱分析102对连续时间非周期信号的DFT逼近()( )j tX jx t edt 1( )2j tx tXjed()( )()j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）将 在 轴上等间隔（T）

40、分段( )x tt2）将 截短成有限长序列( )x n00 tTN， 个时域抽样点N-10()()j nTnX jTx nT e 103002 F 0k 210( )NjnkNnTx n e3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓周期为: 0F001/TF0N-100()()jknTnX jkTx nT e002/2 /sTFfN ( )T DFT x n01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd 21000()NjnkNkFX jke21001()NjnkNskfX jkeN1NN01/()T IDFT X jk104对连

41、续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样0() ( )X jkT DFT x n01( )()x nIDFT X jkT近似逼近：105对连续时间周期信号的DFS逼近000001()( )TjktX jkx t edtT00( )jktkx tXjke010001()()NjknTnX jkx nT eTT0100 NTntnTdtTdtT1）将 在 轴上等间隔（T）分段( )x tt1 ( )DFS x nN02 /TN0TNT2101( )NjnkNnx n eN1062）频域截断：长度正好等于一个周期0100()()NjknTkx nTX jke2100()N

42、jnkNkX jke21001()NjnkNkNX jkeN0()N IDFS X jk01() ( )X jkDFS x nN0( )()x nN IDFS X jk近似逼近：107信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换10810911000shTfTFNf时域采样间隔时域采样频率信号记录长度（频率分辨率）频域采样间隔采样点数信号最高频率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF0TNT111频率响应的混叠失真及参数的选择00sTfNTF2shff时域抽样：001/FT频域抽样：112同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。 所以：00sTfNTFhsff要增加信号

43、最高频率则0NF当 给定必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠， 必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾0002shTffNTFF113hf信号最高频率 的确定0/2htT0112hhfTt114FFT例：有一频谱分析用的处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：11024HzkHz）频率分辨率）信号最高频率0 1 2T NT试确定以下参量：）最小记录长度）抽样点间的最大时间间隔 （即最小抽样频率）3）在一个记录中最少点数1151解： ）最小记录长度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽样间隔 （ ）311012