第13章 结构弹性稳定

1、第十三章第十三章 结构弹性稳定结构弹性稳定13-1 概述概述一一. .第一类稳定问题第一类稳定问题( (分支点失稳分支点失稳) )lEIEIP P22lEIPcr-临界荷载临界荷载crPP 稳定平衡稳定平衡crPP 随遇平衡随遇平衡crPP 不稳定平衡不稳定平衡qP PP P 不稳定平衡状态在任意不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳微小外界扰动下失去稳定性称为失稳定性称为失稳( (屈曲屈曲).).两种平衡状态两种平衡状态: :轴心受压和弯曲、压缩。轴心受压和弯曲、压缩。- - 第一类稳定问题第一类稳定问题完善体系完善体系二二. .第二类稳定问题第二类稳定问题( (极值点失稳极值点失稳) )

2、偏心受压偏心受压三三. .分析方法分析方法大挠度理论。大挠度理论。 第二类稳定问题第二类稳定问题P PP P有初曲率有初曲率小挠度理论。小挠度理论。静力法静力法能量法能量法四四 . .稳定自由度稳定自由度 在稳定计算中在稳定计算中, ,一个体系产生弹性变形时一个体系产生弹性变形时, ,确定其变形状态所需的确定其变形状态所需的独立几何参数的数目独立几何参数的数目, ,称为稳定自由度。称为稳定自由度。非完善体系非完善体系P PEI1 1个自由度个自由度P PP PEI2 2个自由度个自由度无限自由度无限自由度13-2. 用静力法确定临界荷载用静力法确定临界荷载一一. .一个自由度体系一个自由度体系

3、 0AM0sinPlk小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：kP PEIlk1 1抗转弹簧抗转弹簧A sink0)(Plk00 Plk-稳定方程（特征方程）稳定方程（特征方程）lkPcr/-临界荷载临界荷载二二. .N自由度体系自由度体系 0BM0)(121yyPlky（以（以2 2自由度体系为例）自由度体系为例）0)2()(plkPPklkl-稳定方程稳定方程02klPklPPkl-临界荷载临界荷载klAP PEIlk1y2y1ky2kyB 0AM02112Pylkylky0)(21PyyPkl0)2(21klyyPlk03222lkklPPklklklP382. 0618. 2253

4、klPcr382. 0618. 112yy-失稳形式失稳形式P P1 11.6181.618三三. .无限自由度体系无限自由度体系)()(xMxyEI 00sincos1001nlnlnl)(xlQpyMEIPn 2P PEIlxyxy挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为QP PMQ)()(xlQPyxyEI 或或)()(xlEIQyEIPxy 令令)()(22xlPQnynxy 通解为通解为)(sincos)(xlPQnxBnxAxy由边界条件由边界条件0)(, 0)0(, 0)0(lyyy得得0lPQA0PQBn0sincosnlBnlA稳定方程稳定方程0sincosnlnlnlnln

5、l tan00sincos1001nlnlnlP PEIlxyxyQP PMQ得得0lPQA0PQBn0sincosnlBnlA稳定方程稳定方程0sincosnlnlnlnlnl tannly22325nlnly)(nlnlytan)(经试算经试算493. 4nl485. 4tannlEInPcr222/19.20)493. 4(lEIEIl13-3. 具有弹性支座压杆的稳定具有弹性支座压杆的稳定lEIk3P PEIlEIkP Pk1 1练习练习: :简化成具有弹簧支座的压杆简化成具有弹簧支座的压杆P PEIlEIlEIP PEIlEIEAkP PlEIk6P PEIk33lEIk EIkP

6、PlAyyxkQP PMQ)()(xMxyEI )(xlQpyM挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为)()(xlQPyxyEI 0AMkQl EIPn 2令令)()(2xllEIkynxy 通解为通解为)(sincos)(xlPlknxBnxAxy边界条件边界条件0)(,)0(, 0)0(lyyy0PkA0) 1(PlkBn0sincosnlBnlA00sincos) 1/(0/01nlnlPlknPk稳定方程稳定方程2)(1tannllkEInlnl解方程可得解方程可得nl的最小正根的最小正根EInPcr2EIkP PlAyyxkQP PMQ00sincos) 1/(0/01nlnlPl

7、knPk稳定方程稳定方程2)(1tannllkEInlnl解方程可得解方程可得nl的最小正根的最小正根EInPcr2lEIEIP P22lEIPcrnl0k若若0tannl0sinnlk若若nlnl tan2/19.20lEIPcrP PEIllEIEIP P22lEIPcrnl0k若若0tannl0sinnlk若若nlnl tan2/19.20lEIPcrP PEIlEIkP PlEIlknlnltanP PEI33)(tanklnlEInlnl例例: :求图示刚的临界荷载求图示刚的临界荷载. .PlPII21IIlPPPP正对称失稳正对称失稳反对称失稳反对称失稳正对称失稳时正对称失稳时PP

8、kk1 1lEIlEIk/42/22)(1tannllkEInlnl4/)(12nlnl83. 3nl22/67.14lEIEInPcr例例: :求图示刚的临界荷载求图示刚的临界荷载. .PlPII21IIlPPPP正对称失稳正对称失稳反对称失稳反对称失稳反对称失稳时反对称失稳时PklEIlEIk/122/2312tanEIlknlnl45. 1nl22/67.14lEIEInPcrP0 0k1 122/10. 2lEIEInPcr原结构的临界荷载为原结构的临界荷载为: :2/10. 2lEIPcr13-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载一一. 势能原理势能原理2.2.外力势能外力势

9、能1.1.应变能应变能弯曲应变能弯曲应变能P P2/ PVeldxM021拉压应变能拉压应变能2/ PVeldxN021P PP P剪切应变能剪切应变能2/ PVeldxQ0211231P2P3P 外力从变形状态退回到无位移的外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功原始状态中所作的功. .iiePV*y(x)q(x)ledxxyxqV0*)()(3.3.结构势能结构势能*PePVVEEAlPPPViie2111*结构势能结构势能例例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数常数.45P P1 1llA45解解: :杆件轴力杆件轴力2/211PN 杆件伸

10、长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211*PePVVEEAlPEAlPEAlP22212121EAlPPPViie2111*结构势能结构势能45P P1 1llA45杆件轴力杆件轴力2/211PN杆件伸长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211*PePVVEEAlPEAlPEAlP222121214.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数. . PE,杆件伸长量杆

11、件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVe结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEAPE10)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(2111211EAlP2214.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数. . PE,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVe结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEA0)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(211

12、1211PE1EAlP221 在弹性结构的一切在弹性结构的一切可能位移可能位移中，真实位移中，真实位移使结构势能取驻值。使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移满足结构位移边界条件的位移 对于稳定平衡状态对于稳定平衡状态, ,真实位移使结真实位移使结构势能取极小值构势能取极小值. .二二. .能量法确定临界荷载能量法确定临界荷载例一例一: :求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. .P PEIlkyP P解解: :应变能应变能ykyVe21PPViie*外力势能外力势能2sin2cos2llllylyll2)(21)2(2222lPy22结构势能结构势能*PePVVE22ylPlk 0

13、ylPlkdydEPlkPcr由势能驻值原理由势能驻值原理得临界荷载得临界荷载例二例二: :求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. . 解解: : 应变能应变能22212121kykyVe2)(221222*lyylyPPViie外力势能外力势能结构势能结构势能*PePVVE2)(22121212222221lyylyPkykyklP PEIlk1yP P2y)2(2)(21222121yPklyPyyPkll02211yyEyyEEPPP01yEP02yEP0)(1211PyyPkllyEP0)2(1212yPklPylyEP02PklPPPkl03222lkklPPklklklP382

14、. 0618. 2253klPcr382. 0三三. .瑞利里兹法瑞利里兹法)(xyEIM P PEIlP PEIxyx)(xydsdxdsdxdy应变能应变能ledxEIxMV02)(21 ledxxyEIV02)(21dxydxdxds2)(1 1)(1(2/12ydx 1)(211 2ydxdxy2)(21dxydxdsll200)(21)(ledxyPPV02*)(2外力势能外力势能结构势能结构势能*PePVVE lldxyPdxyEI0202)(2)(21设设)()()()(2211xaxaxaxynn)(1xaiini将无限自由度化为有限自由度将无限自由度化为有限自由度. .结构势

15、能则为结构势能则为 的多的多元函数元函数, ,求其极值即可求出临界求其极值即可求出临界荷载荷载. .naaa,21lEIEIP P22lEIPcrlxaxysin)(例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. .xyx)(xy解解: :1.1.设设234024)(21alEIdxxyEIVle 2202*4)(2PaldxyPVle2234)44(aPllEIEP0)22(234aPllEIdadEP022234PllEI精确解精确解: :22lEIPcr212lEIPcr例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. .lEIEIP Pxyx)(xy解解: :)(4)(22x

16、lxlaxy2.2.设设精确解精确解: :22lEIPcr误差误差:+21.6:+21.6%3.3.设杆中作用集中荷载所引起的位设杆中作用集中荷载所引起的位 移作为失稳时的位移移作为失稳时的位移. .l/2l/2Q)(xy)20()1216()(32lxxxlEIQxy令令EIQla348)43()(33lxlxaxy210lEIPcr误差误差:+1.3:+1.3%EIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xy)(1xy设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和和)(2xy22221222)()(dxydxdxyddxxydEIMy 1 同时考虑弯矩和剪力对变

17、形的影响时同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时的挠曲微分方程的建立的挠曲微分方程的建立:二者共同影响产生的挠度为二者共同影响产生的挠度为)()()(21xyxyxy近似的曲率为近似的曲率为弯矩引起的曲率为弯矩引起的曲率为dxxdy)(2dxdMGAGAQdx2dyQQ截面形状系数截面形状系数矩形截面为矩形截面为1.2圆形截面为圆形截面为1.1122222)(dxMdGAdxxyd挠曲微分方程为挠曲微分方程为2222)(dxMdGAEIMdxxyd13-6 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响EIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xydx2dyQQ22222)(dxMdGAdxxyd挠曲

18、微分方程为挠曲微分方程为2222)(dxMdGAEIMdxxyd对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有yPMPyM ,2222)(dxydGAPEIPydxxyd0)1 ( yEIPGAPy令令)1 (2GAPEIPm0)()(2 xymxy方程的通解方程的通解mxBmxAxysincos)(边界条件边界条件0)(0)0(lyyEIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xydx2dyQQ对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有yPMPyM ,2222)(dxydGAPEIPydxxyd0)1 ( yEIPGAPy令令)1 (2GAPEIPm0)()(2

19、 xymxy方程的通解方程的通解mxBmxAxysincos)(边界条件边界条件0)(0)0(lyy0sinmlB0sinml稳定方程稳定方程lmml/,)1 (22GAPEIlPEIlGAEIlPcr22221kPEIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xydx2dyQQ0sinmlB0sinml稳定方程稳定方程lmml/,)1 (22GAPEIlPEIlGAEIlPcr22221kPEIlPk22不计剪变的欧拉临界力不计剪变的欧拉临界力EIlGA2211修正系数修正系数kPGA11kG11欧拉临界应力欧拉临界应力对于三号钢对于三号钢,比例极限为比例极限为200MPa.若取若取2 .

20、180GPa,GMPa,200k1003. 11结论结论:实体实体杆件中杆件中,剪力对临界荷剪力对临界荷 载的影响很小载的影响很小,可略去不计可略去不计.不计剪力对临界荷不计剪力对临界荷 载的影响载的影响所得到的临界荷载是大还是小所得到的临界荷载是大还是小?13-7 组合压杆的稳定组合压杆的稳定缀条式缀条式缀板式缀板式肢杆肢杆缀条缀条缀板缀板组合压杆的临界荷载比组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体截面和柔度相同的实体压杆的小压杆的小, ,节间数目较多节间数目较多时可用上节推出的实体压杆时可用上节推出的实体压杆的临界荷载计算公式作近似计算的临界荷载计算公式作近似计算. .kcrPPEIlPk22kPGA11dx2dyQQGAQGAdx2dyQQGAQGA一一. .缀条式组合压杆缀条式组合压杆1Q1QPPldbzd/tan11 11EAlN2111不计肢杆轴变不计肢杆轴变. .PA-水平缀条截面积水平缀条截面积. .qA-斜杆截面积斜杆截面积. .qPEAdEAbsin)cos1() 1(2211)tan/(db )cossin1tan1(2qPAAEd)cossin1tan1(12qPAAEPPldbz1Q1Q11dx2dyQQGAQGA)cossin1tan1(12qPAAEkcrPPEIlPk22kPGA11)cossin1tan1(112qPkkcrAAEPPPI 的计算