曲线积分有曲面积分最新课件

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2、zyxP则则连续偏导，连续偏导，dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR RdzQdyPdx右手规则右手规则：右手四指以：右手四指以 的方向绕行，大拇指所指方向与的方向绕行，大拇指所指方向与 法向量法向量方向相同，称方向相同，称 是有向曲面是有向曲面 的正向边界曲线的正向边界曲线.上上n xyzo),(:yxfz 曲线积分有曲面积分最新斯托克斯公式斯托克斯公式 也可写成也可写成: RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz或或 RdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscoscos,cos,cos n为为 上的上的单位法向量单位法向量.dxdyyPxQdzdxxRzPd

3、ydzzQyR RdzQdyPdx曲线积分有曲面积分最新解解xyz111 ydzxdyzdx yxzzyxdxdydzdxdydz dxdydzdxdydzyxz 1: dxdy3 xyDdxdy323 例例1 利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算 ydzxdyzdx, 其中其中 为平面为平面1 zyx被三个坐标面截成的三角形的整个边界被三个坐标面截成的三角形的整个边界,其正向其正向形上侧的法向量符合右手法则形上侧的法向量符合右手法则.与三角与三角31cos 31cos 31cos dsyxzzyxI3/13/13/1 ds332)2(4333 23 曲线积分有曲面积分最新31coscos

4、cos 例例2. 计算计算dzyxdyxzdxzyI)()()(222222 , 其中其中 是由是由 平面平面2/3 zyx截立方体截立方体:10 , 10 , 10 zyx的表的表面所得的截痕面所得的截痕,若从若从x轴正向看去轴正向看去,取逆时针方向取逆时针方向.由斯托克斯公式得由斯托克斯公式得 dsyxxzzyzyxI2222223/13/13/1 dszyx)(34 xyDdxdy32334yxo111/21/2xyD29)8121 ( 6 ,2/3yxz 取取 为平面为平面2/3 zyx的的上侧上侧 所围成所围成 的部分的部分.被被解解 yz111ox 曲线积分有曲面积分最新2xyzo

5、 取取 为平面为平面2 z的的上侧上侧被被 所围部分所围部分.2 由斯托克斯公式得由斯托克斯公式得dzyzxzdyydx 23 23yzxzyzyxdxdydzdxdydz dxdyzdydzxz)3()(2 dxdyz)3( xyDdxdy)32(xy 5 20 另解另解:1cos, 0coscos dzyzxzdyydx 23 dsyzxzyzyx23100 dsz) 3( 20 例例3 利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算,32dzyzxzdyydx 其中其中 是是, 2,222 zzyx若从若从z 轴正向看去轴正向看去,取逆时针方向取逆时针方向.圆周圆周解解曲线积分有曲面积分最新设有向量场设有向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 为向量场为向量场A的的旋度旋度 yPxQxRzPzQyR,RQPzyxkji 为向量场为向量场A沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的的环流量。环流量。 RdzQdyPdx则称则称 Arot二、环流量与旋度二、环流量与旋度曲线积分有曲面积分最新例例4 设向量场设向量场ArotkxyjzxiyzA求求,)2()3()32( 解解xyzxyzzyxkjiArot2332 kji642 例例5 求向量场求向量场kjxi yA2 沿