大学物理5章波动--教学复习ppt

1、1第九章第九章(wave) (6)2 机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波,如如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传播称为电磁波播称为电磁波,如无线电波、光波、如无线电波、光波、X射线等。射线等。 本章主要讨论机械波。本章主要讨论机械波。 重点：重点：行波方程。行波方程。 核心：位相。核心：位相。 波动波动振动状态的传播过程。振动状态的传播过程。3 在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系着的。着的。1.机械波的产生和传播机械波的产生和传播9-1 波动的基

2、本概念波动的基本概念 产生机械波的条件：产生机械波的条件： 波源波源产生机械振动；产生机械振动； 弹性媒质弹性媒质传播振动状态。传播振动状态。 当媒质中的一个质点开始振动后当媒质中的一个质点开始振动后,在弹性力的在弹性力的作用下作用下,就会带动邻近质点振动就会带动邻近质点振动,邻近质点又带动更远邻近质点又带动更远质点振动。这样依次带动质点振动。这样依次带动,就把振动由近及远地传播就把振动由近及远地传播出去出去,形成了波动。形成了波动。u4t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T 5 应当注意，在波的传播过程中，媒质中的质点并应当注意，在波的传

3、播过程中，媒质中的质点并不不“随波随波逐流逐流”, , 它们在各自的平衡位置附近振动；它们在各自的平衡位置附近振动；传播的是波源的振动状态。传播的是波源的振动状态。 容易看出容易看出, , 沿着波的传播方向沿着波的传播方向, , 振动是依次落后的。振动是依次落后的。P点比点比o点时间落后：点时间落后：uxt P点比点比o点位相落后：点位相落后：uxt)2:(T注意(这里：这里：u是波速是波速)pyuxo(波源波源)x62.波面和波线波面和波线波线波线(波射线波射线) 波的传播方向。波的传播方向。 波面波面(波阵面波阵面) 波动过程中，振动位相相同的点连波动过程中，振动位相相同的点连成的面。最前

4、面的那个波面称为波前。成的面。最前面的那个波面称为波前。 平面波平面波波面为平面的波动。本章只讨论这种波。波面为平面的波动。本章只讨论这种波。 球面波球面波波面为球面的波动。波面为球面的波动。 在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。 横波横波质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 纵波纵波质点的振动方向和波的传播方向相互平行。质点的振动方向和波的传播方向相互平行。波面波面73.波速波速 波长波长 波的周期和频率波的周期和频率 波速波速u振动状态振动状态(位相位相)的传播速度，又称相速。的传播速度，又称相速。波速完全由媒

5、质的性质波速完全由媒质的性质(弹性和惯性弹性和惯性)来确定。来确定。如液体、气体中的纵波，波速：如液体、气体中的纵波，波速： Bu 容变弹性模量容变弹性模量质量密度质量密度(惯性惯性)固体中的横波，波速：固体中的横波，波速： Gu 切变弹性模量切变弹性模量纵波，波速：纵波，波速： Yu 杨氏弹性模量杨氏弹性模量柔绳中的横波，波速：柔绳中的横波，波速： Tu 绳中的张力绳中的张力质量线密度质量线密度8 波的周期波的周期T媒质质元完成一次全振动的时间。波媒质质元完成一次全振动的时间。波的周期完全由波源的周期完全由波源(周期周期)确定。频率确定。频率 =1/T。 波长波长 一个周期内波动传播的距离。

6、一个周期内波动传播的距离。 周期周期T反映波的时间周期性，而波长反映波的时间周期性，而波长 反映的是波的反映的是波的空间周期性。显然，周期空间周期性。显然，周期T也就是波传播一个波长距也就是波传播一个波长距离所需的时间。离所需的时间。Tu 平面简谐波平面简谐波波面为平面，媒质中各质点都作同波面为平面，媒质中各质点都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨论这种波。频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨论这种波。99-2 平面简谐行波的平面简谐行波的波动方程波动方程！ 如图所示，一平面余弦行波在均匀无耗媒质中沿如图所示，一平面余弦行波在均匀无耗媒质中沿x轴正方向传播，波速轴正方向传播，波速u，坐标

7、原点的振动方程为，坐标原点的振动方程为 y=Acos( t+ o) 求：波动方程求：波动方程(即坐标为即坐标为x的的P点的振动方程点的振动方程)。 注意注意这里：这里： x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离；表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离； y表示各质点对平衡位置的位移。表示各质点对平衡位置的位移。yxouxP10 因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面波，所以因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面波，所以P点的振幅与原点的振幅相同，故仍是点的振幅与原点的振幅相同，故仍是A。原点原点o的振动方程为的振动方程为 y=Acos( t+ o) 要找出要找出P点的振动方程，只要找出点的振动方程，只

8、要找出P点的振幅和位点的振幅和位相就行了。相就行了。如前所述如前所述, P点的位相比点的位相比o点落后点落后 x/u, 写为等式有写为等式有 P点的位相点的位相 - o点位相点位相= - x/u即：即： P点的位相点的位相 - ( t+ o)= - x/uyxouxP11 P点的位相点的位相= (t- x/u)+ o )(cosouxtAy 若波沿若波沿x轴负方向传播，轴负方向传播， 则则P点的位相比点的位相比o点超前点超前 x/u，于是：于是：P点的位相点的位相 - ( t+ o)= + x/u, 这时波这时波动方程应为动方程应为)(cosouxtAy于是于是P点的振动方程点的振动方程(即波

9、动方程即波动方程)为为yxouxP12总结起来，总结起来，波动方程波动方程的标准形式应为的标准形式应为式中：式中：“ ”号表示波沿号表示波沿x轴正方向传播；轴正方向传播； “ ”号表示波沿号表示波沿x轴负方向传播。轴负方向传播。 o是是坐标原点坐标原点的初相。的初相。 考虑到，考虑到， =2 /T， =uT , 波动方程还可写为波动方程还可写为)oxTtAy(2cosotAycos()2xtAy(cos)oux13 1.当当x=xo(确定值确定值)时，位移时，位移y只是时间只是时间t的余弦函数的余弦函数:tAy(cos)oux讨论：讨论：)(cosoouxtAy这是这是xo处质点的振动方程。处

10、质点的振动方程。 2.当当t=to(确定值确定值)时，位移时，位移y只是时间只是时间x的余弦函数的余弦函数:)(cosoouxtAy 此式表示给定时刻此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况各振动质点的位移分布情况,相相应的应的y-x的曲线就叫做的曲线就叫做波形曲线波形曲线，如图所示。，如图所示。14)(cosouxtAytA(costx+utu)+ o上式表明，上式表明，t 时刻时刻x点的振动状态，经时间点的振动状态，经时间 t后传后传播到了播到了x+u t 处。即处。即经时间经时间 t波沿波沿x轴正方向传播了轴正方向传播了距离距离u t,如图所示如图所示。3.当当x,t 都变化时，代表

11、一列沿都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。轴正方向传播的波。yxou 15u tt+ t时刻时刻yxout时刻时刻)oxTtAy(2cosotAycos()2xtAy(cos)oux16 例题例题9-1 已知波动方程：已知波动方程： ),)(212(cos5 . 0SIxty 求：求：(1)此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、波长和波速，以及坐标原点的振动初相；波长和波速，以及坐标原点的振动初相； (2)x=2m处质点的振动方程，及处质点的振动方程，及t=1s时该质点的速时该质点的速度和加速度。度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m两点的相差。

12、两点的相差。 解解 (1)比较法比较法。2)42(2cos5 . 0 xtyTtAy(2cos)ox 波沿波沿x轴正方向传播；轴正方向传播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原点的振动初相原点的振动初相 o= /2。17 (2)将将x=2m代入波动方程就得该处质点的振动方程：代入波动方程就得该处质点的振动方程：)(212(cos5 . 0SIxtymty)2cos(5 . 0t=1s时该质点的速度和加速度为时该质点的速度和加速度为)2sin(5 . 0tdtdy)2cos(5 . 02tdtdat=1-0.5(m/s)t=10(3)x1=1m和和x2

13、=2m两点的相差：两点的相差：)(212xx 2) 12(4218 例题例题9-2 一波动以一波动以u=20cm/s沿沿x轴负方向传播，轴负方向传播，A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t(cm), 求求波动方程：波动方程： (1)以以A为坐标原点；为坐标原点； (2)以以B为坐标原点。为坐标原点。 解解 (1)以以A为坐标原点。为坐标原点。 tAy(cos)oux=0.4cos4(t20 x)cmx5cmABu9x5cmABu9yo1.标准函数法：标准函数法：19已知已知A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t(cm)P(x)点比点比已知点已知点A时间超前：

14、时间超前：uxt x5cmABuyoPxu=20cm/s20 x波动方程：波动方程：y=0.4cos4 (t=0.4cos4(t20 x)cmP(x)点比点比已知点已知点A 超前用超前用“+”； 落后用落后用“ ”。 2. t ( t t )法法(超前、落后法超前、落后法)+t )20(2)以以B为坐标原点。为坐标原点。y=0.4cos4(t20 x)+ o cm如何找出坐标原点的初相如何找出坐标原点的初相 o？x5cmABuyo1.标准函数法：标准函数法：tAy(cos)ouxyA=0.4cos4 t u=20抓住已知点抓住已知点A(的位相的位相)：由此得由此得 o = 波动方程为波动方程为

15、 y=0.4cos4(t20 x)+ cm,)205(4ot4 t21已知已知A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t(cm)P(x)点比点比已知点已知点A时间超前：时间超前：uxt5205xx5cmABuyopxu=20cm/sy=0.4cos4(t波动方程：波动方程：)205x2. t ( t t )法法(超前、落后法超前、落后法)即波动方程为即波动方程为 y=0.4cos4(t20 x)+ cm22 例题例题9-3 一波动以速度一波动以速度u沿沿x轴正方向传播，轴正方向传播，p点点的振动方程为的振动方程为 yp=Acos( t+ ), 求求: (1)坐标原点坐标原点o的的

16、振动方程；振动方程； (2)波动方程。波动方程。xypluo解解 (1)原点原点o比比p点超前点超前 l /u,即即 o点位相点位相 - ( t+ )= l /u o点位相点位相= t+ + l /u坐标原点坐标原点o的振动方程为的振动方程为: y=Acos( t+ + l /u)(2)波动方程波动方程:,)(cosouxtAy o=( + l /u)(cosulxtAytAy(cos)oux23xypluoxMM(x)点比点比已知点已知点p时间落后：时间落后：ulxt已知已知p点的振动方程为点的振动方程为 yp=Acos( t+ )波动方程波动方程:ulxtAy(cos)令令x=0得坐标原点

17、得坐标原点o的振动方程为的振动方程为:tAycos()ul用用t ( t t )法法先求波动方程先求波动方程:另解：另解：24 例题例题9-4 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅轴正方向传播，振幅A=10cm, 角频率角频率 =7 rad/s, 当当t=1s时，时，x=10cm处的处的a点的振动状态为点的振动状态为ya=0, a0。设波长。设波长 10cm, 求该波的求该波的波波动方程。动方程。解解 把已知条件写入波动方程：把已知条件写入波动方程： cmuxtyo)(7cos10当当t=1时时, 对对a点有：点有：)101 (7ou2对对b点有：点有：)201 (7ou3解得：解

18、得：u=84cm/s, o=-17 /3= /3波动方程为波动方程为cmxty3)84(7cos1025 例题例题9-5 波速为波速为u=0.08m/s的一平面简谐波在的一平面简谐波在t=0时时的波形如图所示，图中的波形如图所示，图中p点此时正向点此时正向y轴正方向运动，轴正方向运动，求该波的求该波的波动方程。波动方程。 解解 由由p点此时正点此时正向向y轴正方向运动，轴正方向运动，可判定此波沿可判定此波沿x轴轴正方向传播。正方向传播。 y(m)x(m)op0.20.12u =2 =0.4 。波动方程可写为波动方程可写为ty(4 . 0cos12. 0m2 由图可知由图可知, =0.4,又已知

19、又已知u=0.08，所，所以频率以频率 =u/ =0.2,tAy(cos)oux)08. 0 x26 例题例题9-6 沿沿x轴负方向传播的一平面简谐波在轴负方向传播的一平面简谐波在t=2s时的波形如图所示，设波时的波形如图所示，设波速速u=0.5m/s，求：，求：(1)图中图中p点的振动方程；点的振动方程；(2)该波的该波的波动方程。波动方程。py(m)x(m)o1-0.5u 解解 (1)由图可知，由图可知， A=0.5, =2，u=0.5, 所所以以T=4， = /2。故。故 p点的振动方程为点的振动方程为ty2cos(5 . 0m)2(2)该波的该波的波动方程波动方程:ty(2cos5 .

20、 0m2)5 . 0 xtAy(cos)oux279-3 波的能量和能流波的能量和能流1.波的能量波的能量 波动过程也是能量的传播过程。我们以横截面积为波动过程也是能量的传播过程。我们以横截面积为S的均匀细长棒中的平面余弦纵波为例来研究波的能的均匀细长棒中的平面余弦纵波为例来研究波的能量。量。 在媒质中取一质元在媒质中取一质元dm= dV ( 为为媒质的密度媒质的密度)，该该质元长质元长dx、伸长量、伸长量dy。当波传播到这个质元时。当波传播到这个质元时,其振其振动动能和势能分别为动动能和势能分别为)(cosuxtAydx dydm= dVu,212dmdWk2)(21dykdWp28)(si

21、nuxtAty)(cosuxtAy221dmdWk)(sin21222uxtAdV由胡克定律，由胡克定律，dxdyYsF ,kdydxYsk 杨氏弹性模量杨氏弹性模量: Y= u22)(21dykdWp22)(21xydVu)(sin21222uxtAdV29质元质元dm的总能的总能:)(sin222uxtAdVdWdWdWpk(3)能量密度能量密度(单位体积中波的能量单位体积中波的能量)为为)(sin222uxtAw (1)任意时刻任意时刻,质元的质元的动能和势能都相等动能和势能都相等。即。即 (2)质元的质元的总能总能量随时间作周期性的量随时间作周期性的变化变化。这和振。这和振动中的情况也

22、是不同的。这说明动中的情况也是不同的。这说明,在波动中在波动中,随着振动随着振动在媒质中的传播在媒质中的传播,能量也从媒质的一部分传到另一部能量也从媒质的一部分传到另一部分分,所以所以,波动是能量传播的一种方式。波动是能量传播的一种方式。pkdWdW 这是和振动中的情况完全不同的。这是和振动中的情况完全不同的。30平均能量密度：平均能量密度：220211AwdtTwT2.波的能流密度波的能流密度(波强波强) 单位时间内，通过垂直于波动传播方向的单位面单位时间内，通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量积的能量,称为能流密度。显然，称为能流密度。显然，能流密度能流密度也就是通也就是通过垂直于波动传

23、播方向的过垂直于波动传播方向的单位面积的功率单位面积的功率。2221AuuwI 设在媒质内垂直于波传播方向取一面设在媒质内垂直于波传播方向取一面积积S,则在则在dt时间内通过时间内通过S面的能量等于该面的能量等于该面后方体积为面后方体积为udt.S中的能量中的能量 , 于于是是平均能流密度平均能流密度(或或波强波强)为为udtSwSudt31 例题例题9-7 一平面简谐波一平面简谐波的波形曲线如图所示，由此的波形曲线如图所示，由此可知：可知：xyoaba处质元的动能处质元的动能 ,势能势能b处质元的动能处质元的动能 ,势能势能(填：最大或最小填：最大或最小)最小最小最大最大最小最大32 例题例

24、题9-8 一电台一电台(视为点波源视为点波源)平均发射功率平均发射功率10kw，求离电台求离电台1km处的波强。处的波强。 解解 能流密度能流密度(波强波强)为为2221AuuwI 显然，直接用上面的公式无法求得结果。但电台显然，直接用上面的公式无法求得结果。但电台(点波源点波源)发出的能量是通过一个个半径为发出的能量是通过一个个半径为r的球面的，的球面的，由定义：能流密度也就是由定义：能流密度也就是通过通过垂直于波传播方向的垂直于波传播方向的单位面积的功率单位面积的功率。于是所求能流密度。于是所求能流密度(波强波强)为为24 rpI=7.9610-4(w/m2)339-4 惠更斯原理惠更斯原

25、理 媒质中波动传播到的各点媒质中波动传播到的各点,都可以看作是发射子波都可以看作是发射子波的波源的波源,其后任一时刻其后任一时刻,这些子波的包迹就是新的波阵这些子波的包迹就是新的波阵面。面。这就是惠更斯原理。这就是惠更斯原理。 作用：知道某一时刻的波阵面作用：知道某一时刻的波阵面,用几何作图的方法用几何作图的方法就能确定下一时刻的波阵面就能确定下一时刻的波阵面,从而确定波的传播方向。从而确定波的传播方向。球球面面波波 tt + t平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面34惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。

26、a 用惠更斯原理可以解释波的衍射现象。所谓用惠更斯原理可以解释波的衍射现象。所谓波的波的衍射衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时是指波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向其传播方向发生改变发生改变,能绕过障碍物的边缘继续前进且强度重新能绕过障碍物的边缘继续前进且强度重新分布的现象分布的现象。 我们用惠更斯原理画出了我们用惠更斯原理画出了新的波阵面及波的传播方向。很明显新的波阵面及波的传播方向。很明显,波已绕过障碍波已绕过障碍物的边缘而传播了物的边缘而传播了,即发生了衍射现象。若缝的宽度即发生了衍射现象。若缝的宽度比波长小得多时比波长小得多时,衍射现象将更加显著。衍射现象将更加显著。在图中在图中,

27、351.波的叠加原理波的叠加原理9-5 波的干涉波的干涉 驻波驻波 大量的观察和研究表明大量的观察和研究表明:几列波可以保持各自的特几列波可以保持各自的特点点(频率、波长、振幅、振动方向等频率、波长、振幅、振动方向等)同时通过同一媒同时通过同一媒质质,好像在各自的传播过程中没有遇到其他波一样。因好像在各自的传播过程中没有遇到其他波一样。因此此,在几列波相遇或叠加的区域内在几列波相遇或叠加的区域内,任一点的振动任一点的振动,为各为各个波单独在该点产生的振动的合成。这一规律称为个波单独在该点产生的振动的合成。这一规律称为波波的独立传播原理的独立传播原理或或波的叠加原理波的叠加原理。管弦乐队合奏或几

28、。管弦乐队合奏或几个人同时讲话时个人同时讲话时,在空气中同时传播着许多声波在空气中同时传播着许多声波,但我但我们仍能够辩别出各种乐器的音调或某个人的声音们仍能够辩别出各种乐器的音调或某个人的声音,这就这就是波的叠加原理的具体例子。是波的叠加原理的具体例子。 应当指出，上述波的叠加原理并不是普遍成立的，应当指出，上述波的叠加原理并不是普遍成立的，只有当波的强度较小时只有当波的强度较小时(波动方程为线性的时波动方程为线性的时)，它才，它才是正确的。是正确的。362.波的干涉波的干涉 两列波两列波 (1)频率相同；频率相同； (2)振动方向相同；振动方向相同； (3)相差恒定；相差恒定； 相干条件相

29、干条件 则在空间相遇区域就会叠加出有些地方的振动始终则在空间相遇区域就会叠加出有些地方的振动始终加强，而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现加强，而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为波的干涉。象称为波的干涉。 下面下面我们来研究加强和减弱的条件是什么。我们来研究加强和减弱的条件是什么。37s2s1r1r2p 设两个相干波源设两个相干波源S1、S2的振动方程的振动方程分别为分别为 y10=A1cos( t+ 1) y20=A2cos( t+ 2) )2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAyS1 p:S2 p:P点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+

30、 )(同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成) 从这两波源发出的波在从这两波源发出的波在P点相遇，点相遇， 它们它们单独在单独在P点引起的振动分别为点引起的振动分别为38式中式中)(21212rr 合振动的初相为合振动的初相为)2cos()2cos()2sin()2sin(222111222111rArArArAtgP点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+ )(两波在两波在p点的相差点的相差)合振幅为合振幅为cos2212221AAAAA39)(21212rr 很显然，干涉的强弱取决于两列波的相位差：很显然，干涉的强弱取决于两列波的相位差：=2k , A=A1+

31、A2 , 加强加强(相干相长相干相长)， 特别是特别是A1=A2 时，时，A=2A1，Imax=4I1。=(2k+1) , A=|A1-A2| , 减弱减弱(相干相消相干相消)， 特别是特别是A1=A2 时，时，A=0，Imin=0。(k=0,1,2)cos2212221AAAAA40 例题例题9-9 两个振幅都为两个振幅都为A的相干波源的相干波源S1和和S2相距相距3 /4， S1比比S2超前超前 /2，设两波在连线上的波强不随传，设两波在连线上的波强不随传播距离而改变，试分析播距离而改变，试分析S1和和S2连线上的干涉情况。连线上的干涉情况。axxcxb解解 干涉的强弱取决于相位干涉的强弱

32、取决于相位差：差： )(21212rr S1左側左側a点点: =S2右側右側b点点: =S1和和S2之间之间c点点: =2,2)43(2加强，加强，Imax=4I12,)43(2S1S23 /4减弱，减弱， Imin=02)243(2xx42x42 =2k , 解得解得x= /2处加强。处加强。=(2k+1) ，解得解得x=3 /4处处减弱减弱。41 例题例题9-10 已知已知: yb=3cos2 t, yc=4cos(2 t+ /2)(SI),从从b、c两点发出的波在两点发出的波在p点相遇，点相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s, 求求p点的合振动方程。点的合振动方程

33、。cbp解解 y1=3cos(2 t- )bp2=3cos(2 t- /2)cp: y2=4cos(2 t+ /2- )cp2=4cos(2 t- /2)p点的合振动方程点的合振动方程:y=y1+y2=7cos(2 t- /2)mbp:42 例题例题9-11 相干波源相干波源S1超前超前S2 , A1=A2=0.2m, 频频率率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,两种媒质中的波速分别两种媒质中的波速分别为为 u1=400m/s, u2=500m/s， 求两媒质界面上求两媒质界面上p点的合点的合振幅。振幅。2)442575. 32(2=0=A1+A2 =0.4m)22(112212

34、rr解解 先求两波到达先求两波到达p点的位相差：点的位相差：)(21212rr s2s1r2r1pu2u1cos2212221AAAAA433.驻驻 波波 两列两列振幅相等振幅相等、传播方向相反传播方向相反的的相干波相干波进行叠加，进行叠加，就会形成驻波。就会形成驻波。波腹波腹波节波节驻波的形成驻波的形成.44)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy将两列波合成，可得将两列波合成，可得txAyyycos2cos221这就是这就是驻波方程驻波方程。 (1)驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各点驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各点的振幅随坐标的振幅随坐标x的不同而变化。有些地方振幅始终最

35、的不同而变化。有些地方振幅始终最大大,另一些地方振幅始终为零。整体上看，驻波的波另一些地方振幅始终为零。整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化而不传播形驻定在原地起伏变化而不传播,这是驻波中这是驻波中“驻驻”字的意思。字的意思。 45 (2)波腹和波节位置波腹和波节位置波腹：波腹：, 12cosxtxAyyycos2cos221即即kx2波腹的位置为波腹的位置为,.2, 1, 0,2kkx波节：波节：, 02cosx即即2) 12(2kx波腹的位置为波腹的位置为,.2, 1, 0,4) 12(kkx 容易算出，容易算出，相邻的两个波节相邻的两个波节(或波幅或波幅)之间的距离是之间的距离是 /2

36、。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长。这是实验中测量波长的一种常用的方法。这是实验中测量波长的一种常用的方法。46 (3)驻波中的位相驻波中的位相txAyyycos2cos221 由驻波方程可知，由驻波方程可知，2 x/ =k + /2为波节为波节, 而而 2 x/ 在在1、4象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是 t; 2 x/ 在在2、3象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是( t+ )。 可见，可见，在相邻的两波节间，各点在相邻的两波节间，各点的振动位相相同；而在波节两旁，的振动位相相同；而在波节两旁，各点的振动位相相反。各点的

37、振动位相相反。因此因此,驻波实驻波实际上就是分段振动着的际上就是分段振动着的,没有振动状没有振动状态或相位的传播。这是驻波中态或相位的传播。这是驻波中“驻驻”字的又一层意思。字的又一层意思。波节波节波节波节123447驻波的形成驻波的形成.48 (4)驻波中的能量驻波中的能量 当各质元的位移都同时达到各自的最大值时当各质元的位移都同时达到各自的最大值时,其动其动能为零能为零,全部能量是势能全部能量是势能,但波节处质元相对形变大但波节处质元相对形变大,弹弹性势能大，因此能量主要集中在波节附近。当各质性势能大，因此能量主要集中在波节附近。当各质元同时通过平衡位置时元同时通过平衡位置时,各质元均无形

38、变各质元均无形变,势能为零势能为零,全全部能量都是动能。由于波腹处质元速度最大部能量都是动能。由于波腹处质元速度最大,动能最动能最大大,因而能量主要集中在波腹附近。从整个过程来看因而能量主要集中在波腹附近。从整个过程来看,能量在相邻的波腹、波节间来回转移能量在相邻的波腹、波节间来回转移,它限制在以相它限制在以相邻的波腹和波节为边界的长为邻的波腹和波节为边界的长为/4的小区段中的小区段中,波节两波节两侧的媒质、波腹两侧的媒质互不交换能量。因此，侧的媒质、波腹两侧的媒质互不交换能量。因此，驻波是不传播能量的驻波是不传播能量的。这是驻波中。这是驻波中“驻驻”字的再一字的再一层意思。层意思。49 (5

39、)关于半波损失关于半波损失.B 值得注意的是值得注意的是,在反射点在反射点B处绳是固定不动处绳是固定不动的的,因而此处只能是波节。从振动合成考虑因而此处只能是波节。从振动合成考虑,这意味着反射波与入射波的相位在此处正好这意味着反射波与入射波的相位在此处正好相反相反,或者说或者说,入射波在反射时有入射波在反射时有 的相位突变。的相位突变。由于相距半个波长的两点相差为由于相距半个波长的两点相差为 ，所所以以,这这种入射波在反射时发生种入射波在反射时发生 的相位突变的现象的相位突变的现象常称为半波损失。常称为半波损失。 一般情况下一般情况下,当波当波从波疏从波疏媒质垂直入射媒质垂直入射到波到波密密媒

40、质界面上反射时媒质界面上反射时,反射时反射时就就有半波损失有半波损失。50解解 (1)设反射波方程为设反射波方程为)2cos(2oxtAyLoyxpy1y2 由于反射端为自由端由于反射端为自由端(无半波损无半波损失失)，入射波和反射波在，入射波和反射波在p点相差点相差为零，即为零，即, 0)2()2(oLtLtLo4反射波方程为反射波方程为)2(2cos2LxtAy 例题例题9-12 波波 沿棒传播，在沿棒传播，在x=L处处(p点点)反射，反射端为自由端，求：反射，反射端为自由端，求：(1)反射波方反射波方程；程；(2)驻波方程；驻波方程；(3)波幅和波节位置。波幅和波节位置。)2cos(1x

41、tAy51(2)2(2cos2LxtAy)2cos(1xtAy驻波方程为驻波方程为)2cos()(2cos221LtLxAyyy(3)波幅：波幅：,)(2kLx.2, 1, 0,2kkLx波节：波节：,2)(2kLx.2, 1, 0,4) 12(kkLx(0 x L)52 例题例题9-13 设波源位于坐标原点设波源位于坐标原点o处处,其振动方程为其振动方程为yo=Acos t。在。在x=-3 /4处的处的Q点有一波密反射壁点有一波密反射壁( 为为波长波长)，如图所示。求，如图所示。求: (1)o点发出的沿点发出的沿x轴传播的波的波动方程轴传播的波的波动方程; (2) Q点反射的反射波的波动方程

42、点反射的反射波的波动方程; (3)oQ区域内合成波的方程区域内合成波的方程; (4)x0区域内合成波的方程区域内合成波的方程; (5)x=- /2处质点处质点p的振动方程。的振动方程。解解 (1)沿沿x轴正方向传播的波轴正方向传播的波:)2cos(1xtAy沿沿x轴负方向传播的波轴负方向传播的波:)2cos(2xtAyotAycos()2xQy2y1y43oxp53(2) 设设Q点反射的反射波的波动方程为点反射的反射波的波动方程为yr)2cos(xtAyor 由于反射壁处有半波损失，入射波由于反射壁处有半波损失，入射波y2和反射波和反射波yr在在Q点相差应为点相差应为 ，即，即)2cos(2x

43、tAy)43(2)43(2tto解得解得 o=-2 。最后得最后得Q点反射波的波动方程为点反射波的波动方程为 )2cos(xtAyrQy2y1y43oxp54txAyyyrcos2cos22oQ区域内合成波的方程为区域内合成波的方程为这是驻波方程。这是驻波方程。(4) x0区域内合成波的方程：区域内合成波的方程：)2cos(2xtAy(3)2cos(xtAyr)2cos(1xtAyryyy1)2cos(2xtA这是行波方程。这是行波方程。yrQy2y1y43oxp55 (5)将将x=- /2代入代入oQ区域的驻波方程区域的驻波方程:txAyyyrcos2cos22就得就得x=- /2处质点处质

44、点p的振动方程：的振动方程：)cos(2cos2tAtAyyrQy2y1y43oxp569-7 多普勒效应多普勒效应 目前目前,多普勒效应已在科学研究、工程技术、交多普勒效应已在科学研究、工程技术、交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用。通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用。例如分子、原子和离子由于热运动产生的多普勒效例如分子、原子和离子由于热运动产生的多普勒效应使其发射和吸收的谱线增宽。在天体物理和受控应使其发射和吸收的谱线增宽。在天体物理和受控热核聚变实验装置中谱线的多普勒增宽已成为一种热核聚变实验装置中谱线的多普勒增宽已成为一种分析恒星大气、等离子体物理状态的重要测量和诊分析

45、恒星大气、等离子体物理状态的重要测量和诊断手段。基于反射波多普勒效应的原理断手段。基于反射波多普勒效应的原理,已广泛地已广泛地应用于车辆、导弹等运动目标速度的监测。电磁波应用于车辆、导弹等运动目标速度的监测。电磁波的多普勒效应为跟踪人造卫星提供了一种简便的方的多普勒效应为跟踪人造卫星提供了一种简便的方法。在医学上所谓法。在医学上所谓“D超超”,是利用超声波的多普勒是利用超声波的多普勒效应来检查人体内脏、血管的运动和血液的流速、效应来检查人体内脏、血管的运动和血液的流速、流量等情况。在工矿企业中则利用多普勒效应来测流量等情况。在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中有悬浮物液体的流速。量管道中有

46、悬浮物液体的流速。57 在前面的讨论中在前面的讨论中,波源和接收器波源和接收器(观察者观察者)相对于媒质相对于媒质都是静止的都是静止的,接收器接收到的波的频率与波源的频率接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。如果波源或接收器或两者同时相对于媒质运相同。如果波源或接收器或两者同时相对于媒质运动时动时,接收器接收到的频率和波源的频率不同。接收器接收到的频率和波源的频率不同。这一这一现象称为现象称为多普勒多普勒(Doppler)效应效应。例如。例如,当高速行驶的当高速行驶的火车鸣笛而来时火车鸣笛而来时,我们听到的汽笛声调变高我们听到的汽笛声调变高,当它鸣笛当它鸣笛离去时离去时,我们听到的音调变低我

47、们听到的音调变低,就是多普勒效应的最好就是多普勒效应的最好例子。例子。 为简单起见为简单起见,下面的讨论假定波源和接收器在同一下面的讨论假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用直线上运动。规定用 s表示波源相对于媒质的运动速度；表示波源相对于媒质的运动速度； r表示接收器相对于媒质的运动速度；表示接收器相对于媒质的运动速度； u表示波在媒质中的传播速度。表示波在媒质中的传播速度。什么是多普勒效应呢？什么是多普勒效应呢？581.波源和接收器相对于媒质都静止波源和接收器相对于媒质都静止 当波源和接收器相对于媒质都静止时，波源每作当波源和接收器相对于媒质都静止时，波源每作一次全振动，波就在空间传播一

48、个波长的距离，结一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器(或观或观察者察者)接收到的频率接收到的频率vr就等于波源的频率就等于波源的频率v ，即，即 vr=u / = v 接收器接收器(或观察者或观察者)所接收到的频率等于单位时间内所接收到的频率等于单位时间内通过接收器通过接收器(或观察者或观察者)所在处的完整波数目。所在处的完整波数目。Su59vuuuvrrr r多多接收到的接收到的 波数波数 r / 2.波源静止，接收器相对于媒质以波源静止，接收器相对于媒质以 r运动运动 当接收器在媒质中静止不动时当接收器在媒质中静止不动时,他在单位时间内接他在单位时间内接收到收到u / 个波。个波。 现因接收器以速度现因接收器