中考数学复习-三角函数-教案

1、中考数学专题复习四 锐角三角函数【教学笔记】1、 锐角三角函数的概念1、 三角函数的定义2、 勾股定理的应用3、 数形结合思想2、 特殊三角函数值的计算3、 解直角三角形1、 求线段长度、角度2、 勾股定理4、 解直角三角形的应用1、 方向角问题2、 作辅助线构造直角三角形3、 列方程【典型例题】考点一、锐角三角函数的概念【例1】（2014年四川巴中）在RtABC中，C=90，sinA=，则tanB的值为（）ABCD解：sinA=，设BC=5x，AB=13x，则AC=12x，故tanB=故选D【例2】（2016四川达州）如图，半径为3的A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧A优弧上一点，则

2、tanOBC为（）AB2CD【解答】解：作直径CD，在RtOCD中，CD=6，OC=2，则OD=4，tanCDO=，由圆周角定理得，OBC=CDO，则tanOBC=，故选：C【课后练习】1、 （2016四川乐山）如图，在中，于点，则下列结论不正确的是（ ） 解析：由正弦函数的定义，知：A、B正确，又CADB，所以，D也正确，故不正确的是C。2、 (2016四川自贡)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=3，tanAPD的值=2【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，ACPB

3、DP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得AP:PB=DB:AC=DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在RtPBF中，即可求得tanBPF的值，继而求得答案【解答】解：（1）四边形BCED是正方形，DBAC，DBPCAP，=3。（2）连接BE，四边形BCED是正方形，BF=CF，由（1）得DP：CP=BD：AC=1：3，DP：DF=1：2，DP=PF=1/2CF=1/2BF，在RtPBF中，tanBPF=2，APD=BPF，tanAPD=2，考点二：特殊三角函数值的计算【例1】（2016四川成都）（1）计算：解析：（1）-842 1= -4-41= -4【例2】(2016

4、四川自贡)计算：【解答】解：原式=2+1+1=2【课后练习】1、 （2016四川达州6分）计算：（2016）0+|3|4cos45【解答】解：原式=21+34=22、 （2016四川广安5分）计算：解：原式=33+3+2=03、 （2016四川乐山9分）计算：.解析：原式.4、 （2015四川成都）(1)计算：【答案】：8 考点三：解直角三角形【例1】（2015四川省内江市）在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC=_.分析：由B=30，AB=12，AC=6，利用30所对的直角边等于斜边的一半易得ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长解：B=30，AB=12，AC=6，ABC是

5、直角三角形，BC=6，故答案为：6【例2】（2016资阳）在RtABC中，ACB=90，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A2 B4 C2 D【考点】扇形面积的计算菁优网版权所有【解答】解：D为AB的中点，BC=BD=AB，A=30，B=60AC=2，BC=ACtan30=2=2，S阴影=SABCS扇形CBD=22=2故选A【例3】（2015资阳）如图11，在ABC中，BC是以AB为直径的O的切线，且O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是O的切线；（2）连接AE，若C=45，求sinCAE的值.【考点】

6、切线的判定；勾股定理；解直角三角形.解答：解：（1）连接OD，BD，OD=OB，ODB=OBDAB是直径，ADB=90，CDB=90E为BC的中点，DE=BE，EDB=EBD，ODB+EDB=OBD+EBD，即EDO=EBOBC是以AB为直径的O的切线，ABBC，EBO=90，ODE=90，DE是O的切线；（2）作EFCD于F，设EF=xC=45，CEF、ABC都是等腰直角三角形，CF=EF=x，BE=CE=x，AB=BC=2x，在RTABE中，AE=x，sinCAE=【课后练习】1、 如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DEAB，垂足为E，则下列结论正确的个（ ）DE3 cm；BE1

7、cm；菱形的面积为15 cm2；BDcm A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C；【解析】由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm在RtADE中， AD5 cm，sin A， DEADsinA(cm) (cm) BEABAE541(cm)菱形的面积为ABDE5315(cm2)在RtDEB中，(cm)综上所述正确故选C2、 如图所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一点，若，则AD的长为( ) A2 B C D1【答案】 A；【解析】 作DEAB于点E因为ABC为等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又设DEx，则AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC

8、2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE考点四：解直角三角形的应用【例1】(2014年四川资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45的方向上（其中A、B、C在同一平面上）求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离解答：解：过A作ADBC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离在RtACD中，ACD=45，设AD=x，则CD=AD=x，在RtABD中，ABD=60，由tanABD=，即tan60=，所以BD=x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=62答

9、：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（62）公里【例2】(2015年四川资阳)北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作如图9，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25和60，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度（结果精确到1米参考数据：sin250.4，cos250.9，tan250.5，1.7）分析：过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解RtADC得到AD=2CD=2x，在RtBDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值解答：解：作CDAB交AB

10、延长线于D，设CD=x 米RtADC中，DAC=25，所以tan25=0.5，所以AD=2xRtBDC中，DBC=60，由tan 60=，解得：x3米所以生命迹象所在位置C的深度约为3米【例3】（2016资阳）如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30方向上，已知点C在点B的北偏西60方向上，且B、C两地相距120海里（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A时，测得点B在A的南偏东75的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离（注：结果保留根号）【

11、解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CDBA延长线与点D，由题意可得：CBD=30，BC=120海里，则DC=60海里，故cos30=，解得：AC=40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；（2）如图所示：过点A作ANBC于点N，可得1=30，BAA=45，AN=AE，则2=15，即AB平分CBA，设AA=x，则AE=x，故CA=2AN=2x=x，x+x=40，解得：x=20（1），答：此时“中国海监50”的航行距离为20（1）海里【课后练习】1、 （2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南

12、方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：中国海监船的最大航速为18节，1节

13、=1海里/小时；参考数据：sin26.30.44，sin20.50.35，sin18.10.31，1.4，1.7）分析：（1）过点E作圆A的切线EN，求出AEN的度数即可得出答案；（2）分别求出渔船、海监船到达点F的时间，然后比较可作出判断解答：解：（1）过点E作圆A的切线EN，连接AN，则ANEN，由题意得，CE=92=18海里，则AE=ACCE=5218=34海里，sinAEN=0.35，AEN=20.5，NEM=69.5，即必须沿北偏东至少转向69.5航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区（2）过点D作DHAB于点H，由题意得，BD=212=24海里，在RtDBH中，DH=BD=12海

14、里，BH=12海里，AF=12海里，DH=AF，DFAF，此时海监船以最大航速行驶，海监船到达点F的时间为：=2.2小时；渔船到达点F的时间为：=2.4小时，2.22.4，海监船比日本渔船先到达F处2、 （2016成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB1.5m，测得旗杆顶端D的仰角DBE32，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC20m. 根据测量数据，求旗杆CD的高度。（参考数据：）解析：ACBEC90， 四边形ABEC为矩形 BEAC20, CEAB1.5 在RtBED中， tanDBE即tan32

15、 DE20tan3212.4, CDCEDE13.9. 答：旗杆CD的高度约为13.9 m.3、 （2015成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30，BC段的运行路线与水平面的夹角为42，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin420.67 ，cos420.74 ， tan420.90）【答案】：234m【解析】：如图所示，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离为，又和均为直角三角形， 4、 （2014成都）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37，BC=

16、20m，求树的高度AB.（参考数据：，）【答案】树的高度AB为15m【解析】直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BCtan37，把BC=20m，tan370.75代入进行计算即可解：在点C处测得树的顶端A的仰角为37，又， 0.75= AB=200.75=15m 树的高度为15m。5、 （2016巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A斜坡AB的坡度是10 B斜坡AB的坡度是tan10CAC=1.2tan10米 DAB=米【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10=，故B正确；故选：B【课后作业一】一、选择题1如图

17、所示，在RtABC中，则AC等于（ ）A3 B4 C D62已知为锐角，则的值（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm13如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ACAB，ADCD，cosDCA，BC10，则AB的值是( )A3 B6 C8 D9 第1题图 第3题图 第4题图4如图所示，在菱形ABCD中，DEAB， tanDBE的值是( ) A. B.2 C. D. 5如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF2，BC5，CD3，则tan C等于( )A B C D 第5题图 第7题图6已知RtABC中，C90，则cosA的值为（ ） A B C D7如图所示，先锋村准备在坡

18、角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( ) A5cos米 B米 C米 D米8等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）A30 B50 C60或120 D30或150二、填空题9计算：_10如图所示，已知RtABC中，斜边BC上的高AD4，则AC_11如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与C重合，连接，则tan的值为_ 第10题图 第11题图 第12题图12如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC3米，则梯子长AB_米13.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段

19、BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的 处，那么tanBAD等于_ 第13题图 第15题图14一次函数经过(tan 45，tan 60)和(-cos 60，-6tan30)，则此一次函数的解析式为_15如图所示，在ABC中，ACB90，CD是AB边的中线，AC6，CD5，则sinA等于_16已知是方程的一个根，是三角形的一个内角，那么cos的值为_三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45求路况显示牌BC的高度 18如图所示，在梯

20、形ABCD中，ADBC，ABDC8，B60，BC12，连接AC(1)求tanACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长19如图所示，点E、C在BF上，BEFC，ABCDEF45，AD90 (1)求证：ABDE；(2)若AC交DE于M，且AB，ME，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角ECG的度数 20. 如图所示，AB是O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与O相切于点D，弦DFAB于点E，线段CD10，连接BD (1)求证：CDE2B； (2)若BD:AB:2，求O的半径及DF的长 【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】由

21、知 2.【答案】D；【解析】在RtABC中，设所对的边为a，斜边为c，邻边为b则， ，而， m1.3.【答案】B；【解析】因为ADDC，所以DACDCA，又 ADBC， DACACB，所以DCAACB在RtACB中，ACBCcosBCA，则4.【答案】B；【解析】DEAB，在RtADE中，cosA设AD5k，则AE3k，DE4k，又ADAB，BE2k，tanDBE5.【答案】B；【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD2EF224，又BC5，CD3， CD2+BD2BC2 BDC是直角三角形且BDC90， 6.【答案】C；【解析】， B60，A906030，7【答案】B；【解析】由

22、上图知，在RtABC中，8【答案】D；【解析】有两种情况：当A为锐角时，如图(1)，sin A，A30；当A为钝角时，如图(2)，sin(180BAC)，180BAC30，BAC150二、填空题9【答案】； 【解析】原式10【答案】5；【解析】在RtABC中，ADBC，所以CADB，又 AD4，AC511【答案】；【解析】过作于点D，在Rt中，设，则，BC=2x,BD=3x. 12【答案】4 ； 【解析】由，知，AB4米13【答案】； 【解析】由题意知在RtABD中，14【答案】；【解析】tan 451, tan60，-cos60，-6tan30设ykx+b经过点、，则用待定系数法可求出，15

23、【答案】；【解析】CD是RtABC斜边上的中线，AB2CD2510，BC，16【答案】 ； 【解析】由方程解的意义，知，故，从而，则三、解答题17.【答案与解析】 在RADB中，BDA45，AB3， DA3在RtADC中，CDA60，CAAD，BCCABA()m 答：路况显示牌BC的高度是()m18.【答案与解析】 (1)如图所示，作AEBC于E，则BEABcos B8cos 60AEABsin B8sin 60ECBCBE1248在RtACE中，tanACB(2)作DFBC于F，则AEDF， ADEF， 四边形AEFD是矩形ADEF ABDC， BDCF又AEBDFC90，ABEDCF(AA

24、S)FCBE4，EFBCBEFC4AD4MN(AD+BC)(4+12)819.【答案与解析】 (1)证明：BEFC，BCEF 又ABCDEF，AD， ABCDEFABDE (2)解：DEFB45，DEABCMEA90ACAB，MCMECGCE2在RtCAG中，ACG30ECGACBACB45301520. 【答案与解析】(1)连接OD，直线CD与O相切于点D，ODCD，CD090，CDE+ODE90又DFAB，DEODEC90，EOD+ODE90CDEEOD又EOD2B；CDE2B(2)连接ADAB是O的直径，ADB90BD:AB:2，在RtADB中，B30，AOD2B60又CDO90，C30

25、，在RtCDO中，CD10， OD10tan 30即O的半径为在RtCDE中，CD10，C30，DECDsin 305 弦DF直径AB于点E， DEEFDF， DF2DE10【课后作业二】一、选择题1. 计算tan 60+2sin 452cos 30的结果是( ) A2 B C D12如图所示，ABC中，AC5，则ABC的面积是( )A B12 C14 D213如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到，则tan的值为( )A B C D 第2题图 第3题图 第4题图4如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得BAD30，在C点测得BCD6

26、0，又测得AC50米，那么小岛B到公路的距离为( ) A25米 B米 C米 D米5如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( ) A10 cm B20 cm C30 cm D35 cm6如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( ) A15 B20 C30 D45 第5题图 第6题图 第7题图7如图所示，在高为2 m，坡角为30的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )A4 m B6 m Cm D8因为，所以；因为，所以，由此猜想，推理知：一般地，当为锐角时有sin(180+)

27、-sin，由此可知：sin240( ) A B C D二、填空题9如图，若AC、BD的延长线交于点E，则= ；= 10如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，则AD的长为 ；CD的长为 . 第9题图 第10题图 第11题图11如图所示，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则_12如果方程的两个根分别是RtABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为_ _13. 已知，则锐角的取值范围是_ _14. 在ABC中，AB8，ABC30，AC5，则BC_ _15. 如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是

28、y轴右侧A优弧上一点,则OBC 的余弦值为 . 第15题图 第16题图16. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)CDE的正切值为 .三、解答题17如图所示，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，BOE60，cos C，BC (1)求A的度数；(2)求证：BC是O的切线；(3)求MD的长度 18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的

29、北偏东45方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60方向上 (1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：1.732) (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25，则原计划完成这项工程需要多少天? 19如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：ACCDPCBC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S 20.

30、如图所示，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy (1)求点D到BC的距离DH的长； (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点P，使PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】tan 60+2sin 452cos 30 2.【答案】A；【解析】过A作ADBC于D，因为，所以B45，所以ADBD，因为，所以， BDAD

31、3，所以，所以BCBD+DC7，. 3.【答案】B；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得BB，然后将B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，B的对边为1，邻边为3，tan BtanB4.【答案】B；【解析】依题意知BCAC50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的垂线，即是BE的长，在RtBCE中，BEBCsin 6050(米)，因此选B5.【答案】D；【解析】如图，ABD是等腰直角三角形，过A点作ACBD于C，则ABC45，ACBC，则所求深度为552035(cm)6.【答案】C；【解析】， 7【答案】D；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)，则地毯的总长

32、至少为m8【答案】C；【解析】sin 240sin(180+60)-sin 60二、填空题9【答案】cosCEB=；tanCEB=【解析】如图，连结BC，则ACB=90，易证ECDEBA， cosCEB= tanCEB= 第9题答案图 第10题答案图10【答案】5+10；10+5.【解析】过B点分别作BEAD，BFCD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF. 在RtAEB中，A=30，AB=10， AE=ABcos30=10=5， BE=ABsin30=10=5. 又在RtBFC中，C=30，BC=20， BF=BC=20=10， CF=BCcos30=20=10. AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11【答案】；【解析】设AB边与直线的交点为E， ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E为AB的中点，在RtAED中，ADE，AD2AE设AEk，则AD2k， 12【答案】或； 【解析】由得x11，x23当1，3为直角边时，则tan A；当3为斜边时，则另一直角边为 13【答案】030； 【解析】由题意知，故，即sinsin 30，由正弦函数是增函数知03014【答案】或；【解析】因ABC的形状不是唯一的，当ABC是锐角三角形时，如图所示，作AHBC于H，在RtA