第三章 功和能

1、作业：作业： 28 17 16 7 33 77 、 P cosrFrFW 一一.恒力做恒力做 功功 第三章第三章 功和能功和能 3-1 功功 功率功率 1.定义定义 F r 功是标量；功是标量； 功是过程量；功是过程量； v N F 二二.变力做功变力做功 2.说明说明 功是相对量。功是相对量。 rFrFrFW NNN 0cos 地地 0 N rFW 电梯电梯 r 质点在力质点在力 作用下发生元位移作用下发生元位移 ，力，力 对质点所对质点所 做的元功为：做的元功为： i F i r i F i F i r iii rFW A B i i WW B A AB rFW d 质点在恒力质点在恒力

2、作用下作曲线运动：作用下作曲线运动： F B A AB rFW d r )( i i i rF rFW d 从从A B，变力，变力 做的功为：做的功为： F rF B A rF d 三三.合力的功合力的功 物体受若干力物体受若干力 的作用，的作用， 、 i FFF 21 i FF 物体作直线运动，变力物体作直线运动，变力 在物体的运动方向上，则在物体的运动方向上，则 F ixriFF dd B A AB rFW d B A AB rFW d 合力：合力： 合力的功：合力的功： B A B A AB rFrFWdd 21 B A rFF d)( 21 B A i xiF d B A xFd i

3、i WW （功的叠加原理）（功的叠加原理） i WWWW AB21 a 例例1.质量为质量为m的物体放在水平传送带上，随同传送带一的物体放在水平传送带上，随同传送带一 起以匀加速度起以匀加速度 前进，当物体被传送一段距离前进，当物体被传送一段距离S时，传时，传 送带对物体作多少功，物体又对传送带作多少功？送带对物体作多少功，物体又对传送带作多少功？ a f0 F f0 F S gm N F : f0 F 传送带对物体的静摩擦力传送带对物体的静摩擦力 : f0 F 物体对传送带的静摩擦力物体对传送带的静摩擦力 解：解： f01 SFW 物体对传送带作的功为物体对传送带作的功为 SFW f02 传

4、送带对物体作的功为传送带对物体作的功为 0cos 0f SF N F cos f0S F mas mas 例例2. 如图所示，一物体放在水平传送带上，物体与传送如图所示，一物体放在水平传送带上，物体与传送 带无相对滑动，当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物带无相对滑动，当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物 体作功为体作功为 ；当传送带作加速运动时，静摩擦力；当传送带作加速运动时，静摩擦力 对物体作功为对物体作功为 ；当传送带作减速运动时，静摩擦；当传送带作减速运动时，静摩擦 力对物体作功为力对物体作功为 。（仅填。（仅填“正正”、“负负”或或 “零零”） a f0 F f0 F gm N F 零零

5、 正正 a 负负 )9 ( 15 P BA 例例3. 有一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小有一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小 球，如图。求小球的位置由球，如图。求小球的位置由A B的过程中弹力对它所作的过程中弹力对它所作 的功。的功。 x 取弹簧无形变时小球所在取弹簧无形变时小球所在 的位置为坐标原点的位置为坐标原点 O F kxF B A rFW d 22 2 1 2 1 BA kxkxW 由胡克定律有：由胡克定律有： 解：解： B A x x xkx cosd O 讨论：讨论：时时， BA xx 时时， BA xx 弹力做正功。弹力做正功。 弹力做负功。弹力做负功。 结论

6、：结论：弹力做功只与始末位置有关，而与中间过程无关。弹力做功只与始末位置有关，而与中间过程无关。 BA O x 例例4. 水平桌面上有一小球，质量为水平桌面上有一小球，质量为m，在外力作用下沿，在外力作用下沿 半径为半径为R的圆从的圆从A至至B移动了半圆周。若物体与桌面的摩移动了半圆周。若物体与桌面的摩 擦系数为擦系数为 ，求此过程中摩擦力对物体所做的功。，求此过程中摩擦力对物体所做的功。 A B R f F v 解：解： B A rFrFW dd f 结论：结论： 摩擦力做功除与始末位置有关外，摩擦力做功除与始末位置有关外， 还与中间过程有关。还与中间过程有关。 cos)d( B A rmg

7、 Rmg 四四.功率功率 1.平均功率：平均功率： 2.瞬时功率：瞬时功率： t W P t 0 lim 3.功率的单位功率的单位： 1 Js)w( 瓦瓦特特 1 hp(马力马力)=735W t W P t W d d t rF d d v FP h 例例5. 如图所示，木块如图所示，木块m沿固定的光滑斜面下滑，当下降沿固定的光滑斜面下滑，当下降 h 高度时，重力的瞬时功率是高度时，重力的瞬时功率是 2121 2121 )2(sin )D( ) 2 1 (sin )C( )2(cos )B( )2( )A( ghmgghmg ghmgghmg （P14 8） 解：解： singa 21 )2(

8、 gh v v FP gm v 2 ) 2 cos()2( 21 ghmgP 21 )2(singhmg D N F sin sin20 2 h g v gm vv 车地车地 2 2 1 冰冰车车冰冰车车 vmEk 3-2 动能动能 动能定理动能定理 一一.动能动能 2.质点系的动能质点系的动能 2 2 1 vmEk i iik mE 2 2 1 v 动能具有瞬时性与相对性动能具有瞬时性与相对性3.注意注意 v v vv 冰地冰地 冰冰车车 v 2 2 1 冰冰地地冰冰地地 vmEk 1.定义定义 vv2 冰车冰车 （单质点）（单质点） 2 2 1 vm 2 vm 二二.动能定理动能定理 1.

9、推导推导 A B A v B v F t F d B A rFW t mmaF tt d dv B A t t mWd d d v v kAkB EEW 动能定理：动能定理： 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量合外力对物体所做的功等于物体动能的增量 B A m v v vvd 22 2 1 2 1 AB mmvv B A rFd)cos( B A t rFd 切向：切向： k E 2.说明说明既适用于曲线运动，也适用于直线运动。既适用于曲线运动，也适用于直线运动。 只与只与 态有关，与中间过程无关。态有关，与中间过程无关。 始始 末末 由于由于 具有相对性，故应考虑参考系。具有相对性，故应

10、考虑参考系。 k E 3. 适用范围：适用范围：惯性系惯性系 A 例例6.长为长为l 的轻绳系于一质量为的轻绳系于一质量为m的小球的小球A，O 端固定，将端固定，将 摆绳水平拉直，由静止释放，如图。试求下摆至摆绳水平拉直，由静止释放，如图。试求下摆至 角时，角时， 小球的速度的大小小球的速度的大小 ? v gm T F o 解：解： l A 法一：法一：用牛顿定律求解用牛顿定律求解 研究对象：研究对象：小小球球A 受力分析：受力分析： 取坐标，列方程：取坐标，列方程：取自然坐标系取自然坐标系 l mmgF 2 T sin v t mmg d d cos v 法向：法向： 切向：切向： 将方程将

11、方程 化为：化为： t g d d cos v sgdcosd vv st s sd d d d d dv v v )d(cos lg A gm T F o l A 00 dcosdgl v vv sin2gl v 解得：解得： 0 T F W拉力拉力 做的功：做的功： T F 重力重力 做的功：做的功：gm dcos smgWmg 由动能定理有：由动能定理有： 0 2 1 2 vmWmg sin2 gl v A gm T F o l A 0 dcoslmg sin mgl 法二：法二：用动能定理求解用动能定理求解 sinmgl 功功 B A B A AB rFrFW cosdd 复复 习习

12、v F t W P d d 功率功率 k EmmW 22 21 2 1 2 1 vv 外外 动能动能 2 2 1 vmEk 动能定理动能定理（单质点）（单质点） i iik mE 2 2 1 v 0 v v f F N F 由于屏障对滑块的支持力由于屏障对滑块的支持力 对滑块不做功，取自然对滑块不做功，取自然 坐标系有坐标系有 N F 证明：证明： 例例7.在光滑的水平桌面上固定有如图所示的半圆形屏在光滑的水平桌面上固定有如图所示的半圆形屏 障，质量为障，质量为m的滑块以初速的滑块以初速 沿屏障一端的切线方向沿屏障一端的切线方向 进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为进入屏障内，滑块与屏障间的摩

13、擦系数为 。证明：证明： 当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为 ，说明上述结果为什么与圆说明上述结果为什么与圆 弧半径无关。弧半径无关。 )1( 2 1 22 0 emWv 0 v )83 ( 78 P书书 Nf f 2 N d d FF t mFF R mFF t n v v Nf f 2 N d d FF t mFF R mFF t n v v t m R m d d 2 vv t s sRd d d d 2 vv 0 d d 0 v vv v 0 ln v v e 0 vv ddRs d dvv R 0 v v f F N F 由动

14、能理有由动能理有 22 0 2 1 2 1 vvmm F W f 由由 t mF d d f v sFW dd f 由于元功由于元功dW与与R无关，故摩擦力作功与无关，故摩擦力作功与R无关。无关。 )1( 2 1 22 0 emv s m t s s m d d d d d dv v v s s md d d v vvvdm 例例8.一个作直线运动的物体，若一个作直线运动的物体，若 时间内做功时间内做功 ， 时间内做功时间内做功 ， 时间内作功时间内作功 。 21 tt 1 W 2 W 32 tt 3 W 43 tt 1 t 2 t 3 t 4 t ) s ( t ) sm(v 000 )(

15、000 )( 000 )( 000 )( 321 321 321 321 WWWD WWWC WWWB WWWA ， ， ， ， 出出发发由由 k EW )7 ( 14 P 例例9.质点的运动方程为质点的运动方程为 ， 则在外力作用下从则在外力作用下从 t =0 到到 时间内，外力作的时间内，外力作的 功为功为 jtBitAr sin cos 2t )( 2 1 )( )( 2 1 )( )( )( )( 2 1 )( 222 222 222 222 ABmD BAmC BAmB BAmA jtBitAr sin cos jtBitA t r cos sin d d v ，B 0 v )( 2

16、 1 2222 BAmEW k )9 ( 14 P C 解：解： A t v gm r d 3-3 势能势能 一一.重力的功重力的功 物体在重力物体在重力 的作用下沿任一轨迹从的作用下沿任一轨迹从 , gm BA A B h A h B h 力力 对物体做的功为：对物体做的功为： gm B A AB rFW d 结论：结论： )cos(dcosd rr B A rmg cosd cosd B A rmg BAAB mghmghW B A h h hmg)d( 重力做的功只与物体始末位置有关，而与具体重力做的功只与物体始末位置有关，而与具体 的路径无关。的路径无关。 hd 1 m 二二. 万有引

17、力的功万有引力的功 2 m s d A r 引引 F A B 考虑考虑m2在在m1的作用下从的作用下从AB， 引力所作的功引力所作的功 B r B A AB sFW d 引引 )()( 210210 AB AB r mmG r mmG W B A s r mm G)cos(d 2 2 0 1 d B A 2 21 0 r r r r mm G r 2 m 结论：结论：万有引力做的功只与物体始末位置有关， 万有引力做的功只与物体始末位置有关， 而与具体的路径无关。而与具体的路径无关。 二二.保守力保守力具有做功与路径无关，而只与物体的始末位具有做功与路径无关，而只与物体的始末位 置有关的力，称为

18、保守力；反之则称为非保置有关的力，称为保守力；反之则称为非保 守力。守力。 保守力：保守力： 非保守力：非保守力： 重力、弹簧力、万有引力重力、弹簧力、万有引力 摩擦力摩擦力 三三.势能势能 p E 1.定义：定义：把由保守力相互作用的物体间的相对位置决定把由保守力相互作用的物体间的相对位置决定 的函数定义为该物体系的势能函数，简称势能的函数定义为该物体系的势能函数，简称势能. BAAB mghmghW 22 2 1 2 1 BAAB kxkxW )()( 210210 AB AB r mmG r mmG W 2.重力势能重力势能 mghE p Ap mghE A p EW 重力重力 结论：结

19、论： BpB mghE BABAmg mghmghW )( 定义：定义： BApp EE 3.弹性势能弹性势能 从例从例2知，从知，从 弹力所做的功为弹力所做的功为 BA xx 22 2 1 2 1 BAAB kxkxW p EW 弹弹力力 2 2 1 kxE p （弹性势能）（弹性势能） 定义：定义： BApp EE 结论：结论： 4. 引力势能引力势能 )()( 210210 AB AB r mmG r mmG W r mm GE p 2 0 1 p EW 万有引力万有引力 （引力势能）（引力势能）定义：定义： 结论：结论： 5.说明说明只有保守力作功才具有相应的势能；只有保守力作功才具有

20、相应的势能； ； 保保p EW 势能是系统共有的；势能是系统共有的； 势能是一个相对量，必须选定一个参考零势能是一个相对量，必须选定一个参考零 点（势能零点）。点（势能零点）。 B h A B A h 以地面为势能零点：以地面为势能零点： Ap mghE A 以以B点所在平面为势能零点：点所在平面为势能零点： )( BAp hhmgE A : : : 引引 弹弹 重重 p p p E E E视具体情况定视具体情况定 常选弹簧无形变常选弹簧无形变( x = 0 )时的时的0 弹弹 p E 选选 处的处的 r 0 引引 p E 势能零点的选取：势能零点的选取： 结论：结论： 物体在某点的势能等于相

21、应的保守力将物体物体在某点的势能等于相应的保守力将物体 从该点移至势能零点处所做的功。从该点移至势能零点处所做的功。 0 d P E A A rFE p 保保 例例10.二质点的质量各为二质点的质量各为m1、m2，当它们之间的距离由，当它们之间的距离由a 缩短到缩短到b时，万有引力所做的功为时，万有引力所做的功为 。 法二：法二： p EW 引力引力 )()( 221 0 1 0 a mm G b mm G ) 11 ( 210 ba mmG ) 11 ( 201 ba mmG 法一：法一： B A sFW d 引引引力引力 b a r r mm Gd 2 21 0 ) 11 ( 201 ba

22、 mmG 3-4 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 一一.机械能机械能 E物体作机械运动所具有的能量物体作机械运动所具有的能量 pk EEE 二二.功能原理功能原理 1.质点系的动能定理质点系的动能定理 1 m 2 m 1 F 2 F 21 f 12 f : 1 m : 2 m 21 mm 系统：系统： 21 122121 dddd kk EE rfrfrFrF dd 1211k ErfrF 2122 dd k ErfrF : 21 mm 质点系的动能定理：质点系的动能定理： k EWW 内内外外 rfrfW rFrFW dd dd 2112 21 内内 外外 其中，其中， ，

23、2112 ff 内力做的功不仅与力的大小有关，还与路径有关。内力做的功不仅与力的大小有关，还与路径有关。 不不一一定定等等于于零零。但但 dd 2112 rfrf 12 122121 dddd kk EE rfrfrFrF k E ) 2 1 () 2 1 ( 22 21iiii mmvv 2.功能原理功能原理 系统受的力系统受的力 外力外力 内力内力 非保守力非保守力 保守力保守力 非保守力非保守力 动能定理变为动能定理变为: k EWWW 非非保保内内保保内内外外 保内保内非保内非保内外外 WEWW k EWW 非非保保内内外外 功能原理：功能原理： 在一过程中，系统外力作的功与非保守内力

24、作在一过程中，系统外力作的功与非保守内力作 的功之和等于在该过程中系统的机械能的增量的功之和等于在该过程中系统的机械能的增量. 3.适用范围：适用范围：惯性系 惯性系 pk EE )(EWW 非非保保内内非非保保外外 三三.机械能守恒定律机械能守恒定律 1.守恒律守恒律0 0 EWW 时时，当当 非非保保内内外外 21 EE 即即 2.物体受力作功的三种情况物体受力作功的三种情况 既有保守力作功，又有非保守力作功，既有保守力作功，又有非保守力作功， 有保守力作功，非保守力作功的和为零，有保守力作功，非保守力作功的和为零， 只有保守力作功，只有保守力作功， 机械能不守恒机械能不守恒. 机械能守恒

25、机械能守恒. 机械能守恒。机械能守恒。 gm 阻阻 F 雨滴下落雨滴下落 N F gm 斜面光滑斜面光滑 0 N F W gm T F 0 T F W 3.使用注意使用注意 进行受力分析与守恒条件分析。进行受力分析与守恒条件分析。 进行进行 始始 末末 态分析。态分析。 选取势能零点。选取势能零点。 4.适用范围：适用范围：微观微观+宏观领域的惯性系。宏观领域的惯性系。 势能势能 r mm GEkxEmghE ppp 21 0 2 2 1 万万弹弹重重 p EW 保保 )()( 1122pkpk EEEEEWW 非保内非保内外外 复复 习习 机械能守恒定律机械能守恒定律 21 EE 功能原理功

26、能原理 只有保守力作功时，机械能守恒。即只有保守力作功时，机械能守恒。即 k EWW 内内外外 质点系的动能定理质点系的动能定理 例例11.一根长为一根长为 l 的均质链条，放在摩擦系数为的均质链条，放在摩擦系数为 的水平的水平 桌面上，其一端下垂，长度为桌面上，其一端下垂，长度为 a 如图。如果链条自静止如图。如果链条自静止 开始向下滑动，试求链条滑离桌面时的速度大小？开始向下滑动，试求链条滑离桌面时的速度大小？ a o x )0( p E 由于在链条滑离桌面前的整个过程中只有摩擦由于在链条滑离桌面前的整个过程中只有摩擦 力作功，由功能原理有力作功，由功能原理有 解：解： 取坐标取坐标ox如

27、图所示，如图所示， 并取坐标原点为势并取坐标原点为势 能零点。能零点。 系统：系统：链条链条 +地球地球 )0 2 () 2 1 2 ( 2 f a mg l a m l mgWFv l al g l a lg 22 )( )( v rFW F d f f a o x l a xg l m xld)( 2 )( 2 almg l 当链条下垂长度当链条下垂长度x时，时，mg l xl F f m 例例12.如图，质量如图，质量 m 为为 0.1kg 的木块，在一个水平面上和的木块，在一个水平面上和 一个倔强系数一个倔强系数k为为 20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由

28、 原长压缩了原长压缩了0.4 m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数 ，问在将要发生碰撞时木块的速率，问在将要发生碰撞时木块的速率 v为多少？为多少？ 25. 0 k m 解：解： 法一法一. 用功能原理求用功能原理求 EWF fgm N F f F 22 f 2 1 2 1 vmkxxF 系统：系统： 木块木块 + 轻弹簧轻弹簧+地球地球 mgF k f m kx gx k 2 2 v 0 p E F ) sm(83. 5 法二法二. 用动能定理求用动能定理求 对象：对象： 木块木块 mm gm N F f F F kF EWWF f 22 2 1 0)0 2

29、 1 (vmkxmgx k m kx gx k 2 2 v) sm(83. 5 R R R 解：解： A 22 2 1 )2() 2 () 2 ( 2 1 vmRmg R mg R k R/2 例例13. 如图所示，滑块置于一竖直弹簧上，弹簧原长为如图所示，滑块置于一竖直弹簧上，弹簧原长为R, 用力使弹簧压缩到用力使弹簧压缩到R/2时释放，则滑块恰好能通过上方光时释放，则滑块恰好能通过上方光 滑的滑的1/4圆弧形轨道，并由圆弧形轨道，并由 A点抛出。点抛出。求弹簧的劲度系求弹簧的劲度系 数；数；求滑块落到地面时的水平位置。求滑块落到地面时的水平位置。24)-3 ( 82 P 物体从弹簧被压物体

30、从弹簧被压 缩至缩至 R/2抛出到达抛出到达 A 点过程中机械能点过程中机械能 守恒。设物体在守恒。设物体在 A 点的速度为点的速度为 ，地，地 面为势能零点，面为势能零点，有有 v v A点处，物体的运动方程为点处，物体的运动方程为 R mmg 2 v 解以上二方程得解以上二方程得 R mg k16 设滑块落到地面时距设滑块落到地面时距B点的距离为点的距离为S，有，有 Rgt2 2 1 2 解得：解得： RS2 tSv R R R A BS 本章小结本章小结 主要公式主要公式： 功功 B A AB sFW d 动能定理动能定理 k EmmW 2 1 2 2 2 1 2 1 vv 外外 势能势

31、能 r mm GEkxEmghE ppp 21 0 2 2 1 引引弹弹重重 p EW 保保 k EWW 内内外外 （单质点）（单质点） （质点系）（质点系） 机械能守恒定律机械能守恒定律 21 EE 只有保守力作功时，只有保守力作功时， 基本要求：基本要求：掌握功的概念，能计算直线运动情况下掌握功的概念，能计算直线运动情况下 变力的功。理解保守力作功的特点及势能变力的功。理解保守力作功的特点及势能 的概念，会计算重力势能、弹性势能和引的概念，会计算重力势能、弹性势能和引 力势能。力势能。 掌握质点的动能定理，掌握机械能守恒掌握质点的动能定理，掌握机械能守恒 定律，掌握运用守恒定律分析问题的思

32、想定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想 和方法，能分析简单系统在平面内运动的和方法，能分析简单系统在平面内运动的 力学问题。力学问题。 功能原理功能原理)()( 1122pkpk EEEEEWW 非保内非保内外外 复复 习习 势能势能 r mm GEkxEmghE ppp 212 0 2 1 万万弹弹重重 p EW 保保 EWW 非保内非保内外外 功能原理功能原理 W1083. 3 W 3600 100060 ) 3600 100060 (8 . 13000 . 11500 4 2 P 1 m 2 m A r 引引 F A B B r 例例11.质量为质量为M的很短的试管，用长度为的很短的试管，用长度为L、质量可忽略的、质量可忽略的 硬直杆悬挂如图，试管内盛有乙醚液滴，管口用质量为硬直杆悬挂如