第三章 第二节 Newnon-Cotes型求积公式

1、第二节第二节 Newnon-Cotes型求积公式型求积公式 一、一、 公式的一般形式公式的一般形式二、常用的二、常用的 公式公式NewtonCotes三、小结三、小结 一、一、 公式的一般形式公式的一般形式 由于多项式是一个十分简单的不但计算方便，求由于多项式是一个十分简单的不但计算方便，求积分也很方便积分也很方便 ，因此我们用，因此我们用, a b 据插值理论可知，若给定函数据插值理论可知，若给定函数 在区间在区间( )f x上上 个互异点处的值个互异点处的值 ， 则可以用插值则可以用插值1n(0,1, )kykn多项式近似地把多项式近似地把 表示出来。表示出来。 fxLagrange插值多

2、项式插值多项式 代替被积函数代替被积函数 ：( )nP x fx( )( )( )nnf xP xR x2.1由于由于 00nnjnkkjkjj kxxP xyxx 于是于是 式成为式成为 2.200( )()nnbbbjknaaakjkjj kxxf x dxyR dxxx 若记若记0nbjkajkjj kxxAdxxx2.3 ( )bnaE fRx dx2.4则有则有 0( )nbkkakf xA yE f(2.5)取取 作为积分作为积分 的近似值，则得插值求积分的近似值，则得插值求积分 0nkkkA y1.1公式。公式。其中，其中， ()kkyf x若假定求积公式的节点若假定求积公式的节

3、点 为等距分布，为等距分布，kx,0,1,kbaxakh hknn2.60( )nbkkakf x dxA y则插值求积公式则插值求积公式 (2.6)就叫做就叫做 NewtonCotes公式。此时公式。此时，便有便有xath令令( )00()nnnkkjj kbatjAdtba Cnkj( )00001( 1)()!()!n knnnnnkjjj kj ktjCdttj dtnkjk nkn2.7从而从而 成为成为2.6( )0( )()nbnkkakf x dxbaCy2.8其中其中 通常称为通常称为 系数。系数。 ( )nkCCotes1nnNewtonCotes 由定义由定义1 可知可知

4、 NewtonCotes， 公式的代数精度至少公式的代数精度至少是是 次，进一步可以证明当次，进一步可以证明当 n是偶数时是偶数时 ，公式的公式的 代数精度可达到代数精度可达到 次。次。二、常用的二、常用的 公式公式NewtonCotes1 、梯形公式、梯形公式 在在 公式公式 中，取中，取 时，由时，由 NewtonCotes2.81n 2.7(1 )(1 )0112CC知知，故有，故有()( )( )( )2babaf x dxf af bT2.9梯形梯形AabB 的面积的面积公式公式 称为称为梯形公式梯形公式。2.9它的几何意义就是用它的几何意义就是用( )( )2baf af b近似代

5、替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积 ( )baf x dx。( )yf x1( )yp xBAabxy0它的误差可由下面定理给出它的误差可由下面定理给出. 定理定理1 若若 在在 上有二阶连续导数上有二阶连续导数,则梯形公式则梯形公式 的误差估计为的误差估计为 ( )f x, a b2.9 3()( )( )( )( )212bTababaEff x dxf af bf ab2.10证明证明 若若 在在 上有二阶连续导数，则上有二阶连续导数，则 f x , a b1( )( )( )()().2ff xP xxa xb于是有于是有 ( )( )( )( )()()22bbTaabafEff

6、 x dxf af bxaxb dx3()( )()()( )()()( )6bbaabafxa xb dxfxa xb dxf , a b, a bx( )f由于由于 是依赖于是依赖于 的函数，在的函数，在 上连续，上连续，而且而且 则应用积分学中的中值定理，则应用积分学中的中值定理，在在 上存在一点上存在一点 ，使，使 ()()0.xa xb证毕证毕。在在 公式公式 中，取中，取 ， 则有则有 NewtonCotes2.82n 2(2)0011(1)(2)2!26Cttdt2(2)1014(2)26Ct tdt 2(2)2011(1)2!26Ct tdt由此得到由此得到 ( )( )4 (

7、)( )62bahabf x dxf aff bS2.112 .S im p s o n公式公式1()2hba其中其中.(2.11)式称为式称为 公式。其几公式。其几Simpson何意义就是用抛物线何意义就是用抛物线 围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积2( )ypx( )yf x近似代替由近似代替由所围成的曲边梯形面积。所围成的曲边梯形面积。0aa+b/2by( )yf xSimpsonA2( )ypxB由于这个原因，公式由于这个原因，公式 也称也称抛物线公式抛物线公式。2.11定理定理2 若若 在在 上有四阶连续导数上有四阶连续导数, ( )f xSimpson, a b公式的误差估计公式

8、的误差估计 为为 5(4)1( )( )4 ()( )( )6290bsabaabEff x dxf aff bh f ab(2.12)证明证明 由插值理论有由插值理论有于是于是 公式有误差公式有误差Simpson 2( )( )bbSaaEff x dxpx dx1( )()()()3!2baabfxa xxb dx420( ) (1)(2)3!hft ttdt(2.13)2( )( )( )()()()3!2fabf xpxxa xxb 3( )( )bbSaaEff x dxp x dx推导梯形公式的误差那样应用积分中值定理推导梯形公式的误差那样应用积分中值定理 上不保持常号，上不保持常

9、号， 因为因为(1)(2)t tt在区间在区间0,22.13Simpson因此，在因此，在 中即使中即使2.13( )fx连续，也不能像连续，也不能像来估计积分值来估计积分值 。 但是，由于但是，由于 公公式的代数精度为式的代数精度为3，故可将，故可将Simpson公式的误差公式的误差表成表成则据则据 插值方法有插值方法有 Hermite(4)231( )( )( )()() ()4!2abf xp xfxa xxb( )x3333( )( ),( )( )()()22()()22P af aP bf bababPfababPf3( )P x若假定若假定 满足满足 两端积分，便有两端积分，便有

10、 (4)2( )()() ()4!2bsafabEfxa xxb dx,xa b显然，当显然，当时时()()()02abxa xxb(4)( ),fxC a b于是当于是当时时由积分中值定理，就得到由积分中值定理，就得到 Simpson公式公式的误的误差估计为差估计为 2(4)( )4!2bsafabEfxaxxb dx52(4)(4)()( )( )288090bahff ab证毕证毕。3.Cotes公式公式类似于前面的讨论，当类似于前面的讨论，当n=3时，有时，有Newton-Cotes公式为公式为 3( )( )3 ()3 ()( )8baf x dxh f af ahf bhf b(2

11、.14)1()3hba其中其中。（2.14)称为称为3/8Simpson公式，若公式，若(4)( )fx在在上连续，则公式上连续，则公式 (2.14) 的误差估计为的误差估计为 , a b 5(4)3( ),80SEfh fab (2.15)在在Newton-Cotes公式中，取公式中，取4,4banh，则有，则有2( )7 ( )32 ()12 ()32 ()7 ( )452baabf x dxChf af ahff bhf b （2.16)通常把公式（通常把公式（2.16)称作称作Cotes公式。如果公式。如果(6)( )fx在在a,b上连续上连续,则公式则公式(2.16)的误差估计是的误差估计是 7(6)8,945cEfh fab (2.17)从误差分析来考虑，好象从误差分析来考虑，好象n越大，精度越高。但由于高阶越大，精度越高。但由于高阶Newton- Cotes公式的