初三寒假120分以上压轴训练(1)

1、初三寒假120分以上压轴训练1如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，这时（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；（3）若将图a中的ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现2 将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1摆放（1）将图1中A1B1C绕点C顺时针旋转45得图2，点P1是A1C与AB的交点，求证：CP1=AP1；（2

2、）将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转30到A2B2C（如图3），点P2是A2C与AB的交点线段CP1与P1P2之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60到CP3（如图4），连接P3P2，求证：P3P2AB3 图1是边长分别为和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平

3、移，平移后的CDE设为PQR（图3）探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围4 如图，ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE（使BCE180），连接AD、BE，设直线BE与AC、AD分别交于点O、E（1）若ABC为等边三角形，则的值为1，求AFB的度数；（2）若ABC满足ACB=60，AC=，BC=，求的值和AFB的度数；若E为BC的中点，求OBC面积的最大值5 如图，平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，DOB=45，点P从O沿OB边向点B移动，点Q

4、从点B沿BC边向点C移动，P，Q同时出发，速度都是1cm/s（1）求经过O，B，D三点的抛物线的解析式；（2）判断P，Q移动几秒时，PBQ为等腰三角形；（3）若允许P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，设线PQ与OB，BC，DC围成的图形面积为y（cm2），点P，Q的移动时间为t（s），请写出y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围6如图，直线y=x4分别交x、y轴于A、B两点，O为坐标原点（1）求B点的坐标；（2）若D是OA中点，过A的直线l（3）把AOB分成面积相等的两部分，并交y轴于点C求过A、C、D三点的抛物线的函数解析式；把中的抛物线向上平移，设平移后的抛物线与x轴的

5、两个交点分别为M、N，试问过M、N、B三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，求出圆的面积；若不存在，请说明理由7 已知抛物线经过坐标原点，与直线相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于点C和D（1）求A、B两点的坐标；（2）若把抛物线向下平移，使得抛物线经过点C，此时抛物线与直线相交于另一点E，与x轴相交于点F，求CEF的面积；（3）把抛物线上下平移，与直线相交于点G、K，能否使得CG：DK=1：2，若能成立，请求出向上或向下平移几个单位，若不能，请说明理由8 抛物线y=ax2+2x+3（a0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D，而且经过点（2，3）（1）写出抛物线的解析式及C、D两点

6、的坐标；（2）连接BC，以BC为边向右作正方形BCEF，求E、F两点的坐标；若将此抛物线沿其对称轴向上平移，试判断平移后的抛物线是否会同时经过正方形BCEF的两个顶点E、F？若能，写出平移后的抛物线解析式；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线y=ax2+2x+3上任意一点，过点P作直线垂直于抛物线y=ax2+2x+3的对称轴，垂足为Q，那么是否存在着这样的点P，使以P、Q、D为顶点的三角形与BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由9 如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0）和原点O正方形BCDE的顶点B在抛物线y=x2+bx+c上，且在对称轴的左侧，点C、D在x轴上

7、，点E在第四象限，且OD=1（1）求这条抛物线的解析式；（2）求正方形BCDE的边长；（3）若正方形BCDE沿x轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线y=x2+bx+c上时，求平移的距离；（4）若抛物线y=x2+bx+c沿射线BD方向平移，使抛物线的顶点P落在x轴上，求抛物线平移的距离10 已知：抛物线y=x2（2m+4）x+m210与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）“若AB的长为，求抛物线的解析式”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤的解题依据，步骤的解题方法；解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（，0）抛物线的对称性及，A

8、D=DB=点A（xA，0）在抛物线y=（xh）2+k上，0=（xAh）2+kh=xC=xD，将代入上式，得到关于m的方程（3）将（2）中的条件“AB的长为”改为“ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式11 已知一个二次函数的图象为抛物线C，点P（1，4）、Q（5，4）、R（3，0）在抛物线C上（1）求这个二次函数的解析式（2）我们知道，与y=kx+b（即kxy+b=0）可以表示直线一样，方程x+my+n=0也可以表示一条直线，且对于直线x+my+n=0和抛物线y=ax2+bx+c（a0），方程组的解（x，y）作为点的坐标，所确定的点就是直线和抛物线的公共点，如果直线L：x+my

9、+n=0过点M（1，0），且直线L与抛物线C有且只有一个公共点，求相应的m，n的值12已知抛物线y=ax2+6ax+c交x轴负半轴于A，B两点，以AB为边的矩形ABCD的顶点C，D在第二象限，过D点的直线y=ax+3a与x轴交于E（1）求SADE：S矩形ABCD；（2）当SADE=1，且抛物线的顶点在CD边上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线上是否存在一点P，使APB为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13如图1，抛物线F1：y=x2+b1x的顶点为P，与x轴交于A、O两点，且APO为等腰直角三角形，APO与APO关于原点O位似，且APO与APO在原点的两侧，相

10、似比为1：2，抛物线F2：y=a2x2+b2x经过O、P、A三点（1）求AO的长及a2的值；（2）若将“抛物线F1：y=x2+b1x”改为“抛物线F1：y=a1x2+b1x（a10）”，其他条件不变，求a2与a1的关系；（3）如图2，若将“抛物线F1：y=a1x2+b1x”改为“抛物线F1：y=a1x2+b1x+c1（a10）”，将“抛物线F2：y=a2x2+b2x”改为“抛物线F1：y=a2x2+b2x+c2”，将“相似比为1：2”改为“相似比为1：m”，猜想a2与a1的关系（直接写出答案）14 已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于B（2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x

11、的交点（1）求二次函数的解析表达式；（2）T为对称轴l上一动点，以点B为圆心，BT为半径作B，写出直线CT与B相切时，T点的坐标；（3）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且BPC为锐角，直接写出PE的取值范围；（4）对于（1）中得到的关系式，若x为整数，在使得y为完全平方数的所有x的值中，设x的最大值为m，最小值为n，次小值为s，求m、n、s的值（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数）15 如图四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t（1）求出经过O、A

12、、C三点的抛物线的解析式（2）若点Q的运动速度是点P的2倍，点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3时，请求出直线PQ的解析式（3）若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，两点运动到相遇停止设OPQ的面积为S请求出S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围（4）判断在（3）的条件下，当t为何值时，OPQ的面积最大？16 直线l的解析式为y=x+8，与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点（1）求点P的坐标及P的半径R；（2）若P以每秒个单位沿x轴向左运动，同时P的半径以每秒个单位变小，设P的运动时间为t秒，且P始

13、终与直线l有交点，试求t的取值范围17 如图，ABC中，C=90，AB=10，AC=8，点P在AB边上运动，且点P不与点A重合，过B、C、P三点的圆交AC于E，点E不与点C重合，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）证明：y2418 已知圆心在原点，半径为1的O，直线AB与O切于点P （m，n）且与x、y轴交于点A（a，0）、B（0，b）（a0，b0）（1）如图1，当m=时，求a的值；（2）如图2，连接OP，过P向x轴引垂线交x轴于点C，设x表示OPC的面积，y=a+b，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围19 如

14、图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以2为半径作M交x轴于A、B两点，交y轴的负半轴于点C，连接AM、AC、AD（1）设L是过点A的直线，它与M相交于点N，若ACN是等腰三角形，则满中条件的直线L有几条试写出所有满足条件的L的解析式，并在图中画出直线L（如果不止一条，则可以用L1、L2、L3，表示）；（2）在（1）的条件下，若直线L是某个一次函数的图象，它与y轴交于点S，连接MN，并且不再连接其它点，问是否存在一个三角形，使它总与MSN相似，证明你的结论；（3）在（2）的条件下求线段SM的长20 如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4

15、，2），点D（1，2），BC=9，sinABC=（1）求直线AB的解析式；（2）若点H的坐标为（1，1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求HGE的面积S（S0）随动点G的运动时间t秒变化的函数关系式（写出自变量t的取值范围）初三寒假120分以上压轴训练答案参考答案与试题解析 1 如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，这时（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；（3）若将图a中的ABC

16、绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现 解：（1）AF=BE证明：在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACF=BCE=60，AFCBECAF=BE（2）成立理由：在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACB=FCE=60，ACBFCB=FCEFCB，即ACF=BCEAFCBEC，AF=BE（3）此处图形不惟一，仅举几例如图，（1）中的结论仍成立（4）根据以上证明、说明、画图，归纳如下：如图a，大小不等的等边ABC和

17、等边CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE 2 将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1摆放（1）将图1中A1B1C绕点C顺时针旋转45得图2，点P1是A1C与AB的交点，求证：CP1=AP1；（2）将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转30到A2B2C（如图3），点P2是A2C与AB的交点线段CP1与P1P2之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60到CP3（如图4），连接P3P2，求证：P3P2AB 旋转角及图形特征，易证CP1P2CP3P2，根据角的关系证明垂直 （1）证明：过点P

18、1作CA的垂线，垂足为D易知：CDP1为等腰直角三角形，P1DA是直角三角形，且A=30，所以CP1=P1D，P1D=AP1，故CP1=AP1（2）解：过点P1作CA2的垂线，垂足为E，易知：P1EP2是等腰直角三角形，（其中2=A+P2CA=45），因为P1CE是直角三角形，且1=30，所以CP1=2P1E，P1E=P1P2，故CP1=P1P2（3）证明：将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60到CP3，易证：CP1P2CP3P2，于是CP3P2=CP1P2=105，P1P2P3=360105260=90，故P2P3AB【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大

19、小、形状都不改变，充分运用特殊直角三角形的特点找线段关系3 图1是边长分别为和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围 解：（1）BE=ADABC，CDE都是等边三角形，

20、AC=BC，CD=CE，ACB=ECD=60BCE=30，ACE=30，ACD=30ADCBEC（SAS），BE=AD（2）设PR、RQ分别交AC于G、H，QC=x，由（1）可知ACF=30，PQR=60，CHQ=30，QH=QC，RHG=CHQ=30，RGH=90，RH=3QH=3QC=3x，RG=（3x），GH=（3x），所以SRtGHR=RGGH=（3x）2，而CDE的边长为3，得出SPQR=，重叠部分面积y=（3x）2，即：y=+x+（0x3）【点评】此题综合性较强，考查了全等三角形的判定、等边三角形的性质4 如图，ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时

21、针方向旋转得到CDE（使BCE180），连接AD、BE，设直线BE与AC、AD分别交于点O、E（1）若ABC为等边三角形，则的值为1，求AFB的度数；（2）若ABC满足ACB=60，AC=，BC=，求的值和AFB的度数；若E为BC的中点，求OBC面积的最大值 【分析】（1）求的值，可以通过证明CBECAD，得到AD=BE求出，求AFB的度数，通过AOF与BOC比较得出；（2）求的值和AFB的度数，可以通过证明CBECAD得到；要求OBC面积的最大值，因为ACB=60，BC=，即求CO的最大值，用面积公式结合三角函数可以得出 解：（1）连接DE，ABC为等边三角形，DEAB，CED，CDE为等边

22、三角形CD=CE，BCA+ACE=DCE+ACE即BCE=DCA，AC=CBCBECAD（SAS），CAF=CBO，AD=BE，的值为1，CAF=CBO，ABO+BAF=120，AFB=60（2）AC=，BC=，DEAB，CA：CB=：，CD：CE=：=CD：CE，CA：CB=CD：CE=：，BCE=DCA，CBECAD，=，CBF=CAD，BOC=AOF，AFB=ACB=60：当CO=，OBC面积的最大值=0.5BCsinACBCO= 5 如图，平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，DOB=45，点P从O沿OB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P，Q同时出发，速度都是1

23、cm/s（1）求经过O，B，D三点的抛物线的解析式；（2）判断P，Q移动几秒时，PBQ为等腰三角形；（3）若允许P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，设线PQ与OB，BC，DC围成的图形面积为y（cm2），点P，Q的移动时间为t（s），请写出y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围 解：（1）过点D作DMOB于M，平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，DOB=45，OD=BC=6cm，OM=DM=ODsin45=6=3，D（3，3），B（8，0），设经过O，B，D三点的抛物线的解析式为：y=ax（x8），将D的坐标代入得：3=3a（38），解得：a=，y=x（x8）

24、；（2）PBQ=180DOB=135，若PBQ为等腰三角形，则PB=BQ设P，Q移动t秒时，PBQ为等腰三角形，P点走过的路程为t，Q点走过的路程为t，PB=OBt=8t（cm），BQ=tcm若PB=BQ，则8t=t，解得：t=4（s）P，Q移动4秒时，PBQ为等腰三角形；（3）如图：过点D作DMOB于M，过点P作PNOB于N，交CD于H，四边形OBCD是平行四边形，CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CDOB，HN=DM=3cm，PHCD，CPHBPN，由题意得：PC=14t（cm），PB=t8（cm），CQ=t6（cm），解得：PH=（14t），y=SOBCDSCPQ=83（t6）（1

25、4t）=t25t+45，P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，8t14，y与t之间的函数关系式为y=t25t+45，t的取值范围为8t14 6如图，直线y=x4分别交x、y轴于A、B两点，O为坐标原点（1）求B点的坐标；（2）若D是OA中点，过A的直线l（3）把AOB分成面积相等的两部分，并交y轴于点C求过A、C、D三点的抛物线的函数解析式；把中的抛物线向上平移，设平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，试问过M、N、B三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，求出圆的面积；若不存在，请说明理由 解：（1）当x=0时，y=4，B点的坐标为（0，4）；（2）过A的直线l（3）把AO

26、B分成面积相等的两部分，C（0，2），又A（，0），D是OA中点，D（，0），设过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，解得：，过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为y=x2+x2；存在理由如下：抛物线的解析式可化为y=（x5）2+，其对称轴是x=5由于过M、N的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点B到圆心的距离要最短，过B作BE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，则符合条件的圆是以E为圆心，EB长为半径的圆，其面积为25 7 已知抛物线经过坐标原点，与直线相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于点C和D（1）求A、B两点的坐标；（2）若把抛物线向下平

27、移，使得抛物线经过点C，此时抛物线与直线相交于另一点E，与x轴相交于点F，求CEF的面积；（3）把抛物线上下平移，与直线相交于点G、K，能否使得CG：DK=1：2，若能成立，请求出向上或向下平移几个单位，若不能，请说明理由 解：（1）由题意得：=，x2x2=0，x1=2，x2=1，A（1，），B（2，2） （2）把向下平移a个单位经过点C，则抛物线变为：，又，得C（2，0），D（0，1），0=（2）2a，a=2，=，x2x6=0x1=3，x2=2，E（3，）又C，F关于y轴对称F（2，0）CF=2（2）=4SCEF=CFE点纵坐标的绝对值=4=5（2分）（3）设抛物线上下平移k个单位，G点坐标

28、为（m，），K点坐标为（n，G在C上方时，解得k=0，没有移动，舍去；G在C下方时，解得k=14，即向下平移14个单位，所以，当抛物线向下平移14个单位时，满足要求8抛物线y=ax2+2x+3（a0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D，而且经过点（2，3）（1）写出抛物线的解析式及C、D两点的坐标；（2）连接BC，以BC为边向右作正方形BCEF，求E、F两点的坐标；若将此抛物线沿其对称轴向上平移，试判断平移后的抛物线是否会同时经过正方形BCEF的两个顶点E、F？若能，写出平移后的抛物线解析式；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线y=ax2+2x+3上任意一点，过点P作直线垂直于抛物线

29、y=ax2+2x+3的对称轴，垂足为Q，那么是否存在着这样的点P，使以P、Q、D为顶点的三角形与BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由解：（1）y=x2+2x+3，C（0，3），D（1，4）（2）E（3，6）；F（6，3）设抛物线沿对称轴向上平移m个单位，则平移后抛物线解析式为y=（x1）2+（4+m），当点E在此抛物线上，则把E点（3，6）代入，求的抛物线解析式为：y=（x1）2+10，把x=6代入，y=153，所以平移后的抛物线不可能同时经过正方形BCEF的两个顶点E、F（3）因为C（0，3），B（3，0），所以BOC为等腰直角三角形，假设存在这样的DQP与BOC相似，则

30、DQP也为等腰直角三角形，DQ=QP设P（x，x2+2x+3），得到：4（x2+2x+3）=x1或者4（x2+2x+3）=1x，解得：x=1（舍去）；x=2；x=0；x=1（舍去），所以存在这样的P点2个：（2，3）；（0，3）9如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0）和原点O正方形BCDE的顶点B在抛物线y=x2+bx+c上，且在对称轴的左侧，点C、D在x轴上，点E在第四象限，且OD=1（1）求这条抛物线的解析式；（2）求正方形BCDE的边长；（3）若正方形BCDE沿x轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线y=x2+bx+c上时，求平移的距离；（4）若抛物线y=x2+bx+c沿射线B

31、D方向平移，使抛物线的顶点P落在x轴上，求抛物线平移的距离解：（1）由题意可得：，解得y=x23x（2）设正方形的边长为a，则B（1a，a）代入解析式得（3）当E点运动到抛物线上时，设平移后正方形为EBCD，根据抛物线的对称性可知：E（1+，1），因此OD=1+，即平移的距离为ODOD=当B点运动到抛物线上时，同理可求得B（1+，1），因此OC=1+，因为OC=1a=2，因此平移的距离为OCOC=21当D点运动到抛物线上时，可得D（3，0），因此平移的距离为ODOD=31=2当C点运动到抛物线上时，可得C（3，0），因此抛物线移动的距离为OCOC=3（2）=1+综上所述，正方形平移的距离为，2

32、，21，+1（4）设平移后抛物线的顶点为P，易知：直线BD的解析式为y=x1因此可设直线PP的解析式为y=x+h易知P（，），代入直线PP中可得h=因此P（，0）则平移的距离为=10已知：抛物线y=x2（2m+4）x+m210与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）“若AB的长为，求抛物线的解析式”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤的解题依据，步骤的解题方法；解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（，0）抛物线的对称性及，AD=DB=点A（xA，0）在抛物线y=（xh）2+k上，0=（xAh）2+kh=xC=xD，将代入上式，得到

33、关于m的方程（3）将（2）中的条件“AB的长为”改为“ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式解：（1）y=x2（2m+4）x+m210=x（m+2）24m14，顶点C的坐标为（m+2，4m14）（2）由（1）知，对称轴与x轴交于点D（m+2，0），抛物线的对称性及AB=2，AD=DB=点A（xA，0）在抛物线y=（xh）2+k上，0=（xAh）2+kh=xC=xD，将代入上式，得到关于m的方程0=（）2+（4m14）解得m=3，当m=3时，抛物线y=x2+2x1与x轴有交点，且AB=2，符合题意所求抛物线的解析式为y=x2+2x1步骤的解题依据：抛物线上一点的坐标满足此函数解析

34、式；步骤的解题方法：代入法（3）ABC是等边三角形，由（1）知CD=|4m14|=4m+14（4m140），AD=DB=CD=（4m+14）（4m140），点A（xA，0）在抛物线上，0=（xAh）2+kh=xC=xD，将|xAxD|=（4m+14）代入上式，得0=（4m+14）24m14，4m140，（4m+14）1=0，解得m=，当m=时，抛物线y=x2+与x轴有交点，且符合题意所求抛物线的解析式为y=x2+11已知一个二次函数的图象为抛物线C，点P（1，4）、Q（5，4）、R（3，0）在抛物线C上（1）求这个二次函数的解析式（2）我们知道，与y=kx+b（即kxy+b=0）可以表示直线一

35、样，方程x+my+n=0也可以表示一条直线，且对于直线x+my+n=0和抛物线y=ax2+bx+c（a0），方程组的解（x，y）作为点的坐标，所确定的点就是直线和抛物线的公共点，如果直线L：x+my+n=0过点M（1，0），且直线L与抛物线C有且只有一个公共点，求相应的m，n的值解：（1）y=x2+6x9（2）直线l为：x+my1=0，直线L与抛物线C有且只有一个公共点，有且只有一解由x+my1=0得x=1my，（3）把（3）代入二次函数中得：y=（1my）2+6（1my）9，整理得：m2y2+（4m+1）y+4=0，于是由=（4m+1）24m24=0，m=，故：当m=，n=1时，直线l为：x

36、+y1=0与抛物线C：y=x2+6x9有且只有一个公共点12已知抛物线y=ax2+6ax+c交x轴负半轴于A，B两点，以AB为边的矩形ABCD的顶点C，D在第二象限，过D点的直线y=ax+3a与x轴交于E（1）求SADE：S矩形ABCD；（2）当SADE=1，且抛物线的顶点在CD边上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线上是否存在一点P，使APB为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）易知：抛物线的对称轴为x=3，E（3，0）；则E点在抛物线的对称轴上，即AE=BE=AB；由于SADE=AEAD=ABAD=S矩形ABCD；故SADE：S矩形ABCD=1：4（2

37、）由（1）知：S矩形ABCD=4SADE=4；ABBC=2，E（3，0），抛物线的顶点坐标为：（3，2），B（2，0），设y=a（x+3）2+2，a+2=0，解得：a=2，抛物线的解析式为：y=2（x+3）2+2=2x212x16（3）根据（2）得A（4，0），B（2，0）；设P（x，2x212x16），由于PAB和PBA都不可能是直角，则只有一种情况：APPB，互相垂直的两条直线的斜率的积等于1，整理得：4x2+24x+33=0，解得x=，代入抛物线的解析式中，可得P点坐标为：P（，）或（，）13如图1，抛物线F1：y=x2+b1x的顶点为P，与x轴交于A、O两点，且APO为等腰直角三角形，

38、APO与APO关于原点O位似，且APO与APO在原点的两侧，相似比为1：2，抛物线F2：y=a2x2+b2x经过O、P、A三点（1）求AO的长及a2的值；（2）若将“抛物线F1：y=x2+b1x”改为“抛物线F1：y=a1x2+b1x（a10）”，其他条件不变，求a2与a1的关系；（3）如图2，若将“抛物线F1：y=a1x2+b1x”改为“抛物线F1：y=a1x2+b1x+c1（a10）”，将“抛物线F2：y=a2x2+b2x”改为“抛物线F1：y=a2x2+b2x+c2”，将“相似比为1：2”改为“相似比为1：m”，猜想a2与a1的关系（直接写出答案）解：（1）由题意知：抛物线F1：y=x2

39、+b1x的顶点为P（，）；由于APO为等腰直角三角形，则=，解得b1=2；故OA=2=b1=2，OA=OA=1；同理，抛物线F2：y=a2x2+b2x的顶点为P（，）；由于APO是等腰直角三角形，故=（*），而OA=1，即=，即b2=a2，代入（*）中，得：a2=2（2）易得P（，），P（，）；由于两个抛物线关于原点对称，且位似比为1：2，则有：=2（），=2（）；联立两式，可得a2=2a1（3）设AOP的斜边长为2R，APO的斜边长为2r；易知：P（，），P（，）；那么B点横坐标可表示为：R，纵坐标可表示为：a1（R）2b1（R）+c1；由于AOP是等腰直角三角形，则有：a1（R）2b1（R

40、）+c1=R，整理得：a1R2=R，即R=；同理可得：r=；而R=mr，则=，即a2=ma114已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于B（2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x的交点（1）求二次函数的解析表达式；（2）T为对称轴l上一动点，以点B为圆心，BT为半径作B，写出直线CT与B相切时，T点的坐标；（3）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且BPC为锐角，直接写出PE的取值范围；（4）对于（1）中得到的关系式，若x为整数，在使得y为完全平方数的所有x的值中，设x的最大值为m，最小值为n，次小值为s，求m、n、s的值（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么就称这个数为完

41、全平方数）解：（1）由于抛物线的图象经过B（2，0），C（4，0）两点，则有：，解得；故抛物线的解析式为：y=x2+2x+8（4分）（2）易知抛物线的对称轴为：x=1；设点T（1，m），则直线BT的斜率：k1=，直线CT的斜率：k2=；若B与CT相切，则有：，解得m=3；故T（1，3）或（1，3）（2分）（3）以E为圆心，BC长为直径作圆，交抛物线于M、N两点；由圆周角定理知：BMC=BNC=90，此时ME=NE=BC=3；若BPC是锐角，那么点P必在M、N之间的抛物线图象上，故PE3；易知抛物线的顶点坐标为：（1，9），当点P运动到抛物线的顶点位置时，PE的长最大，且此时PE=9；综上可知，

42、PE的取值范围为：3PE9（2分）（4）法一：由y=x2+2x+8，故关于x的一元二次方程x22x+（y8）=0有整数解，因此x=44（y8）=4y+36是完全平方数，且x=4y+360，则y9，又y是一个完全平方数，所以，y只能为0，1，4，9；（1分）分别代入方程x22x+（y8）=0，又x为整数，解得，因此m=4、n=2、s=1（1分）法二：由图象不难看出0y9，又y是一个完全平方数，所以y只能为0，1，4，9，（1分）分别代入关系式y=x2+2x+8，又x为整数，解得，因此m=4、n=2、s=1（1分）15如图四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4，0），动点P、Q同时从点O出发，点

43、P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t（1）求出经过O、A、C三点的抛物线的解析式（2）若点Q的运动速度是点P的2倍，点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3时，请求出直线PQ的解析式（3）若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，两点运动到相遇停止设OPQ的面积为S请求出S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围（4）判断在（3）的条件下，当t为何值时，OPQ的面积最大？解：（1）设AB、OC相交于点D四边形ACBO是正方形，OD=CD=OC，ODCD，OAD=AOC=45，AB=OC，OAC=90，ADC=90，

44、DO=DA，AB=4，OA=AC=BC=OB=4，OC=4，DO=DA=2，点A（2，2），设经过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由题意得，解得：故经过O、A、C三点的抛物线的解析式为：y=；（2）设t秒后点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点ROP=t，OB+BQ=2tAP=4t，BQ=2t4AR=3BR=ARPBRQ解得：t=OP=，P（）BQ=，Q（）设PQ的解析式为y=kx+b，由题意得解得：PQ的解析式为：y=；（3）由题意得t+2t=16解得：t=PQ相遇的时间为在整个运动过程中S与t的函数关系式有三种情况：（4）在（3）的条件下，当t=4时，OPQ的面积最大S

45、OPQ最大=816直线l的解析式为y=x+8，与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点（1）求点P的坐标及P的半径R；（2）若P以每秒个单位沿x轴向左运动，同时P的半径以每秒个单位变小，设P的运动时间为t秒，且P始终与直线l有交点，试求t的取值范围解：（1）如图所示，设半径为r，由于圆与直线l相切于B点，所以根据勾股定理，OP2=r282，故OP=；根据射影定理，OB2=OAOP，即82=，解得r=10OP=6P点坐标为（6，0）（2）根据勾股定理，AB=，根据题意得：（+6）2（10t）2，整理得t210t0，解得0秒t10秒17如图，ABC中，C=90，AB=10，AC=8，点P在AB边上运动，且点P不与点A重合，过B、C、P三点的圆交AC于E，点E不与点C重合，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）证明：y24（1）解：在RtABC中，由勾股定理知，BC=6四边形BCEP是圆内接四边形，C=90，EPB=90，AB，AC是圆的割线，APAB=AEACAE=x在RtAPE中，由勾股定理知，PE=x，CE=ACAE=8x，PB=A