曲线积分有曲面积分课件

1、曲线积分有曲面积分一一. . 格林公式格林公式 二二. .平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件 三三 . . 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 dyPxQQdyPdxDL yPxQ ,00 yxyxQdyPdxyxu曲线积分有曲面积分T xyoABLdxdyds LLdsQPQdyPdxcoscos ,),( Ldsyxf一一. .对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分二、对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(三、两种曲线积分的关系三、两种曲线积分的关系曲线积分有曲面积分DD一一

2、. 格林公式格林公式 平面平面单连通单连通与与复连通复连通区域的概念区域的概念:否则称为否则称为复连通复连通区域区域.单连通（无洞）单连通（无洞）复连通（有洞）复连通（有洞）当你沿这个方向行走时当你沿这个方向行走时, 若平面区域若平面区域内任一闭曲线所围区域都属于内任一闭曲线所围区域都属于D,D则称则称为为单连通单连通D区域。区域。LL平面区域平面区域的边界曲线的边界曲线D的的正向正向规定为规定为:L内靠近你的那一部分区域总在你的内靠近你的那一部分区域总在你的左侧左侧.D曲线积分有曲面积分定理定理1 dyPxQQdyPdxDL 分析分析: LQdyPdx LPdx LQdy dyPxQD dx

3、QD dyPD 只须证只须证: , dyPPdxDL 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线 围成围成,Ly,xQ,y,xP函数函数在在上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数 ,D则有则有格林格林(Green)公式公式其中其中是是L的取的取正向正向的整个边界曲线。的整个边界曲线。D因因 DLdxQQdy 曲线积分有曲面积分超过两个。超过两个。DyOx1L xy1 2L xy2 dyPD xxbadyyyxPdx21, dxyxPbaxx 21, LPdx 21,LLdxyxPdxyxP badxxxP1, abdxx,xP2 badxxxPxxP21, DLdyPPdx 所以所以证证

4、（1）的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不假定区域假定区域D即区域即区域既是既是 X-型又是型又是 Y-型。型。Dba dxxxPxxPba 12, 曲线积分有曲面积分DyOx dxQD dxxyxQdydcyy 21, dcyydyyxQ21, LQdy 1,LdyyxQ2Ldyy,xQ cddyyyQ,1 dcdyyyQ,2 dcdyyyQyyQ,12 dxQQdyDL 所以所以1L2L yx2 cd dcdyyyQyyQ,12 yx1 曲线积分有曲面积分yOxAPMCBN1D2D3D321DDDD dyPxQD 1BACBAMCQdyPdx dyP

5、xQD 2ABBPAQdyPdx dyPxQD 3BCCNBQdyPdx dyPxQD 证毕证毕.若区域若区域（2）的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点多于两个的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点多于两个.DBACBAMCQdyPdxABBPAQdyPdxBCCNBQdyPdx BCCNBABBPABACBAMCQdyPdxLQdyPdx曲线积分有曲面积分解解,yxP2yPxQ 2x由格林公式得由格林公式得dyyydxxL32 dxD 2xxdydxx2102dxxx1034201102xxyx:D例例1 计算计算,dyyydxxL32其中其中2xy 是由曲线是由曲线Lxy 及及所围所围区域区

6、域的正向边界曲线。的正向边界曲线。DyOxD.yQ3画草图画草图,曲线积分有曲面积分例例2 计算计算,2dxdyeDy 其中其中 D 是以是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为为顶点的三角形闭区域顶点的三角形闭区域.xyDABo11解解, 0 P令令,2yxeQ yPxQ 2ye dxdyeDy 2 BOABOAydyxe2 OAydyxe2dxxex 102)1(211 e曲线积分有曲面积分证证 ,xyP2.xQ2yPxQ xx220由格林公式得由格林公式得dyxxydxL2200Dd 边界边界. 由格林公式得由格林公式得LdyyxdxyxDd 11 2ab 2, yxP解解

7、例例3.dyxxydxL022设设 是任意一条取正向的闭曲线是任意一条取正向的闭曲线,L证明证明Ldyyxdxyx例例4 计算计算, 其中其中12222byax为椭圆为椭圆L的正向的正向.yxQyOxD,yP1.xQ1曲线积分有曲面积分yOxA解解构造成封闭曲线构造成封闭曲线 ,由格林公式知由格林公式知,dymycosedxmyysinexOALx dmycoseycoseDxxDdm 2 m,yOA0:dymycosedxmyysinexOAx0020dxOAOALI2 m例例5 计算计算,dymycosedxmyysineILxx其中其中L是由点是由点的上半圆周的上半圆周. xyx2220

8、2,A00,O到点到点,OA添加辅助线添加辅助线，20:x曲线积分有曲面积分解解,22yxyP 当当022 yx时时, 2222222yxxyxxQ 22222yxxy yP （1）若）若,D, 00由格林公式得由格林公式得0DQPIdxy例例6 计算计算L,yxydxxdyI22其中其中为一条无重点分段光滑且不过原为一条无重点分段光滑且不过原L点的连续曲线点的连续曲线 ， 的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.L.22yxxQ yOxD设设所围区域为所围区域为L,D曲线积分有曲面积分L（2）若）若,D,00添加辅助线添加辅助线2221ryx:L, 取顺时针方向取顺时针方向.1L1D, 由格林

9、公式得由格林公式得 122LLyxydxxdy 10Dd 122LyxydxxdyI, sincos:1 ryrxL 022sinsincoscos drrrrr 2 0 设设L所围区域为所围区域为1D1L与与. 0 2: yOx曲线积分有曲面积分特别地，格林公式中特别地，格林公式中,则则LydxxdyDd 2 2所以所以 Lydxxdy21 例例7.求椭圆求椭圆tsinby, tcosax所围图形的面积。所围图形的面积。解解Lydxxdy21 2021dttsinatsinbtcosbtcosaab .xQ, yP若取若取yOx曲线积分有曲面积分yOxG二二.平面上曲线积分与路径无关的条件平

10、面上曲线积分与路径无关的条件2L1L恒有恒有21LLQdyPdxQdyPdx成立，成立，210LLQdyPdxQdyPdx210LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdx即即若对开区域若对开区域内任意两点内任意两点GBA、以及以及内从内从G的任意两条曲线的任意两条曲线,LL21、点点到点到点AB内与路径无关内与路径无关.LQdyPdx在在则称曲线积分则称曲线积分G曲线积分曲线积分LQdyPdx在在内与路径无关内与路径无关G其中其中为为C内任意闭曲线内任意闭曲线.G.QdyPdxC0等价于等价于BA曲线积分有曲面积分定理定理2导数导数,yPxQ 证证,yPxQ 有有即曲线积分与路径无关即

11、曲线积分与路径无关.反证法反证法. 假设在点假设在点0M处处,yPxQ 不妨设不妨设0MyPxQ 存在存在,r0内恒有内恒有,2 yPxQ则则 CQdyPdx dyPxQD 2矛盾矛盾.证毕证毕y,xQ,y,xP在在单连通单连通区域区域设函数设函数内具有一阶连续偏内具有一阶连续偏G在在 内恒成立。内恒成立。G:若在若在内恒有内恒有G则对则对G内任意闭曲线内任意闭曲线,C:,0 在以在以0M为圆心为圆心, 以以 为半径的圆域为半径的圆域rDLQdyPdx在在内内与路径无关的充要条件与路径无关的充要条件是是G则曲线积分则曲线积分CPdxQdy0DQPdxy曲线积分有曲面积分解解, xePy yex

12、Q yP 在整个平面区域内曲线积分与路径无关在整个平面区域内曲线积分与路径无关, CBOCL101dxxdyyey20220223yey272 e例例8 计算计算Lyy,dyyxedxxe2为过点为过点其中其中L、1000,A,O三点所决定的圆周上的一段弧三点所决定的圆周上的一段弧 ,21,B为起点为起点,O为终点为终点.ByxeQy2 取折线取折线作为积分路径作为积分路径,OCBCyOxBAL曲线积分有曲面积分例例9 计算计算dyxyyxdxyxyI,22432132366解解2236xyyxQ,yxyP3262312yxyxQ yP 所以曲线积分与路径无关。所以曲线积分与路径无关。,yAC

13、2:,xCB3: CBACI31824dxx422954dyyy4232312327812yyxx236在整个在整个面内成立。面内成立。xOy取折线取折线.ACByOxBAC.x31: .y42:曲线积分有曲面积分 三三 . . 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 对可微函数对可微函数,y,xuu 其全微分为其全微分为.dyyudxxudu问题问题:如何求出这个函数如何求出这个函数?y,xu定理定理3则则dyy,xQdxy,xP为某一函数为某一函数y,xu的全微分的的全微分的充要条件是充要条件是yPxQ 且且 ,00 yxyxQdyPdxyxu导导数，数，y,xQ,y,xP在单连通区域在

14、单连通区域内有一阶连续偏内有一阶连续偏G设函数设函数 其中其中00y,x为为内一定点。内一定点。Gdyy,xQdxy,xP如何判断它是某个函数的全微分如何判断它是某个函数的全微分?对对曲线积分有曲面积分证证 必要性必要性设存在某设存在某 u (x, y), . ),( yxQyu .2xQxyu xyuyxu 22 xQyP dyyxQdxyxPdu),(),( 使得使得则则),(yxPxu 从而从而,2yPyxu 曲线积分有曲面积分 ),(),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxPyxu这个积分写成这个积分写成.),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxP当起点

15、当起点),(000yxM给定时给定时, 这个积分的值由终点这个积分的值由终点 M (x, y) 所确定所确定.因此它是因此它是 x, y 的函数的函数,记为记为下面证明下面证明.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 由偏导数的定义由偏导数的定义xyxuyxxuxux ),(),(lim0 ) ,() ,(00),(),(),(yxxyxdyyxQdxyxPyxxu充分性充分性设条件在设条件在G内成立内成立, 为起点为起点 M (x, y)为终点的曲线积分与路径无关为终点的曲线积分与路径无关.于是可把于是可把),(000yxM由定理由定理2知知,在区域在区域G内以内以曲线积分有曲面积分

16、从而从而 ),(),(),(),(),(),(yxxyxdyyxQdxyxPyxuyxxu xxxdxyxP),(),(yxxN),(000yxM),(yxMxyoG由定积分中值定理由定积分中值定理)10( ),(),(),( xyxxPyxuyxxu上式两边除以上式两边除以 x, 并令并令 x0取极限取极限,可得可得).,(yxPxu 同理可证同理可证),(yxQyu 因函数因函数 P (x, y), Q (x, y) 都是连续的都是连续的,故函数故函数 u (x, y)可微分可微分,并且并且 .),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 证毕证毕. ),(),(),(),(),(00

17、yxyxdyyxQdxyxPyxu ) ,() ,(00),(),(),(yxxyxdyyxQdxyxPyxxu曲线积分有曲面积分yOxy,xBy,xD00y,xC dxyxPxx 00,yydyy,xQ0)( dyyxQyy 0,0 xxdxy,xP0是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数。并求出一个这样的函数。解解, yxQ,xyP22.yPxyxQ2所以所以,ydyxdxxy22是某个函数的全微分。是某个函数的全微分。 ydyxdxxyyxuyx ,0,022, xdx00ydyxy 022221yx 例例10 验证验证:在整个在整个ydyxdxxy22面内面内,xOy在整个在整个面内成立。面内成立。xOy00y,xAy,xByOx注注. 若积分路线的起点不同若积分路线的起点不同,所得结果可能差一常数所得结果可能差一常数. ),(),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxPyxu曲线积分有曲面积分例例11 并求出一个这样的函数并求出一个这样的函数.解解 令令,22yxyP 22yx