量子力学复习

1、量子力学 复习 张春福张春福 教授教授 微电子学院微电子学院 2 近几十年来，在不同领域相继发现了宏观近几十年来，在不同领域相继发现了宏观 量子效应（如超导现象，超流现象，乃至一些量子效应（如超导现象，超流现象，乃至一些 天体现象），表明宏观世界的物质运动也遵循天体现象），表明宏观世界的物质运动也遵循 量子力学规律，人们所熟知的量子力学规律，人们所熟知的经典力学规律只经典力学规律只 是量子力学规律在特定条件下的一个近似。是量子力学规律在特定条件下的一个近似。 量子力学是将物质的波动性与粒子性统一量子力学是将物质的波动性与粒子性统一 起来的动力学理论起来的动力学理论，是是2020世纪初研究微观世

2、界世纪初研究微观世界 中粒子的运动规律建立起来的。中粒子的运动规律建立起来的。 引 言引 言引 言引 言 目目 录录 ( (Content)Content)目目 录录 (Content) p第一章第一章 绪论绪论 Ch1. The basic concepts of quantum mechanism p第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 Ch2. The wave function and Schrdingers equation p第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 Ch3. The Dynamical variable in Quantum Mechanism

3、p第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象 Ch4. The representation of the states and operators p第五章第五章 微扰理论微扰理论 Ch5. Perturbation theory p第六章第六章 散射散射 Ch6. The general theory of scattering p第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 Ch7. Spin and identity of particles 第第 一一 章章 绪绪 论论 5 n 1.1 1.1 经典物理学的困难经典物理学的困难 The difficult in classical

4、physics n 1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性 The duality of light between wave and particle n 1.3 1.3 微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性 The duality of small particles between wave and particle n 小结小结 Review 6 1 1PlanckPlanck为何？又如何提出为何？又如何提出“能量子能量子”假设的？一假设的？一 个个“能量子能量子”的能量是多少？的能量是多少？ 7 黑体黑体: :物体对于外来的辐物体对于外来的辐 射有反射和吸收作用。如射有反射和吸收作

5、用。如 果一个物体能全部吸收投果一个物体能全部吸收投 射在它上面的辐射而无反射在它上面的辐射而无反 射，射，这种物体称为黑体这种物体称为黑体。 黑体辐射问题所研究的是辐射（电磁波）与周围 物体处于平衡状态时能量按波长（频率）的分布。 1 1黑体辐射黑体辐射 一个开有小孔的封闭空一个开有小孔的封闭空 腔可看作是黑体。腔可看作是黑体。 8 黑体辐射实验事实：黑体辐射实验事实： 辐射热平衡状态辐射热平衡状态: : 处处 于某一温度于某一温度 T T 下的腔壁，下的腔壁， 单位面积所发射出的辐单位面积所发射出的辐 射能量和它所吸收的辐射能量和它所吸收的辐 射能量相等时，辐射达射能量相等时，辐射达 到到

6、热平衡状态热平衡状态。 实 验 曲 线 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波 长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温 度度 T T 有关有关, , 而与黑体的而与黑体的形状形状和和材料材料无关无关。 9 结论结论: : 在短波（高频）在短波（高频） 部分与实验符合得很好，部分与实验符合得很好， 但长波（低频）部分与但长波（低频）部分与 实验实验则明显不一致则明显不一致。 2 /3 1 ( ) cT dced (,)T 实验实验 瑞利瑞利- -琼斯琼斯 维恩维恩 T=1646kT=1646k （1 1）维恩

7、（）维恩（WeinWein德国物理学家）的解释德国物理学家）的解释 （2 2）瑞利瑞利金斯（金斯（Raileigh-JeansRaileigh-Jeans英国物理学家）的解释英国物理学家）的解释 2 3 8 ( ,)T dkTd c 结论结论: :在长波（低频）在长波（低频） 部分与实验符合，短部分与实验符合，短 波部分不符合。波部分不符合。 kTd c d 2 0 3 0 8 )( 此外存在此外存在“紫外光的灾难紫外光的灾难” 10 Planck assumptionPlanck assumption: : 黑体可看作一组连续振动的黑体可看作一组连续振动的 带电谐振子，这些谐振子的能带电谐振

8、子，这些谐振子的能 量应取分立值，这些分立值都量应取分立值，这些分立值都 是最小能量是最小能量 的整数倍，这些分的整数倍，这些分 立的能量称为谐振子的立的能量称为谐振子的能级能级。 Planck-Planck-德国物理学家德国物理学家， （3 3）普朗克（）普朗克（19001900年）对年）对黑体辐射黑体辐射的解释的解释 可见：可见：黑体黑体与与辐射场辐射场交换能量交换能量 只能以只能以 为单位进行，亦即黑体为单位进行，亦即黑体 吸收或发射电磁辐射能量的方式吸收或发射电磁辐射能量的方式 是是不连续不连续的，只能的，只能量子量子地进行，地进行， 每个每个“能量子能量子”的能量为的能量为 h ()

9、 2 h 11 基于能量子假设，基于能量子假设，PlanckPlanck利用统计物理推导出与利用统计物理推导出与 实验符合得很好的实验符合得很好的黑体辐射公式黑体辐射公式PlanckPlanck公式：公式： 3 3/ 8 ( ) 1 hKT h dd C e 其中其中 （称为（称为PlanckPlanck常数常数） 34 6.62559 10hJ S 1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性 12 注注：Planck的的“能量子能量子”假说与经典物理中振子假说与经典物理中振子 的能量是连续的相抵触。可见，的能量是连续的相抵触。可见，Planck理论突破理论突破 了经典物理学在微观领域的束缚

10、，打开了认识光了经典物理学在微观领域的束缚，打开了认识光 的粒子性的大门。的粒子性的大门。 讨 论讨 论 0 维恩维恩公式公式 瑞利瑞利- -琼斯琼斯公式公式 1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性 13 2 2EinsteinEinstein为何？又如何提出为何？又如何提出“光量子光量子”假设的？写假设的？写 出一个光子的能量与动量，即给出出一个光子的能量与动量，即给出Planck-EinsteinPlanck-Einstein关关 系系。 14 光照射到金属上，使金属中的电子逸出的现象，这光照射到金属上，使金属中的电子逸出的现象，这 种现象称为种现象称为光电效应光电效应, ,逸出的电

11、子称为逸出的电子称为“光电子光电子” 。 2 2光电效应光电效应 1.1.临界频率临界频率 只有当光的频率大于某一定值 只有当光的频率大于某一定值 时时 ，才有光电子发射出来。若光频率小于该值，才有光电子发射出来。若光频率小于该值 时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有 电子产生。光的这一频率电子产生。光的这一频率 称为临界频率。称为临界频率。 2.2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关， 光强只决定电子数目的多少。光强只决定电子数目的多少。 0 : 0 0 光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。光

12、电效应的这些规律是经典理论无法解释的。 按照光的电磁理论，光电子的能量只决定于光按照光的电磁理论，光电子的能量只决定于光 的强度而与频率无关。的强度而与频率无关。 此外，光电效应具有瞬时性，其响应速度很快此外，光电效应具有瞬时性，其响应速度很快1010-9 -9 秒。秒。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量需要时经典认为光能量分布在波面上，吸收能量需要时 间。间。 15 光子的光子的能量能量 hE k h c h c E P 光子的光子的动量动量 kp Planck-EinsteinPlanck-Einstein 公式公式 Einstein assumptionEinstein assumpt

13、ion： 在在PlanckPlanck能量子假设的启发下，爱因斯坦提出能量子假设的启发下，爱因斯坦提出 了了“光量子光量子”的概念，他认为，不仅黑体与辐射场的概念，他认为，不仅黑体与辐射场 的能量交换是量子化的，而且辐射（光）是由一颗的能量交换是量子化的，而且辐射（光）是由一颗 颗具有一定能量的粒子组成的粒子流，这些粒子称颗具有一定能量的粒子组成的粒子流，这些粒子称 为为光子光子（光量子光量子） （ 波矢量）k 爱因斯坦（爱因斯坦（19051905年）对光电效应的解释年）对光电效应的解释 16 光 电 效 应 的 解 释光 电 效 应 的 解 释 )( 2 1 00 2 hwh（光电效应方程光

14、电效应方程） 当当 or or 无电子逸出无电子逸出 0 wh 0 当当 or or 有电子逸出有电子逸出 0 wh 0 电子的逸出功电子的逸出功 h w0 0 （ 临界频率临界频率） 0 在在 的条件下的条件下, ,当当 越大，即光强越强，光子越大，即光强越强，光子 密度大，产生电子数越多密度大，产生电子数越多 0 I 17 19161916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得 h h =6.57=6.57 1010-34 -34 焦耳 焦耳秒。秒。 hEkp 光的波动性光的波动性 和粒子性和粒子性 是通过普朗是通过普朗 克常数联系在一起的。克

15、常数联系在一起的。 ( , )k ( ,)E P Einstein Einstein因发现光电效应定律获得了因发现光电效应定律获得了19231923年的诺贝尔年的诺贝尔 物理学奖。物理学奖。 注：注：利用光子的概念可解释光电效应，可见光电效应利用光子的概念可解释光电效应，可见光电效应 体现了光的粒子性。体现了光的粒子性。 18 3.3.原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件？原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件？ 19 3. 3. 原子光谱与原子结构原子光谱与原子结构 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发 现了的。现了的。18851885年瑞士

16、年瑞士巴尔末巴尔末(Balmer)发现紫外光附近发现紫外光附近 的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式, ,即著名即著名 的的巴尔末公式巴尔末公式： 22 11 3,4,5, 2 H R Cn n 71 1.09677576 10, H RmRydbergC 其中是氢的常数是光速。 后来又发现了一系列线系，它们可用下面公式表示：后来又发现了一系列线系，它们可用下面公式表示： mn nm CRH 22 11 20 氢氢原原子子光光谱谱 谱谱系系 m m n n 区区 域域 L Ly ym ma an n 1 1 2 2, ,3 3, ,4 4, ,. . .

17、 . . . . 远远紫紫外外 B Ba al lm me er r 2 2 3 3, ,4 4, ,5 5, ,. . . . . . . 可可见见 P Pa as sc ch he en n 3 3 4 4, ,5 5, ,6 6, ,. . . . . . . 红红外外 B Br ra ac ck ke et tt t 4 4 5 5, ,6 6, ,7 7, ,. . . . . . . 远远红红外外 P Pf fu un nd d 5 5 6 6, ,7 7, ,8 8, ,. . . . . . . 超超远远红红外外 原子结构的玻尔理论原子结构的玻尔理论 19121912年，时年年

18、，时年2727岁的丹麦物岁的丹麦物 理学家玻尔（理学家玻尔（BohrBohr）来到卢瑟）来到卢瑟 福（福（RutherfordRutherford）实验室对原）实验室对原 子结构的谱线进行研究，为解子结构的谱线进行研究，为解 释氢原子的辐射光谱，释氢原子的辐射光谱，19131913年年 提出原子结构的半经典理论，提出原子结构的半经典理论， 其假设有两点：其假设有两点： 获得获得19221922年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖 21 （1 1）特定的定态轨道）特定的定态轨道 轨道量子化条件轨道量子化条件: : （2 2）定态跃迁频率）定态跃迁频率 原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子原子处

19、于定态时不辐射，但是因某种原因，电子 可以从一个能级可以从一个能级 E En n 跃迁到另一个较低（高）的跃迁到另一个较低（高）的 能级能级 E Em m ， ，同时将发射（吸收）一个光子。光子同时将发射（吸收）一个光子。光子 的频率为：的频率为： 1.3 1.3 微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性 + v r e 1.1.玻尔假设玻尔假设 mn EE h 22 氢原子中的电子绕核作圆周运动氢原子中的电子绕核作圆周运动 角动量角动量 能量能量 24 2 22 1 22 ss n ee E T UE rn 22 2 s e rr 向向 心心 力力 库库 仑仑 力力 2 2 0 4 s e e 2.

20、2.玻尔理论对氢原子光谱的解释玻尔理论对氢原子光谱的解释 22 11 mn EE Rc hnm 里德伯方程里德伯方程： 23 里德伯常数里德伯常数 4 71 3 1.0967757610 4 s e Rm c 与实验完全一致与实验完全一致 3.3.量子化条件的推广量子化条件的推广 由理论力学知，若将角动量由理论力学知，若将角动量 L L 选为广义动量，选为广义动量， 则则为广义坐标。考虑积分并利用为广义坐标。考虑积分并利用 Bohr Bohr 提出的提出的 量子化条件，有量子化条件，有 nhndnLd 2 索末菲索末菲将将 BohrBohr 量子化条件推广为推广后的量量子化条件推广为推广后的量

21、 子化条件可用于多自由度情况，子化条件可用于多自由度情况， 24 这样这样索末菲量子化条件索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，不仅能解释氢原子光谱， 而且对于只有一个电子（而且对于只有一个电子（LiLi，NaNa，K K 等）的一些原等）的一些原 子光谱也能很好的解释。子光谱也能很好的解释。 对玻尔理论的评价对玻尔理论的评价 成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱 的规律性。的规律性。定态假设定态假设（定态具有稳定性和确定的能（定态具有稳定性和确定的能 量值）依然保留在近代量子论中。量值）依然保留在近代量子论中。 iii P dqn h o 25

22、 玻尔理论无法克服的困难玻尔理论无法克服的困难 (1) (1) 只能解释氢原子及碱金属原子的光谱，而不能只能解释氢原子及碱金属原子的光谱，而不能 解释含有两个电子或两个电子以上价电子的原子的解释含有两个电子或两个电子以上价电子的原子的 光谱。光谱。 (2) (2) 只能给出氢原子光谱线的频率，而不能计算谱只能给出氢原子光谱线的频率，而不能计算谱 线的强度及这种跃迁的几率，更不能指出哪些跃迁线的强度及这种跃迁的几率，更不能指出哪些跃迁 能观察到以及哪些跃迁观察不到。能观察到以及哪些跃迁观察不到。 (3)(3)只能讨论束缚态而不能讨论散射态。只能讨论束缚态而不能讨论散射态。 玻尔理论是经典与量子的

23、混合物，它保留了经典玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典 的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制 电子的运动。它不能解释稍微复杂的原子问题，电子的运动。它不能解释稍微复杂的原子问题，并并 没有成为一个完整的量子理论体系没有成为一个完整的量子理论体系, ,是半经典量子理是半经典量子理 论论。正是这些困难，迎来了物理学的。正是这些困难，迎来了物理学的大革命。大革命。 26 4.4.康普顿实验室怎样的一个实验？其意义是什么？康普顿实验室怎样的一个实验？其意义是什么？ 27 19231923年，美国物理学家年，美国物理学家ComptenCompt

24、en用用X X射线入射到碳、射线入射到碳、 石墨等原子质量很轻的靶上，进行光散射实验。石墨等原子质量很轻的靶上，进行光散射实验。 准直系统准直系统 入射光入射光 0 0 散射光散射光 探测器探测器 石墨石墨 散射体散射体 4 4康普顿康普顿散射散射(1922(19221923)1923) Compton Compton 散射是对光的粒子性的进一步证实。散射是对光的粒子性的进一步证实。 28 散 射 实 验 结 果散 射 实 验 结 果 1 1 散射的射线中有与入射波长散射的射线中有与入射波长 相同的射线相同的射线, ,也有也有 波长波长 的射线的射线. . 0 0 2 2 散射线中波长的改变量

25、散射线中波长的改变量 随散射角随散射角 的的 增大而增大，即散射后的光其波长随散射角的增加而增大而增大，即散射后的光其波长随散射角的增加而 增大增大. . 0 2 0 2sin 2 10 0 0 2 2.4263 100.024263Acm m C 称为电子的康普顿波长称为电子的康普顿波长 3 3 同一散射角下同一散射角下 相同相同, ,与散射物质无关；原子量与散射物质无关；原子量 较小的物质，康普顿散射效应强。较小的物质，康普顿散射效应强。 29 （2 2）康普顿的解释：）康普顿的解释： X X 射线光子与射线光子与“静止静止”的的“自由电子自由电子”弹性弹性 碰撞碰撞: : 碰撞过程中能量

26、与动量守恒碰撞过程中能量与动量守恒 2 2 2 1 c c 20 1 v cc nn （1 1）经典电磁理论的困难：）经典电磁理论的困难： 散散入入 碰撞前碰撞前 X X射线光子的能量射线光子的能量 （10104 410105 5 eV eV） 电子的能量电子的能量 2 c h n C 0 h n C v 反冲电子反冲电子 30 能量守恒：能量守恒： 2 2 2 1 c c 动量守恒：动量守恒： cos 1 cos 2 cc sin 1 sin0 2 c c c 2 2 消除消除 与与 2 4 sin 2c 散射波的波长随散射角散射波的波长随散射角 的增加而增大，与实验结果的增加而增大，与实验

27、结果 完全符合。完全符合。 1.2 1.2 光的波粒二象性光的波粒二象性 31 19231923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证 了康普顿解释了康普顿解释 康普顿和威尔逊合得康普顿和威尔逊合得19271927年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖 康普顿散射实验的意义康普顿散射实验的意义: : 康普顿散射进一步证实了光子论康普顿散射进一步证实了光子论( (光的量子性），光的量子性）， 证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具 有波粒二象性。另外证明在光电相互作用的过程中有波粒二象性。另外证明在光电相互

28、作用的过程中 严格遵守能量、动量守恒定律。严格遵守能量、动量守恒定律。 32 Eh h Pnk Planck-EinsteinPlanck-Einstein方程方程 作为粒子的能量作为粒子的能量E E 和动量和动量 与波动的频率与波动的频率 和波和波 矢矢 由由 Planck-Einstein Planck-Einstein 方程联系起来方程联系起来。 k P PlanckPlanck常数：常数： 34 6.62559 10hJ S 另一方面我们也看到，在新的理论中，另一方面我们也看到，在新的理论中，PlanckPlanck 常数常数 起着关键作用，当起着关键作用，当 h h 的作用可以略去时

29、，的作用可以略去时， 经典理论是适用的，当经典理论是适用的，当 h h 的作用不可忽略时，经的作用不可忽略时，经 典理论不再适用。因此，凡是典理论不再适用。因此，凡是 h h 起重要作用的现起重要作用的现 象都称为象都称为量子现象量子现象。 h 33 5 5德布罗意为何？又如何提出微观粒子波动性的？写德布罗意为何？又如何提出微观粒子波动性的？写 出德布罗意自由粒子的平面波，德布罗意关系式。出德布罗意自由粒子的平面波，德布罗意关系式。 34 二二. .德布罗意假设德布罗意假设微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性 19241924年，时为研究生的年，时为研究生的 青年物理学家德布罗意在青年物理学家德布

30、罗意在 EinsteinEinstein光量子理论的启光量子理论的启 发下，注意到经典理论在发下，注意到经典理论在 处理电子，原子等实物粒处理电子，原子等实物粒 子方面所遇到的困难，是子方面所遇到的困难，是 否会是经典理论走了另一否会是经典理论走了另一 个极端，即仅注意到粒子个极端，即仅注意到粒子 性一方面，而忽视了其波性一方面，而忽视了其波 动性一方面。动性一方面。 德布罗意假设（德布罗意假设（de-Broglie assumptionde-Broglie assumption） 35 于当年向巴黎大学理学院提交的博士论文中提出：于当年向巴黎大学理学院提交的博士论文中提出： 在光学上，比起波

31、动的研究来，过于忽略了粒子在光学上，比起波动的研究来，过于忽略了粒子 的一面；在物质理论上，是否发生了相反的错误，的一面；在物质理论上，是否发生了相反的错误， 是不是我们把粒子的图象想得太多，而过于忽略是不是我们把粒子的图象想得太多，而过于忽略 了波的图象。指出了波的图象。指出一切物质粒子（原子、电子、一切物质粒子（原子、电子、 质子等）都具有粒子性和波动性，在一定条件下，质子等）都具有粒子性和波动性，在一定条件下， 表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。 hE k h P 德布罗意关系德布罗意关系 自由粒子自由粒子具有具有 质量质量 m m 速度

32、速度 V V 能量能量 E E 动量动量P P 波长波长 频率频率 36 1( ) () ( , ) ipr Et i k rt p r tAeAe 称称 为为 德布罗意波德布罗意波 讨论：讨论： 能量为能量为E E 的自由粒子的德布罗意波的波长的自由粒子的德布罗意波的波长 2 2 p E h p E h 2 例如例如: :自由粒子的能量自由粒子的能量 和动量和动量 为常量，与它为常量，与它 相联系的波是相联系的波是 和和 都不变的平面单色波：都不变的平面单色波： EP r P r E 微 观 粒 子 的 状 态 用 波 函 数 描 述微 观 粒 子 的 状 态 用 波 函 数 描 述 37

33、Ex.1Ex.1 求经电势差为求经电势差为V V伏特的电场加速后的电子的波长。伏特的电场加速后的电子的波长。 )( 25.12 2 A VeV h 19- 10)2(60210. 1e库仑库仑 31 10)13(10908. 9 e m千克千克 SJh 34 1062559. 6 若若V=150V=150伏，伏， 0 10 1A 100.1m - = 纳米纳米 若若V=100000V=100000伏，伏， 3 104 纳米纳米 （1 1纳米纳米=10=10-9 -9m m） ） eVE 能量能量 电子波长比可见光的波长（电子波长比可见光的波长（1010-7 -7m m）小 ）小5 5个数个数

34、量级，比原子的半径（量级，比原子的半径（0.1 - 0.20.1 - 0.2纳米）还小得多。纳米）还小得多。 38 6 6粒子的波动性的实验验证就你所知道的有哪些？粒子的波动性的实验验证就你所知道的有哪些？ 39 19311931德国柏林大学鲁斯卡（德国柏林大学鲁斯卡（E ERuskaRuska）博士发）博士发 明了世界上第一台透射式电子显微镜，一开始只能明了世界上第一台透射式电子显微镜，一开始只能 放大几百倍。到放大几百倍。到19331933年很快提高到一万倍以上，分年很快提高到一万倍以上，分 辨率达辨率达1010-5 -5 mm mm（人眼的分辨率（人眼的分辨率0.2mm0.2mm，光学分

35、辨率，光学分辨率 为为1010-4 -4 mm mm）。目前，电子显微镜放大倍数已达到百）。目前，电子显微镜放大倍数已达到百 万倍以上，分辨率小于万倍以上，分辨率小于0.10.1纳米，通过电子显微镜，纳米，通过电子显微镜， 人们可看到病毒和细菌内部以及原子结构内部，使人们可看到病毒和细菌内部以及原子结构内部，使 化学、生物工程，遗传工程和材料工程等得以深入化学、生物工程，遗传工程和材料工程等得以深入 发展。发展。 三三. .理论在现代科技上的应用举例理论在现代科技上的应用举例 40 四四. .德布罗意假设的实验验证德布罗意假设的实验验证 de Broglie de Broglie 波波1924

36、1924年提出后，年提出后，1927-19281927-1928年年 由戴维逊由戴维逊( (DavissonDavisson) ) 和革末和革末( (GermerGermer) ) 以及汤姆以及汤姆 逊逊( (G.P.ThomsonG.P.Thomson) ) 的电子衍射实验所证实。的电子衍射实验所证实。 法拉第园法拉第园 筒筒 入射电子注入射电子注 镍单晶镍单晶 戴维逊戴维逊- -革末实验革末实验 d 汤姆逊实验汤姆逊实验 41 散射电子束的强度随散射角散射电子束的强度随散射角 而改变，当而改变，当 取某些确取某些确 定值时，强度有最大值。与定值时，强度有最大值。与X X射线的衍射现象相同，

37、充射线的衍射现象相同，充 分说明电子有波动性。根据衍射理论，衍射最大值分说明电子有波动性。根据衍射理论，衍射最大值 sindn 实 验 结 果实 验 结 果 由此算出的电子的德布罗意波长与德布罗意关系由此算出的电子的德布罗意波长与德布罗意关系 结果一致结果一致 1.3 1.3 微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性 42 电子不仅在反射时有衍射现象，电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验汤姆逊实验证证 明了电子在穿过金属片后也象明了电子在穿过金属片后也象X X 射线一样产生衍射射线一样产生衍射 现象。现象。 戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享19371937 年

38、的物理学诺贝尔奖金年的物理学诺贝尔奖金. . （汤姆逊（汤姆逊19271927） 1.3 1.3 微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性 43 历历 史 史 回 回 顾 顾 经典物理中的波和粒子，光的波粒二象性经典物理中的波和粒子，光的波粒二象性 经典物理：经典物理： 证实了光的波动性证实了光的波动性 早期量子论：证实光的波粒二象性早期量子论：证实光的波粒二象性 波动性波动性 ( , ) h h P en= = 微粒性微粒性 ( , , )p m 早期量子论：早期量子论： 普朗克的能量子假设普朗克的能量子假设 爱因斯坦的光子说、康普顿效应爱因斯坦的光子说、康普顿效应 玻尔的氢原子模型、量子态玻尔的氢

39、原子模型、量子态 小结小结 h 44 第一章第一章 小结小结( (续续) ) hE k h P 德布罗意关系德布罗意关系 1 () () ( , ) ip rEt i k rt p r tAeAe 德布罗意波德布罗意波 45 1. 1.了解光的波粒二象性的主要实验事实；掌握德了解光的波粒二象性的主要实验事实；掌握德 布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设和索末菲布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设和索末菲 的量子化条件。的量子化条件。 2.2.掌握德布罗意公式和德布罗意波掌握德布罗意公式和德布罗意波 德布罗意关系：德布罗意关系： Kn h P whvE 德布罗意波：德布罗意波： )( 2/3 )

40、2( 1 Etrp i p e 46 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 The principle of superposition 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 The Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 The current density of particles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Ti

41、me independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 The transmission of potential barrier 学习内容学习内容 47 1. 1.量子力学中波函数描述的是什么？何为波函量子力学中波函数描述的是什么？何为波函 数及其统计解释。数及其统计解释。 48 德布罗意德布罗意指出指出：微观粒子的运动状态可用一个复微观粒子的运动状态可

42、用一个复 函数函数 来描述，来描述，函数函数 称为称为波波 函数。函数。 ( , )r t ( , )r t 19261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平 方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。 48 （1 1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒描写粒 子的波是几率波子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）基本原理）。 知道

43、了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态）的量子状态（简称状态或态） （2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。 （3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。 必 须 注 意必 须 注 意 49 2 2. . 波函数为什么可以归一化？归一化条件是什波函数为什么可以归一化？归一化条

44、件是什 么？么？ 50 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子 不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全 空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现 的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例， 而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上 一个常数后，所描写的粒子状态不变，即一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 和和 描述同一状态描述同一状态 , r t ,Cr t

45、这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大 一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原 来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波 无归一化问题。无归一化问题。 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利 用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函 数的归一化条件：数的归一化条件： 51 又因又因 2 2 2 ( , )( , )1r tdCr td 2

46、1 ( , ) C r td 其中其中 称为称为归一化常数归一化常数 于是于是 dtr tr trtr 2 2 2 ),( ),( ),(),( 归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。 1 2 d)t , r(d )t , r( 满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。, r t 52 3 3. . 会用归一化做简单计算会用归一化做简单计算 53 Ex.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为 22 1 ( , )exp 22 i r tAa xt 求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一

47、化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。出现的几率最大。 dxeAdxtr xa 22 2 2 ),( 2 2 A a 2/ 1 /aA 归一化常数归一化常数 Solve: 1 2 2 1 1/2 22 ( , )/ i a xt r tae 归一化的波函数归一化的波函数 (1).求求归一化的波函数归一化的波函数 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1313） 54 （2 2）几率分布）几率分布： 22 2 ),(),( xa e a txtx （3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 2 2 2 ( , ) 20 a x dx ta a xe d

48、x 由于由于 2 2 0 ( , ) 0 x dx t dx 0 x 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。0 x 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1414） 55 4 4. . 什么是态叠加原理？什么是态叠加原理？ 56 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的 正确性也依赖于实验的证实。正确性也依赖于实验的证实。 n ccc 32211 1 1 2 n k k c 1. 1. 若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子 也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态 12 , n 态迭加原理态迭加原

49、理 2 k c 2.2.当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率 是是 ，并且，并且 k (1,2, ,)kn 57 5 5. . Schrdinger方程 及其建立过程及其建立过程？ 58 微观粒子运动方程应具有的特点微观粒子运动方程应具有的特点 （1）含有波函数对时间的一阶导数）含有波函数对时间的一阶导数 （2）方程必为线性的）方程必为线性的 （3）系数不应该包含状态的参量）系数不应该包含状态的参量 质量为质量为 的非相对性粒子的非相对性粒子(即低速运动的粒子即低速运动的粒子), 其总能为其总能为 t tr ),( ),( 2 2 trU P E 59

50、)Etr ,P( i /P e )( )t ,r( 23 2 1 P P i E t 22 2 1 PP P 2 2 P E 又又 （2） 222 PP P （3） 2 2 PP P E （1） PP Ei t 由自由粒子出发建立运动方程由自由粒子出发建立运动方程 将（将（1 1）和（）和（2 2）式代入（）式代入（3 3）式，得）式，得 ),( 2 ),( 2 2 tr t tr i P P （4） 60 推广到势场中运动粒子的推广到势场中运动粒子的SchrSchrdingerdinger方程方程 设势场设势场 中运动粒子的状态波函数为中运动粒子的状态波函数为),(tr ( , )U r t

51、 ),(),(),( 2 ),( 2 trtrUtr P trE ),(),( 2 ),( 2 2 trtrU t tr i （6） 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程（续续3 3） 用能量关系式用能量关系式 乘以波函数乘以波函数 ) t , r(U P E 2 2 , r t 将能量将能量 和动量和动量 分别用分别用能量算符能量算符 和和动量算符动量算符 替代，即得替代，即得SchrSchrdingerdinger方程方程 EP i t i 粒子的哈密顿函数粒子的哈密顿函数 2 ( , ) 2 P HU r t 61 iPP 作动量算符替代作动量算符替代 22 2 ( , )( , ) 2

52、2 P HHU r tU r t 则则 利用哈密顿算符，可将利用哈密顿算符，可将SchrSchrdingerdinger方程写成另一形方程写成另一形 式式 ( , ) ( , ) r t iHr t t 称为哈密顿算符称为哈密顿算符 61 （1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它 的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而 得到证实得到证实。 注 意注 意 （2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中的 地位与牛顿方程在经典力学中的

53、地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿, ,只要给只要给 出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒 子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。 62 6.6.两个公式两个公式 * 2 i J 称为几率流密度称为几率流密度 几率连续性方程几率连续性方程 0J t 63 6.6.什么是定态？其性质是什么？什么是定态？其性质是什么？ 粒子的能量粒子的能量E E有确定的值的这种状态称为定态；有确定的值的这种状态称为定态； 描述定态的波函数称为描述定态的波函数称为定态波函数。定态波函数。 性质：性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几定态之下不

54、显含时间的力学量的取值几 率和平均值不随时间改变。率和平均值不随时间改变。 64 ( , )( ) n i E t nn r tr e * ( , )( , )( , )( , ) 2 nnnn i Jr tr tr tr t * ( )( )( )( ) 2 nnnn i rrrr 22 ( , )( , )( ) nnn r tr tr 与与 无关无关t 定态的性质定态的性质 （2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关 （1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关 与与 无关无关t 判别定态的方法：判别定态的方法： 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔

55、方程（续续8 8） （1 1）能量是否为确定值）能量是否为确定值 （2 2）几率与时间无关）几率与时间无关 （3 3）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关 65 7.7.掌握一维无限深势阱的计算。掌握一维无限深势阱的计算。 66 1 1定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程 ax ax xU 0 )( )()()( 2 2 22 xExxU dx d )( 2 2 22 xU dx d H 哈密顿算符哈密顿算符 无限深势阱无限深势阱 -aa0 U(x) 22 2 22 2 ( )( ) 2 ( )( )( ) 2 d xExxa dx d xxExxa dx (1) (

56、2) 考虑一维粒考虑一维粒 子的运动，子的运动， 其势能为其势能为: : 67 2 2定态定态SchrSchrdingerdinger方程的解方程的解 因因 及及 有限，由（有限，由（2 2） )(x0)(x xa（3） E 令令 2 2 2 E （4） 2 2 2 ( )0 d x dx （1） 从物理考虑，粒从物理考虑，粒 子不能透过无穷子不能透过无穷 高的势壁。高的势壁。 2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续2 2） 其通解为其通解为： xBxAxcossin)(ax （5） 利用利用 的连续性，由（的连续性，由（3 3）和（）和（5 5）得）得)(x ( )sincos0

57、 ()sincos0 aAxBa aAaBa 68 当当 ，有，有00BA0sina a n n 2 （n n为偶数）为偶数） (6) 当当 ，有，有 0cosa 00BA a n n 2 （n n为奇数）为奇数） (7) 2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续3 3） (6)(6)和和(7)(7)两式统一写成两式统一写成 , 3 , 2 , 1, 2 n a n n （8） 本征能量：本征能量： （9） 222 2 8 n n E a 2 2 2 E 69 本本 征征 函函 数数 2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续4 4） sin() 2( ) 00 n n Ax

58、nxa ax x （10） 为偶数为偶数 cos() 2( ) 00 n n Bxnxa ax x （11） 为奇数为奇数 (10)(10)和和(11)(11)两式统一写成两式统一写成 sin() 2( ) 0 n n Ax axa ax xa 由归一化条件求得归一化常数由归一化条件求得归一化常数1Aa 70 推导推导: 2222 | aa nnnn aa xdxdxdxdx 2 22 22 |sin() 2 1 1 cos()1 2 aa n aa a a n dxAx adx a n Ax a dxA a a 1Aa （取实数）（取实数） 2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续

59、5 5） ax ax)ax( a n sin a)x( n 0 2 1 （12） 归一化归一化 的本征的本征 函数函数 71 8.8.了解了解线性谐振子线性谐振子。 72 在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力 作作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为： Fk x 2 2 2 0 d x k xxxk dt 其解为其解为 。这种运动称为简谐振动，作这种运这种运动称为简谐振动，作这种运 动的粒子称为（线性）谐振子。动的粒子称为（线性）谐振子。 sinxAt 经典允许的振动范围经典允许的振动范围 谐振子在运动中能量守恒

60、。谐振子在运动中能量守恒。 其能量是振幅的连续函数其能量是振幅的连续函数。 2 22 1 22 x p Hmx m 谐振子哈密顿量：谐振子哈密顿量： 谐振子能量：谐振子能量： 22 1 2 Em A 73 Hamilton operator 22 2 22 2 1 2 x dx d H 定态定态SchrSchrdingerdinger方程：方程： )()( 2 1 2 22 2 22 xExx dx d SchrSchrdingerdinger方程方程 )( !2 )( 22 2 1 2 1 xHe n x n x n n 归一化的本征函数归一化的本征函数 (0,1, 2, 3,)n 2 1