平方差与完全平方

1、平方差与完全平方知识讲解平方差公式2 2(a b)(a -b)二a -b平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差. 左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数. 右边是乘方中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).注意：公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式.女口： (a 2)(a 2) =a 4 ; (x 3y)(x 3y)二x -9y ;(a b c)(a b _ c) = (a b)2 _ c2; (a3 b5)(a3 -b5)二a6 - b10 .不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形.2 2女口： 97 103 =(100 -3

2、)(100 3)=9991 ; (a b)( -b a) =(a b)(a-b) = a -b完全平方公式2 2 2 2 2 2(a b) =a 2ab b ; (ab) =a -2ab b即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.完全平方公式的特点： 左边是一个二项式的完全平方， 右边是一个二次三项式， 其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的 2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”注意：公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，2 2 2 2(a b

3、c) =( a b) c =(a b) 2(a b) c c=a2 2ab b2 2ac 2bc c2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc【例1】 如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成4一个长方形，上述操作所能验证的公式是a【变式练习】如图，在边长为 a的正方形中剪去一个边长为 部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式b的小正方形（a b ），把剩下的【例2】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于 a、b的恒等式【例3】运用平方差公式计算:(1) x-3y x 3y(2) x ab x

4、-ab( 3)12 b2 b2 -12/ 八212,1(4)(xy-2)(xy 2)/、“ m 丄 n、“ m . n、(5)(a b )(a -b )2x -3y 3y 2x23【例4】运用平方差公式计算:(1) 2b c -2b 亠c(2)-m2n2 -m2n - 2(3) 3a -1)(/a 1)【变式练习】下列各式中能使用平方差公式的是（）A . 4x _3y 3y 4xC . x2 y2y2x2【例5】利用平方差公式简化计算:B .-2x-3y 2x 3y(2) 102 98(1)59.8 60.22(3) 12346 -12345 12347(4)15 15【例6】 已知：x、y为

5、正整数，且4x2-9y2=31，求出满足条件x、的值.【例7】 如果(2a - 2b - 1)(2a - 2b _1) =63，那么a b的值是【变式练习】下面计算-7 a b _7_a_b正确的是( )A .原式=(_7+a+b )7 (a+b M=72 + (a+b $ 2 2B .原式=-7 a b ?卜7 a b =7 a bC .原式=(7ab)T(7+a+b=72(a+bjD .原式=-(7+a )+b_(7+a )-bj=(7+a $ _b2(2) a 3 a2 9 a-3 a4 81【例 8】 化简：(1) x 1 x2 1 jix -1 jx41(3)2 1 22 1 24 1 28 1 L2641【例9】296 -1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数.24【变式练习】已知3 -1可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数.6【例10】直接写出结果:(1)(2)心)282(3) (3x2y)1 2(4)(旳一)42(3)-xy =2 2例 11】计算：(1) (4m n)(2) x_3y2【变式练习】计算：(1) (a 11b)2(2) (-2x-3y)22 2(3)