第7章_一阶电路和二阶电路的时域分析

1、1第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析2动态电路分析动态电路分析一、电路理论的第二部分主要内容一、电路理论的第二部分主要内容:1 、电阻电路分析、电阻电路分析: 分析第一章至第三章的电阻电路的根本依据是分析第一章至第三章的电阻电路的根本依据是KL和和元件的元件的VCR，描述这类电路的方程是代数方程。，描述这类电路的方程是代数方程。2、动态电路分析：、动态电路分析： 含有电容电感等动态元件的电路称之为动态电路。含有电容电感等动态元件的电路称之为动态电路。对动对动态电路的分析是我们电路理论的第二部分主要内容。态电路的分析是我们电路理论的第二部分主要内容。 当然分析的根本依据还是当然分析的根本依据还

2、是KL和和VCR，只是电容电，只是电容电感等动态元件的感等动态元件的VCR是微积分关系，所以，描述动态电是微积分关系，所以，描述动态电路的方程是路的方程是微积分方程微积分方程。动态电路分析动态电路分析3二、研究动态电路的目的：二、研究动态电路的目的：1、应用：、应用：2、防范：、防范： 电子线路中的耦合电路、信号发生电路、整形电路电子线路中的耦合电路、信号发生电路、整形电路等等，自动控制装置中的补偿网络，通信系统中的均衡等等，自动控制装置中的补偿网络，通信系统中的均衡网络等均是动态电路的应用。网络等均是动态电路的应用。 动态电路所体现的特点总是客观存在的，如在系统动态电路所体现的特点总是客观存

3、在的，如在系统中可能会产生过电流，过电压，给工程上带来灾害，所中可能会产生过电流，过电压，给工程上带来灾害，所以要掌握规律，予以防范。以要掌握规律，予以防范。46-1 动态电路方程及其初始条件动态电路方程及其初始条件最简的动态电路是所谓的一阶电路。最简的动态电路是所谓的一阶电路。1、概念：、概念：2、特点：、特点：二、过渡过程：二、过渡过程： 由一个稳定的工作状态转变成另一个工作状态的中由一个稳定的工作状态转变成另一个工作状态的中间过程称为过渡过程。间过程称为过渡过程。至少包含一个储能元件的电路。至少包含一个储能元件的电路。动态电路与电阻电路有本质的不同，任何时刻动态电路与电阻电路有本质的不同

4、，任何时刻电路的响应不仅与此时所施加的激励有关，而电路的响应不仅与此时所施加的激励有关，而且且还与电路自身原来的历史有关。还与电路自身原来的历史有关。一、动态电路一、动态电路: 产生电路过渡过程的产生电路过渡过程的内因内因是动态元件的存在，是动态元件的存在，外因外因 则是所谓的换路。则是所谓的换路。7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件（*） 5三、换路及其时刻：三、换路及其时刻：1、概念：、概念：动态电路中，电路结构和元件参数发生突然的动态电路中，电路结构和元件参数发生突然的变化称为换路。变化称为换路。2、换路时刻的描述：、换路时刻的描述：ut0USUS0u= 0t 0

5、tCR+-USuSt = 0t =0换路，换路，换路经历的时间为换路经历的时间为0-至至0+。t = t-，t = t+的含义的含义t =0-，t =0+的含义的含义60即电容电压不可突变，换路前后是相等的。即电容电压不可突变，换路前后是相等的。一般为有限值。一般为有限值。)(i四、独立的初始条件：四、独立的初始条件：用列解微分方程的方法来分析动态电路称为用列解微分方程的方法来分析动态电路称为经典法经典法。电容电压和电感电流的初始值，电容电压和电感电流的初始值，对线性电容而言，对线性电容而言， 而解微分方程必须确定积分常数。要确定积分常数则必而解微分方程必须确定积分常数。要确定积分常数则必须先

6、确定电路的初始条件。它分为独立的和非独立的两类。须先确定电路的初始条件。它分为独立的和非独立的两类。令令=000tt,换路定则换路定则则则=00)(1)0()0()(diCuutuCCC即为即为独立的初始条件独立的初始条件。)0()0(=CCuudiCtututtCC=00)(1)()(7对偶地，对偶地，对线性电感而言，对线性电感而言，即电感电流（磁链）不发生突变。即电感电流（磁链）不发生突变。即即相当于短路相当于短路!)0()0(=LLii此时，此时，电感就相当于开路电感就相当于开路!0)0(=Li若若特殊地，特殊地，则电容两端电压为则电容两端电压为 对于一个瞬间而言，电容电压不变化，电容两

7、端可用一对于一个瞬间而言，电容电压不变化，电容两端可用一个电压源替代个电压源替代。统称为换路定则。统称为换路定则。SCUtu=)(00)0(=Cu0)0(=Cu8五、求非独立初始条件的方法：五、求非独立初始条件的方法：求求 :)0(+Lu例例1 已知已知: R=1k，L=1H ，U=20 V，开关闭合前，开关闭合前，A 0=Li设设 时开关闭合。时开关闭合。0=tiLUSt=0uL+-+-RL解解: 根据换路定则：根据换路定则：A 0)0()0(=LLii不能突变不能突变Lit =0+ 时的等效电路：时的等效电路：UKt=0+-RiLuL+-LuL (0+)+-iL(0+)L换路后的电压方程换

8、路后的电压方程 :)0(+)0(=+LLuRiUV20020)0(=Lu 发生了突变发生了突变Lu*（1）换路的状态的改变；）换路的状态的改变；（2）储能元件的等效。）储能元件的等效。9+_U0St = 0CiC_+ucuR2LR2R1iLuL_+解：解： 例例7-1 电路中各电压（电流）恒定不变后突然打开开关电路中各电压（电流）恒定不变后突然打开开关S，试求，试求和和 。)0()0()0()0(+LCLCuiiu，)0(+2Ru= 0t时，计算时，计算 ， 。)0(Li)0(Cu电路已稳定，电路已稳定，0=dtdiL0)0(0=dtdiLuLLL短路短路0=dtduC0)0(0=dtduCi

9、CCC开路开路作作 图，图，= 0t+_U0St = 0Cic_+ucuR2LR2R1iLuL_+_)0(Cu 图图= 0t由图可得：由图可得：iL(0-)210)0(RRUiL=2102)0(RRURuC=10由换路定则由换路定则：2102)0()0(RRURuuCC=210)0()0(RRUiiLL=求各个非独立初始条件：求各个非独立初始条件：作作t =0+ 时的等效电路，时的等效电路， +_U0St = 0CiC_+uCuR2LR2R1iLuL_+SCUu)0(+-uC(0+)SLIi)0(+iL(0+)_+-uL (0+)_+_R2)0(Lu)0(2Ru0212URRR210RRU)0

10、(+Ci得得：210)0()0(RRUiiLC=210222)0()0(RRURiRuLR=0)0()0()0(2=RCLuuu 对换路而言，对换路而言，uC 、 iL是不变的，独立的，它们是是不变的，独立的，它们是“承前承前启后启后”的。而非独立的都变化了，突变了。的。而非独立的都变化了，突变了。11五、求非独立初始条件的方法：五、求非独立初始条件的方法：初始条件初始条件（初始值）：（初始值）：电路中电路中 u、i 在在 t = 0+ 时时的大小。的大小。求解要点求解要点：1.根据换路前电路和换路定则求独立初始条件。根据换路前电路和换路定则求独立初始条件。)0()0()0()0(LLCCii

11、uu2.根据根据t = 0+ 时时的等效电路，确定非独立初始条件。的等效电路，确定非独立初始条件。关键在于画出关键在于画出t = 0+ 时的等效电路。时的等效电路。12求求: S打开的瞬间，电压表两端的电压。打开的瞬间，电压表两端的电压。 例例2 已知：已知：U=20V，R=1k ，L=1H，电压表内阻，电压表内阻RV=500k ，设开关设开关S在在 t =0 时打开，开关打开前电路已达稳态。时打开，开关打开前电路已达稳态。S.ULVRiL+-解解: 换路前，电感可视作短路换路前，电感可视作短路mA20=100020=)0(RUiL由换路定则：由换路定则：mA20=) -0(=)0(+LLii

12、(大小，方向都不变大小，方向都不变)iL(0+)RV+-uV(0+)t=0+时的等时的等效电路效电路VLVRiu=)0()0(V10000=105001020=33-VU注意：实际使用中要加保护措施。注意：实际使用中要加保护措施。136-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7-2 一阶电路的零输入响应（一阶电路的零输入响应（*）一、零输入响应：一、零输入响应：在无外施激励时，由初始时刻储能元件的储能引起的响应。在无外施激励时，由初始时刻储能元件的储能引起的响应。二、二、RC电路的零输入响应：电路的零输入响应：求：求：uC(t)，i(t)，uR(t)，(t0)1、物理过程：、物理过程：为

13、放电过程。为放电过程。t = 0_+uCRiSC_+uRU00+=)0(=)0(UuuCC0)0(+Cu0=)0(0+RUi14t = 0_+uCRiSC_+uRU02、数学分析：、数学分析：列微分方程：列微分方程：由由KVL，00tuuRC=VCR，iRuR=dtduCiC=0=CCudtduRC0t而初始条件而初始条件0)0()0(UuuCC=这是一个这是一个一阶线性常系数齐次一阶线性常系数齐次微分方程。微分方程。15解微分方程：解微分方程：0=CCudtduRC令令ptCAetu=)(（通解）（通解） 代入代入对应的对应的特征方程特征方程为为RCp +1 = 0特征根特征根定积分常数定积

14、分常数A：由初始条件由初始条件00)0(UAAeuC=方程的解为方程的解为0)(0=teUtuRCtCuC0tU00) 1(=ptAeRCpRCp1=16t = 0_+uCRiSC_+uRU0另有：另有：dtduCtiC=)(RCteRCCU=)1(0RCteRU=00ti0tU0R)()(tiRtuR=RCteU=00tuR0tU0注意：注意：都按都按同样的指数规律同样的指数规律衰减为零。衰减为零。0)(0=teUtuRCtC173、 ：令令 =RC量纲：量纲：法欧伏库欧=伏秒安欧=秒=3、时间常数时间常数 ：物理意义：物理意义：反映过渡过程结束的快慢。反映过渡过程结束的快慢。表表 7-1t

15、 0 2 3 5tCeUtu=0)(U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 U0工程上认为经过工程上认为经过 时间过渡过程即告结束。时间过渡过程即告结束。53 U0 0.368 U0U0 0.368 U0 0.135 U0U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 18测量方法：测量方法：a.对任意时刻而言，对任意时刻而言，=000)(tCeUtu100=eeUt)(368. 00tuC=b.次切距长：次切距长：uC0tU0)(0tuCCBtanABBC =00)(ttCCdt

16、dutu=00001tteUeU=A)(0tuC计算方法：计算方法：例：例：C+_USR3R2R1CReq=CRRRRRR321231)(=19例例 图示电路中开关图示电路中开关S原在位置原在位置1，且电路已达稳态。，且电路已达稳态。t = 0时时开关由开关由1合向合向2，试求，试求 时的电流时的电流 i(t) 。 0t+_t = 0S10V244C1Fi(t)21+_uC解：解：求求uC(0-) ，以确定，以确定 uC(0+) ：V4104424)0(=CuV4)0()0(=CCuu44+_uCC1Fi(t)0( t求求： =(R1R2)C=21= 2s求求i(t)：AttCeetuti5

17、. 05 . 0444)()(=)0( t20习题：习题： 7-2、7-4、7-5。21三、三、RL电路的零输入响应：电路的零输入响应：t = 0+_S21U0R0RLi(t)_+uL_+uR求求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t0)1、物理过程：、物理过程：00)0()0(RUii=0放电过程。放电过程。2、数学分析：、数学分析：LRuL+_+uRi(t)0t列方程：列方程： 由由KVL：0=RLuuVCR：iRuR=dtdiLuL=0=iRdtdiL0t这也是这也是一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程。22解方程：解方程：0= RidtdiL令令ptAeti=)(代入

18、微分方程有：代入微分方程有：0=ptptRAeLpAe得到特征方程为得到特征方程为 Lp + R = 0特征根特征根GLLRp1=（对偶）（对偶）tLRAeti=)(定积分常数定积分常数A：AAeRUiLR=000)0(00RUA =tLReRUti=00)(i0tU0R0tLRReURRtu=00)(uR0tU0R0RtLRLeURRtu=00)()0( tuL0tU0R0RLRuL+_+uRi(t)0t233、时间常数、时间常数：对偶地：对偶地：=GL这里我们引出这里我们引出“固有频率固有频率”的概念：的概念：的量纲为的量纲为 ，具有频率的量纲，具有频率的量纲。1秒秒1称特征根称特征根 为

19、固有频率，为固有频率，)1(=p它是电路固有性质的反映，它是电路固有性质的反映，只与电路元件的性质、参数和联结方式有关，只与电路元件的性质、参数和联结方式有关，与外施激励和电路的初始状态无关。与外施激励和电路的初始状态无关。 这两个电路的固有频率均为负数表明它们的零输入这两个电路的固有频率均为负数表明它们的零输入响应是按指数规律衰减的。响应是按指数规律衰减的。24例例7-2 300kW汽轮发电机的励磁电路，绕组汽轮发电机的励磁电路，绕组R=0.189，L=0.398H，U=35V，电压表量程，电压表量程50V，内阻，内阻RV=5k，求：求： ；i(0+)，i()；i(t)，uV(t)；uV(0

20、+) 。+_t = 0SLUR+_ViRVuV解：解： VRRLGL=s6 .795000189. 0398. 0=RUii=)()(00A2 .185189. 035=0)(=iAtteeti125602 .1852 .185)(=(t)(t)ViRuV=kV92612560te=)0( tkV926)0(=Vu极大，灭弧措施。极大，灭弧措施。25零输入响应小结零输入响应小结:一、零输入响应一、零输入响应是在外施激励为零时，由非零的初始状态引是在外施激励为零时，由非零的初始状态引起的，它起的，它取决于：取决于：1、电路初始条件、电路初始条件uC(0+)，iL(0+)。2、电路本身固有的特性，

21、对一阶电路而言，是通过时间常、电路本身固有的特性，对一阶电路而言，是通过时间常数数 来体现的。来体现的。二、二、独立初始条件可定义为独立初始条件可定义为初始状态：初始状态： 电路的初始状态是能电路的初始状态是能“总结总结”计算未来响应计算未来响应所需要的过所需要的过去的信息去的信息的的物理量。物理量。一阶电路的初始状态就是一阶电路的初始状态就是uC(0+)，iL(0+)，qC(0+)，L(0+)。零输入响应小结零输入响应小结26三、零输入响应三、零输入响应(对同一个电路而言对同一个电路而言)都是按一个相同的都是按一个相同的 作指作指数衰减的：数衰减的：1、之所以总是衰减，是因为没有外施激励的情

22、况下，原、之所以总是衰减，是因为没有外施激励的情况下，原来的初始储能总会逐渐被电阻消耗掉。来的初始储能总会逐渐被电阻消耗掉。2、之所以是同一个、之所以是同一个，是因为电路中各元件的，是因为电路中各元件的 u，i 均受代均受代数数(R)或微积分或微积分(L，C)约束，而一个指数函数的代数式、微约束，而一个指数函数的代数式、微分、积分仍然是变化规律完全相同的指数函数。分、积分仍然是变化规律完全相同的指数函数。276-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 （*）一、零状态响应一、零状态响应 ： 在零初始状态下，由外施激励在零初始状态下，由外施激

23、励所引起的电路的响应。所引起的电路的响应。+_SCUSRt = 0_+uCi_+uR二、二、RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：1、物理过程：、物理过程：0)0()0(=CCuuUS为充电过程为充电过程充电电流充电电流)0(iC短路短路RUS0282、数学分析：、数学分析：+_SCUSRt = 0_+uCi_+uR由由KVL：SCRUuu=VCR，iRuR=dtduCiC=SCCUudtduRC=0t一阶线性一阶线性常系数非常系数非齐次微分齐次微分方程方程其解为两部分：其解为两部分： 非齐次方程的特解非齐次方程的特解 和对应的齐次方程的通解和对应的齐次方程的通解CuCu 先求特解先求特解

24、：CuCu令令 具有与外施激励相同的形式。具有与外施激励相同的形式。即令即令KuC=代入方程可得：代入方程可得：SCUKu=再求再求Cu 0=CCudtduRC如前所求：如前所求：tCAeu= CCCuuu =tSAeU=定积分常数定积分常数A： 由初始条件，由初始条件，00)0(=AeUuSCSUA=于是，于是，)1 ()(tStSSCCCeUeUUuutu= =)0( t293、时间常数、时间常数 ：4、能量问题：、能量问题： 充电过程中充电过程中R上能量的消耗，上能量的消耗，iuC即充电效率为即充电效率为50%。Cu USUSRtuC,i0tSSeUU=dtduCtiC=)(tSeUC=

25、dttRiWR=02)(dtReURtS20)(=dteRUtS=022)2()2(022tdeRUtS=02221tSeCU) 10(212=SCU221SCU=-USCCCuuu =221SCCUW =，)1 ()(tSCeUtu=tSeRU=Cu稳态分量稳态分量强制分量强制分量瞬态分量瞬态分量自由分量自由分量30三、三、RL电路的零状态响应：电路的零状态响应：SRISLt = 0iL_+uLiR1、物理过程：、物理过程：0)(0)(0-=LLiiIS充电过程充电过程2、数学分析：、数学分析：SLLIiRu=SLLIidtdiRL=)0( t一阶线性常系数非齐次微分方程。一阶线性常系数非齐

26、次微分方程。求特解求特解 ：Li令令KiL=SLIKi=求齐次方程的通解求齐次方程的通解 ，Li 令令ptLAei = 0=ptptAeApeRL01=pRLLRp= 即即tLRLAei= 定积分常数定积分常数A ：00)0(=AeIiSLSIA=最终最终)1 ()(tLRSLeIti=)0( tti0IS)(tiL3、:4、能量：、能量：31L+_SuSR四、正弦信号激励下的一阶电路的零状态响应：四、正弦信号激励下的一阶电路的零状态响应：t = 0i_+uL_+uR已知已知)cos(umStUu=称为接入相位角称为接入相位角。u1、列方程：、列方程：)cos(umtURidtdiL=2、解方

27、程：、解方程：对应的齐次方程的通解，或自由分量对应的齐次方程的通解，或自由分量i tAei= RL=非齐次方程的特解，又称强制分量非齐次方程的特解，又称强制分量i)cos(umtUiRdti dL=32L+_SuSRt = 0i_+uL_+uR)cos(umtURidtdiL=2、解方程：、解方程：求求非齐次方程的特解非齐次方程的特解 ，i特解和激励具有相同的形式，特解和激励具有相同的形式，故令故令)cos(tIim=代入，得代入，得)cos()cos()sin(ummmtUtIRtIL=现以现以L，R为直角边构成一个直角三角形，为直角边构成一个直角三角形，RL其中其中RLtg1=ZZL=si

28、n22)(cosLRRZR=代入得代入得cos)cos(sin)sin(ttZIm)(=tZImcos)cos(umtU=22)( LRUZUImmm=RLtgu1=ZZZ332、解方程：、解方程：)cos(umtURidtdiL=对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解i tAei= RL=非齐次方程的特解非齐次方程的特解 ，i)cos(=umtZUi其中其中RLtg1=22)( LRZ=定定积分常数积分常数A：0)0cos(0)0(=AeZUiumL)cos(-ZUAum=最终最终tumumeZUtZUti=)cos()cos()(34tumumeZUtZUti=)cos()cos()()

29、0( ttumumLeZRUtZLUdtdiLtu=)cos()2cos()(讨论：讨论：自由分量与接入角有关。自由分量与接入角有关。a、若、若2=u则则)2cos(-ZUAm=0)2cos(=ZUm自由分量自由分量 ，0= i即电路即电路立即进入稳态立即进入稳态。b、若、若=u则则ZUZUAmm=0coscos)(tmetZUti=35习题：习题： 7-11、7-12、7-14。366-4 一阶电路的全响应和三要素法一阶电路的全响应和三要素法7-4 一阶电路的全响应和三要素法一阶电路的全响应和三要素法 （*） 当一个当一个非零初始状态非零初始状态的电路的电路受到外施激励受到外施激励时，电路时

30、，电路中的响应称为中的响应称为全响应全响应。一、全响应的两种解释：一、全响应的两种解释：1、全响应、全响应 = 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应+_t = 0SCUSR+_Cu0)0(UuC=+_t = 0SUSR+_)1(CuC0)0()1(=Cu+t = 0SCR+_)2(Cu0)2()0(UuC=对线性电路而言，全响应有两种分解形式。对线性电路而言，全响应有两种分解形式。371、全响应、全响应 = 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应)1 ()()1(tSCeUtu=ut0US)()1(tcu零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tCeUtu

31、=0)2()(U0)()2(tcu零输入响应零输入响应全响应全响应)1 ()(0tStCeUeUtu=)(tcu全响应全响应2、全响应、全响应=强制分量强制分量+自由分量自由分量SCCUudtduRC=对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解 ：Cu tCAeu= 非齐次方程的特解非齐次方程的特解 :Cu定定A： 完全解完全解tCCAeuu=且且)0()0(=CCuu得得AuuCC=)0()0()0()0(=CCuuA全响应全响应tCCCCeuuutu=)0()0()(38tCCCCeuuutu=)0()0()(这是一个通式，对任意激励均可用，而对本电路，有这是一个通式，对任意激励均可用，而对

32、本电路，有+_t = 0SCUSR+_Cu0)0(UuC=全响应全响应tSSCeUUUtu=)(0全响应全响应=强制分量强制分量+自由分量自由分量ut0US强制分量强制分量)(tcuU0 - US自由分量自由分量)(tcu U0)(tcu全响应全响应 对于含有电阻的损耗电路而言，对于含有电阻的损耗电路而言，当当 时，自由分量可以消失，则时，自由分量可以消失，则上述分量又分别可称为上述分量又分别可称为稳态分量稳态分量和和暂暂态分量态分量。t3、评价：、评价：一种着重一种着重工作状况工作状况：稳态，暂态稳态，暂态一种强调一种强调因果关系因果关系：零输入响应，零状态响应零输入响应，零状态响应39二、

33、三要素法二、三要素法：1、条件：、条件：一般是在直流外施激励下使用。一般是在直流外施激励下使用。2、依据：、依据： 在恒定外施激励下，非零初始状态下一阶电路在恒定外施激励下，非零初始状态下一阶电路各处的电流，电压均按指数规律变化，他们都是从初各处的电流，电压均按指数规律变化，他们都是从初始值开始，逐渐增长或衰减至一个稳定值。始值开始，逐渐增长或衰减至一个稳定值。同一电路的各响应均按一个同一电路的各响应均按一个 变化。变化。403、三要素法：、三要素法：增长：增长：衰减：衰减：综合：综合：f(0+)：CUS，L IS：f()：C开路，开路，L短路短路)1)(0()()0()(1teffftf=t

34、efff=)()0()(teffftf=)()0()()(2teffftf=)()0()()()(1tf)(f)0(ft)(2tf)(f)0(ft4、正弦激励下的三要素法：、正弦激励下的三要素法：tefftftf=)0()0()()(强制分量强制分量 + 自由分量自由分量CReq=LGeq=，41问：零输入响应与暂态响应（自由分量）有何异同？问：零输入响应与暂态响应（自由分量）有何异同？答：答：(1)衰减变化的模式相同。衰减变化的模式相同。(2)系数不同：系数不同：若若 US = 0 ，则完全相同。，则完全相同。 零输入响应由其定义是与外施激励零输入响应由其定义是与外施激励Us无关的，而暂无关

35、的，而暂态响应（自由分量）为对应的齐次方程的通解态响应（自由分量）为对应的齐次方程的通解 ，其，其积分常数积分常数A的确定是在得到全解之后，故它必然与外施激的确定是在得到全解之后，故它必然与外施激励有关。励有关。pteA与与 ， teU0tSeUU)(042求求 ：)(Li求换路后戴维宁等效电路：求换路后戴维宁等效电路：例例7-4 试求试求S闭合后的闭合后的iL和和i。+_t = 0SLUSRIS10V2A24HiLi解：解：求求iL(t)：用：用三要素法三要素法A)(0)(0-2=LLiiab+_LUOCRequL+_iLbaSSOCRIUU=V6= 2eqRA)(3=eqOCLRUi求求

36、：s2=eqRL作草图：作草图：iLt0-2A3A2)0()()0()(tLLLLeiiiti=A532te=求求 ：回到原电路。：回到原电路。)(ti)()(tiItiLS=)A(-215te=)0( t)1 (522te=43例例7-5 电路原已稳定，电路原已稳定，t =0 时，时，S闭合，求闭合，求t0时电容电压时电容电压uC的的零状态响应、零输入响应和全响应。零状态响应、零输入响应和全响应。解：解：1A+_0.5Ft = 0S240.5V1.5u1+_u1+_uC用三要素法。用三要素法。求求uC (0+)：)0()0(=CCuu11175 . 14uuu=A对结点对结点A：05 . 1

37、2111=uuV7)0(=CuV11=u求求uC ()：11175 . 14)(uuuuC=V5 . 35 . 07=求求 ：CReq=01=u4eq=Rs2=故故全响应全响应为：为：V)5 .105 . 3()1 (5 .107)(5 . 02ttCeetu=零状态响应零状态响应为：为：V)1 (5 . 3)(5 . 0 tCetu=零输入响应零输入响应为：为：V7)(5 . 0 tCetu=44例例1 电路原已稳定，电路原已稳定，t =0 时，开关由时，开关由1合向合向2，求，求t0时的电压时的电压uL。2A2+_uL+_0.1Ht = 0S448V212i1+_i1解：解： 此为直流激励

38、下的一阶电路，故用三要素法。此为直流激励下的一阶电路，故用三要素法。 一般说来，在换路时，除一般说来，在换路时，除iL ， uC 以外的量可能会发生以外的量可能会发生突变，所以，我们突变，所以，我们一般地一般地用先求用先求iL（uC）的方法）的方法。A4)(0)(0=LLii先求先求L以外电路的戴维宁等效电路。以外电路的戴维宁等效电路。1124iiUOC=V122661= i4 +_iSu2i14 i1seqiuR=1010ssii+_UOC =12VReq =10 uL+_iLba0.1HA)(2 . 1=Li+-UOCab 求求 ：)(Li45作草图：作草图：写出写出:讨论：讨论：看看看看

39、:突变了突变了!“一般地一般地”这样求，这样求，“不一般不一般”呢？呢？iLt0-4A1.2AuL(0+) = ?uL(0-) = ?uL(0-) = 0uL(0+) = 52V2A2+_uL+_0.1Ht = 0S448V212i1+_i1能否直接求能否直接求uL呢？呢？A)(0)(0-4=LLiiA)(2 . 1=Lis01.0=eqRL)1 (2 . 54100tLeti=)(Ate1002 . 52 . 1=V52)(100tLLedtdiLtu=46 也可直接求，但要也可直接求，但要作作t =0+，t=时两个等效电路图。时两个等效电路图。2A2+_uL+_0.1Ht = 0S448V

40、212i1+_i1iL解：解：求求uL(0+) 先求先求L以外电路的戴维宁等效电路。以外电路的戴维宁等效电路。+_UOC =12VReq =10 uL+_iLba0.1H iL(0+) = - -4A作作t =0+时等效电路图时等效电路图 - -4A+_uL(0+)V52)4(1012)0(=Lu求求uL() 作作t=时等效电路图时等效电路图+_uL()uL() =0Vs01. 0=eqRL)0(52)(100=tetutLV47_+9V+_t = 0S1k1k2k6V200pF+_uCi例例2： 求求 i 。 解：解：CReq= 用三要素法用三要素法求求i (0+)：V6)0()0(=CCu

41、u_+9V+_1k1k2k6V)0(i_+6VA画画t = 0+时刻的等效电路：时刻的等效电路：0111121161926=AUmA326)0(=i求求i ()：_+9V+_1k1k2k6V)(imA5396)(=i求求 ：s31s101031F200k35126=p求求i：mA)1 (23)(teti=)s31, 0(=t48例例2求求: 电感电压电感电压 。)(tuL例例3已知：已知：K 在在t =0时闭合，换路前电路处于稳态。时闭合，换路前电路处于稳态。t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1H+-第一步第一步:求初始值求初始值)0 (LuA23212)0()0(=LLii2AR

42、1R2R3+-)0 (Lut=0+时等效电路时等效电路V4/)0()0(321=RRRiuLL第二步第二步:求稳态值求稳态值)(LuV0)(=Lu第三步第三步:求时间常数求时间常数321|RRRR=s5 . 021=RL第四步第四步:画草图画草图-4VtLu0VVeettLtu24)1 ()4(04)(=49习题：习题：7-18、7-19、7-20。507-1二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应二、二、LC电路中的自由振荡：电路中的自由振荡：iL 增加到增加到Im。全部电场能转移到磁场。全部电场能转移到磁场。R=0 ，等幅振荡；，等幅振荡；R0 ，衰减振荡；，衰减振荡； iL=Im时，时，

43、,)0(0UuC=0)0(=Li,) 0 (0UuC=0) 0(=Li0dtdiL但但0=dtdiLuC=0uCC+_LiLCLImU0C+_LiL =0CLImU0C+_LiL = 0时时,dtduCiCL=0UuC=dtdiLuuLCL=7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应一、概念：一、概念：二阶电路；二阶电路；零输入响应。零输入响应。R大，有可能不振荡。大，有可能不振荡。51三、三、RLC串联电路的零输入响应：串联电路的零输入响应：1、列方程：、列方程：0=LRCuuu以以uC为变量，为变量，dtduRCRiuCR=22dtudLCdtdiLuCL=022=CCCudtduR

44、CdtudLCuR_UOC+_LiRuCuLS+_2、解方程：、解方程：特征方程特征方程0) 1(2=pteARCpLCp012= RCpLCpLCLRLRp1)2(22=tptpCeeAAu2211=,ptCeAu=（用经典法）令（用经典法）令代入方程得：代入方程得：52行列式求解：行列式求解：当当I0=0时，时，021UAA=CIpApA02211=120210ppUpACI=21011201200ppUpppUpACICI=12021ppUpA=21012ppUpA=tptpCeeAAu2211=tpeptpepppUuC2112120定积分常数定积分常数A1，A2：初始条件初始条件0)

45、0()0(UuuCC=和和0)0()0(Iii=即即00IdtduCC=0)0(UuC=和和uR_U0C+_LiRuCuLS+_533、讨论：、讨论：这时，这时，p1，p2 为不相等的负实数，为不相等的负实数，=LCpp121CLR2时时， 01)2(2LCLR即即LCLRLRp1)2(22=t0uCuLiU0tptpCepepppUtu2112120)(=dtduCtiC=)(=tptpeeppppCU2112210tptpeeppLU21120=tptpLepepppUtu2121120)(=54 曲线曲线uC衰减，放电过程，衰减，放电过程，曲线曲线uL ：uL，i关联关联 求极小值，求极

46、小值，0212221=tptpepep此为非振荡放电过程此为非振荡放电过程又又 pC= uC. i 0, 电容总是放出能量。电容总是放出能量。ttm时，时， pL0，放出能量，放出能量 。 求求tm， uL =0， uC 、i非关联，非关联，02121=tptpepep即即t0uCuLiU0tm2tmtptpLepepppUu2121120=12)(21ppetpp=2112)ln(pppptm=0=dtduLttm时，时，pL0，吸收能量；，吸收能量；212)()(21ppetpp=mtppppt2)/(ln22112=55例例7-6 已知已知US=10V，C=1F，R=4k，L=1H ,

47、求求: uC ，uR，uL，i imax； 注意：注意： 不能套公式，不能套公式， 否则，将产生错觉；否则，将产生错觉； 关键是列、解微分方程。关键是列、解微分方程。uR_USC+LiR_uCuLS+_+_21t = 0解：解：=k4k2101226RCL所以为非振荡放电过程。所以为非振荡放电过程。求特征根：求特征根：LCLRLRp1)2(221=26817322000=3732173220002=p先判类型：先判类型：62101)24000(24000=56定定A1，A2：tptpCeAeAu2121=21221137322680AApApA=(1)(2)(1)式代入式代入(2)式：式：10

48、21=sUAA A1=10.774A2 = - -0.774- -268(10 - -A2) - -3732A2 = 0dtduCtiC=)(mA)(887. 23732268ttee=V)(548.11)(3732268ttReetu=)V774. 0774.10()()()(2683732ttRCLeetututu=V774. 0774.10)(3732268ttCeetu= 求求uC ，uR，uL，i :V10)0(=Cu0)0(=LiuR_USC+LiR_uCuLS+_+_21t = 0dtdiL=也可也可)(57求求tm定定imax:)(887. 2331076. 037321076

49、. 0268max=eeimA185. 2)059. 0816. 0(887. 2=26837322.887()ttiee=2683732()0ttdideedtdt=268373226837320ttee=2683732373214268tte=3464ln142.634t =2.6340.760ms3464mt =uR_USC+LiR_uCuLS+_+_21t = 058,2CLR 称为振荡放电过程。称为振荡放电过程。p1、p2为一对共轭复数。为一对共轭复数。令令:LR2=22)2(1LRLC= 则则,j1=p,j2=p其中其中220=arctg=)sinj(cos01= p)sinj(c

50、os02=psin0=cos0=LC1=LCLRLRp1)2(22=现将现将,为直角边为直角边构成构成一个直角一个直角三角形，三角形，由欧拉恒等式由欧拉恒等式sinjcosj=ej01=epj02ep=这样，这样，)()(2112120tpeptpepppUtuC=2 j)( j)( j00=ttteeeU)sin(00=teUtteeU)j(j002 j=)j(j0teesinjcosj=e059uC：衰减系数，包络线；衰减系数，包络线；：谐振角频率谐振角频率;0：振荡角频率；振荡角频率；sin)cos(cos)sin(200=tteCUtteLUtsin0=)1(20LC=cossin)(

51、0teteUdtdiLtuttL=)sin(00=teUt)cos()sin()(00=teteUCdtduCtittC p：固有频率固有频率)sin()(00=teUtutCteU00teU 00U02 t0 2 uLi + uC零点：零点： t = - ，2 - . n - ， uC 极值点为极值点为i零点。零点。i 零点：零点： t =0, ，2 . n ， i 极值点为极值点为uL零点。零点。uL零点：零点： t = , + ，2 + . n + 0 - 60由上图和表由上图和表7-2可知可知功率判断时功率判断时注意注意：对电容对电容C，uC与与i不一致，不一致， p0，释放能量。，释

52、放能量。对电感对电感L，uL与与i一致，一致， p 0，吸收能量。，吸收能量。tt0tC+_LiRuCuL+_C+_LiRuCuL+_C+_LiRuCuL+_uCi + U0 - 2 t0 2 uL61为等幅振荡。为等幅振荡。,10LC=,2=)2sin(00=tUuCtCLUtLUi00000sinsin=称为特性阻抗。称为特性阻抗。CL=)2sin(00=tUuL)2sin(00=tU若若R=0，则，则02=LR62例例7-7 电路图示电路图示,电容电容C已充电至已充电至U0=15kV, C=1700F, R=6*10-4, L=6*10-9H。求求(1) S闭合后的闭合后的i; (2)

53、imax 。 判断类型：判断类型：为振荡放电过程。为振荡放电过程。求特征根：求特征根：+_+_RCLuC+i_uRU0uLS(t=0)解：解：求求i=336910757. 3107 . 16210170010622CL022=CCCudtduRCdtudLC5410091. 3 j105=rad410. 1)182. 6arctan()arctan(=teLUtitsin)(0=A)10091. 3sin(10088. 8541056tet=求求maxi即即时有第一个极值，即时有第一个极值，即=tmaxis562. 410091. 341. 15t=)10562. 410091. 3sin(1

54、0088. 86510562. 41056max64=eisrad10091. 3,Hz10554=,21()22RRpLLCL= 时，时，有有i 的极值。的极值。0=dtdiLuLA103555. 66=63习题：习题： 7-21、7-22、7-23 。64原微分方程的通解：原微分方程的通解：由初始条件由初始条件 称为临界情况。称为临界情况。,2CLR =, 01)2(2=LCLR=LRpp221tCetAAu=)(2110)0(AUuC=01UA =)1 (0teUdtdiLutL=1200)0(AAdtduCiC=02UA=)1 (0teUutC=)1 ()(00ttCeUteUCdtd

55、uCi=ttCLtteLUetULCetULRC=0020244)2(654、小结：、小结：CLR2，非振荡性质，过阻尼，非振荡性质，过阻尼，CLR2=，非振荡性质，临界阻尼，非振荡性质，临界阻尼，CLR2，振荡性质，欠阻尼。，振荡性质，欠阻尼。若若R = 0 ，则为等，则为等幅振荡，无阻尼。幅振荡，无阻尼。零输入响应普通形式：零输入响应普通形式：p1p2（不相等的实根）（不相等的实根） tptpeAeA2121=p1=p2*（共轭复根（共轭复根）三种形态：三种形态：对对RLC串联而言。串联而言。零输入响应零输入响应为衰减系数，为衰减系数，为振荡角频率。为振荡角频率。零输入响应零输入响应p1=

56、p2=p（相等的实根）（相等的实根） ptetAA)(21=都由初始条件确定两个积分常数。都由初始条件确定两个积分常数。)sincos(21tAtAet=零输入响应零输入响应0)0(=Li不再一定是串联，也不一定不再一定是串联，也不一定j1=p令令667-2二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应7-6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应一、一、概念：概念：二、分析方法：二、分析方法：1、列方程；、列方程；2、解方程。、解方程。由由KCL：sLCGiiii=S(t=0)+_GCLuC+_uLiSiCiLiG以以iL为变量，为变量，dtdiGLGuiLL

57、G=22dtidLCdtduCdtduCiLLCC=SLLLiidtdiRCdtidLC=2267例例7-9 图示电路，图示电路，uC(0-)=0，iL(0-)=0，G=2mS，C=1F，L=1H，iS=1A，当，当 t =0 时把开关时把开关S拉开，试求响应拉开，试求响应iL，uC，iC 。解：解：S(t=0)+_GCLuC+_uLiSiCiL由由KCLsLLLiidtduCGu=122=LLLidtdiGLdtidLC663221010102=LLLidtdidtid齐次方程的特征方程为：齐次方程的特征方程为：100021=ppp为临界阻尼情况。为临界阻尼情况。特解特解（强制分量）（强制分

58、量）A1=Li解方程：解方程：010102632=pptLetAAi100021)(= 对应齐次方程的对应齐次方程的通解通解故故完全解完全解为为tetAAiL31021)(1=)0(t（自由分量）（自由分量）68663221010102=LLLidtdidtid完全解完全解为为ttAAieL31021)(1=)0(t0)0(=Li定积分常数：定积分常数：0)0(1)0(1)(0=CLLuLuLdtdi代入得：代入得：011= A010213=AA32110, 1=AAA)101 (1 )(3103tettiL=V10)(3106ttedtdiLtuLC=A)101 ()(3103tCCetdt

59、duCti=69解：解：例例 在并联电路中在并联电路中t=0 时，时，S1由由1接至接至2， S2由由2接至接至1。求。求t=0 时的时的 )(tiLA1)0()0(=LLii0)0()0(=CCuu列方程列方程)0( , 522=tidtdiRLdtidLCLLL2H1A5A21S1S2+_50.1FuCiL解方程：解方程：特征根特征根014 . 02 . 02=pp0522=pp2 j1125422221=、p特解特解5=Li)2sin2cos(21tAtAeit= 对应的齐次方程的对应的齐次方程的通解通解特征方程特征方程定积分常数定积分常数A1，A2：15)0(1=AiL41= ALLL

60、iii =)2sin2cos(521tAtAet=。70)0( ,A)44.632sin(472. 45=ttet)2sin512cos52(525ttet=)2sin22cos4(5)(ttetitL=22=A122AA =02221=AA021)2cos22sin2(tAtAet=)2sin2cos(1221tAtAet0)0(dtdiLuLC=125(cos2sin2 )tLieAtAt=15)0(1=AiL41= A716-5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应一、单位阶跃函数：一、单位阶跃函数：1、定义：、定义： (t