SSP第3章倒格子1_布里渊-4

1、1第三章 倒格子与布里渊区2 目 录3.1 引入倒格子的意义3.2倒格子的定义3.3倒格子的性质3.4布里渊区3.5晶体的 X 射线衍射33.1 引入倒格子的物理意义描述固体的周期性结构中的微观粒子的物理特性可以利用二种类型的格子。一种是正格子，即，布拉菲格子，是周期性特性在原子坐标空间的描述；另一种是倒格子，它是周期性特性在波矢空间(k空间)的描述。由坐标空间变换到波矢空间更有利于表达周期性结构中微粒的物理特性。在本课程后续内容中有很多例子，如：晶体X射线衍射，晶体原子振动，晶体中电子能量。初学倒格子概念比较抽象和困难，但倒格子概念是深入学习固体物理学的不能缺少的必要工具。4设，布拉菲格子基

2、矢为 a1,a2,a3， 将由矢量 决定的格子，称为正格子， 将满足下述关系： 的 b1, b2, b3 ，定义为倒格子基矢， 将由 决定的格子，称为Rl的倒格子。3.2 倒格子的定义3.2.1 倒格子定义之一3 , 2 , 1 332211illllil为整数，aaaR3 , 2 , 1, 0 22jijijiijjiba3 , 2 , 1 332211ihhhhih为整数，bbbK5根据以上定义，每个倒格子基矢必与两个正格子基矢正交， 显然，倒格子基矢，也即倒格矢的量纲是 长度-1，与波矢的量纲一致。3.2 倒格子的定义3.2.2 倒格子定义之二)( 2321321aaaaab3121 a

3、bab，如：3 , 2 , 1, 0 22jijijiijjiba？为常数cc 321aab应有：)(2 321aaac所以)( 2321213aaaaab)( 2321132aaaaab由此，可以直接定义倒格子基矢为：且有：2)( 32111aaabac6采用波函数定义倒格子设有以 a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子 并有平面波 。定义，具有给定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢 Kh 所代表点的集合称为 Rl 的倒格子。其数学表达为 ，如有对于任何 r 和 Rl 成立，那么 Kh 决定的格子就是布拉菲格子 Rl 的倒格子。3 , 2 , 1 332211illllil为整数，aaaRrk

4、ierKRKhlhiriee)(3.2 倒格子的定义3.2.3 倒格子定义之三7其中 b1,b2,b3 由 确定，则以上条件成立。验证：可以验证，当波矢Kh取为倒格子定义之三验证由以上定义，要求 Kh满足，1lhieRK1 ,)(lhhhlhhlhiiriiirieeeeeeRKrKKRKrKRK，即：即：为整数，321332211 hhhhhhhbbbKijji2ba2)(2332211lhlhlh3.2 倒格子的定义这是因为， , 也应是整数，都是整数，iihl)()(332211332211aaabbbRKlllhhhlh1 2iieelhRK83.3 倒格子的性质3.3.1 倒格子原胞

5、体积 *与正格子原胞体积 的关系 )(2 /)(2 3*3*即，)()()()2(21133233aaaaaa )(2 /)(2 3*3*即，可以证明，)( 321*bbb)()()()()()()2(3212132113321323aaaaaaaaaaaaaaa )()( baccabcba利用 )()()( 211332aaaaaa2)()()( 1132213132aaaaaaaaaa)()( 213132aaaaaa分解，93.3.2 倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定义构造基矢 c1, c2, c3，可以证明 ci = ai，i = 1,2,3。3*)(2 又Rl，Kh所代表

6、点的集合都是布拉菲格子，且互为正倒格子。事实上在 中 Rl，Kh地位全同。1lhieRK3.3 倒格子的性质 232*bb 321321)(2 bbbbbc即令：122)(2a)()()(2 21132232aaaabb12)(2a321321)(2 bbbbbc 3322acac，同理：12*)(22a 11ac )()(2113aaaa)( )( 11322131aaaaaaaa1a )()( baccabcba利用)(2131aaaa103.3.3 晶体中物理量的傅里叶变换关系设，晶体任一 r 处有物理量 (r)， 由晶格的周期性，应有 (r) = (r+Rl)，Rl为任意正格矢， 周期

7、性函数可作傅里叶级数展开如下：rKKrhihheF)()(1 lhieRK所以有即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。F (Kh)是物理量 (r) 在傅氏空间的表示形式3.3 倒格子的性质)()()(lhihhleFRrKKRrlhhiihheeFRKrKK)( 是正格矢，lR的倒格矢应是 lhRK110a1a3a2)()(3311332211321hhhhhCAhhhaabbbG3.3.4 倒格矢 与正格子中晶面系(h1h2h3) 正交332211321bbbGhhhhhh已知，如下图，晶面系 (h

8、1h2h3) 中最靠近原点的晶面 ABC 在基矢a1, a2, a3上的截距分别为 a1/h1, a2/h2, a3/h3。图中，Gh1h2h3 为倒格矢，证明 G 与 ABC 正交。a2/h2a1/h1a3/h3CBAGh1h2h33.3 倒格子的性质 3311，hhaaOCOACA 有，OCOBCB3322hhaa上相交在晶面，由于，ABCCBCA 022 ，同理：0 321CBhhhG正交。与晶面系所以，)( 321321hhhhhhG123.3.5 倒格矢 的长度是晶面系(h1h2h3) 面间距 dh1h2h3倒数的 2 倍332211321bbbGhhhhhh0a1a3a2CBAa1

9、/h1a3/h3a2/h2Gh1h2h3与晶面一一对应。面的关系，使得倒格矢倒格矢取向及长度与晶3.3 倒格子的性质 321，根据以上证明已知：ABChhhG面的距离，是原点到的面间距晶面系 )( 321321ABCdhhhhhh321/2hhhG321321321/ hhhhhhhhhGOAdG321/ )(33221111hhhGhhhhbbba /2 321321，即：hhhhhhdG倍。倒数的面间距晶面系是的长度由此得证，倒格矢 2 )( 321321321321hhhhhhhhhdhhhGG133.4 布里渊区3.4.1 布里渊区定义 定义：在倒格子中，以某一格点为坐标原点，作所有倒

10、格矢的垂直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称为布里渊区。第一布里渊区：最靠近原点的平面所围的区域。第二布里渊区：第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围的区域。第三布里渊区示意。第 n 个布里渊区是从原点出发，跨过 (n-1) 个垂直平分面达到的所有点的集合。143.4.2 布里渊区界面方程令，Kh为倒格矢，如下图， A为Kh的垂直平分面 k为倒空间的矢量则，A上所有点都应满足221hhKKkk0KhkhK21hK21证明：由图可见，hhhKKKk21 3.4 布里渊区221 hhKKkA153.4.3 布里渊区性质1、各布里渊区的形状都关于原点对称。2、各布里渊

11、区都可通过平移倒格矢到达第一布里渊区，且与之完全重合。3、每个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞体积。 4、简约布里渊区-第一布里渊区3.4 布里渊区G163.4.4 面心立方(FCC)晶格的第一布里渊区)(2)(2)(2)( 321jiaikakjaaaaFCC 正基矢)(2)(2)- (2)( 321kjibkjibkjibaaaFCC倒基矢)(2321321aaaaab)(2)(2)- (2)( 321kjiakjiakjiaaaaBCC 正基矢可见 FCC晶格的倒格子是一个边长为4/a的BCC格子。倒格子原点最近邻有八个格点。FCC晶格的第一布里渊区是一个截顶十四面体。3.4 布里渊区173.4.5 体心立方(BCC)晶格的第一布里渊区)(2)(2)(2)( 321jib