《双曲线及其标准方程》fan

1、2.2.1双曲线及其标准方程 双曲线在生活中双曲线在生活中 .问题1：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点平面内与两个定点 的距离的的距离的和和等于常数（等于常数（大于大于 ）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。21,FF21FF问题2：椭圆的标准方程是怎样的?) 0( 1) 0( 122222222babxaybabyax或 ， ， 关系如何？abc222cba问题3：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点 的轨迹会发生怎样的变化？ 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2

2、a= |F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？（2）若）若2a |F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是？则轨迹是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2

3、|=2aaycxycx2)()(2222即化简化简两边同除以两边同除以 得得)(222aca122222acyax)()(22222222acayaxac得得02222acacac)0(222bbac令代入得代入得)0,0(12222babyax这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在 轴上轴上 x)0,(),0,(21cFcF.222bac12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax

4、3.两种标准方程的比较 方程用方程用“”号连接。号连接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。0, 0,22bababa, 。 222bac如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则的系数是正的，则焦点在焦点在 轴上。轴上。2xx2yy定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一定大于不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0

5、)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。cba, )0, 0( 1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：答案： )0 ,6).(0 ,6(6,2, 21cba )0 , 2).(0 , 2(2,2,22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba )0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2）

6、是否表示双曲线？是否表示双曲线？ )0( 122mnnymx表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线；轴上的双曲线；x00nm表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线。轴上的双曲线。y00nm表示双曲线，求表示双曲线，求 的范围。的范围。m11222mymx答案：答案： 。21mm或1.已知双曲线两个焦点分别为已知双曲线两个焦点分别为 ，双曲线上一点，双曲线上一点 到到 距离差的绝对值等于距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。)0,5(),0,5(21FFP21, FF解：因为双曲线的焦点在轴因为双曲线的焦点在轴 上，所以设它的标准方程为上，所以设它的标准方程为x)0,0(122

7、22babyax因为因为 ，所以，所以 ，所以，所以102,62ca5,3ca.1635222b因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为.116922yx小结：求标准方程要做到先定型，后定量。求标准方程要做到先定型，后定量。求适合下列条件的双曲线的标准方程。求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴焦点在在轴 上，上， ； 焦点在在轴焦点在在轴 上，经过点上，经过点 .xx3,4ba)2,315(),3,2(答案答案: 191622yx)0, 0(12222babyax设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为代入点代入点 得得)2,315(),3,2(12351322222baba

8、令令221,1bnam则则1235132nmnm解得解得311nm故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为.1322yx2.2.已知已知A A，B B 两地相距两地相距800m800m，在，在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2秒，且声速为秒，且声速为340m/s340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析： 假设爆炸点为假设爆炸点为P P，爆炸点距，爆炸点距A A地比地比B B地远地远；爆炸点爆炸点P的轨迹是靠近的轨迹是靠近B处处的双曲线的一支。的双曲线的一支。3402 PBPAABP解：建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系 ，使，使 两点在两点在 轴上，并且坐标原轴上，并且坐标原点点 与线段与线段 的中点重合。的中点重合。xOyBA,xOAB设爆炸点设爆炸点 的坐标为的坐标为 ，则，则 ， P),( yx6802340 PBPA即即.340,6802aa又又,800AB所以所以.44400,400,800