电磁场第零章

1、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍茨定理第0章 矢量分析下 页返 回Vector Analysis第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。任一个点都有一个确定的标量或矢量。0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场Scalar Field and Vector Field下 页上 页一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量只有大小，没有方向的物理量。如：温度如：温度 T T、

2、长度、长度 L L 、高度、电位等、高度、电位等标量标量表示为：表示为：, , )f x y z（)2() 1( 45),(222zyxzyx 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析所以：一个矢量表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以：一个矢量表示成矢量的模与单位矢量的乘积。矢量矢量表示为：表示为：|eAA2.2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。不仅有大小，而且有方向的物理量。如如: :力力 、速度、速度 、电场、电场 等等FEveeexxyyzzAAAAzyxxyzzxxyzyxeeeA222),(下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析矢量：矢量：模的计算模的计算

3、：222|xyzAAAA单位矢量单位矢量：eee|yxzxyzAAAAaAAAAzoyxAxAyAzAeeexxyyzzAAAA二、方向角与方向余弦二、方向角与方向余弦下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxzoyxAxAyAzAcosecosecos exyzeee|yxzxyzAAAAaAAAA下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析1. 1. 标量场的等值面标量场的等值面以温度场为例：以温度场为例：热源热源等温面等温面0.2 标量场的梯度标量场的梯度下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量

4、量 分分 析析constzyxh),( 其方程为:等高线标量场标量场-等值线等值线( (面面) )形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具-场线场线下 页上 页返 回可以看出可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。是互不相交的。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 设一个标量函数设一个标量函数 (x，y，z)，若函数，若函数 在点在点 P0 可微，则可微，则 在点在点P0 沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数为的方向导数为下 页上 页返 回lP0P000( )()limPPPPPl对距离的对距离的变化率变化率0lim coscoscoslxy

5、z一、标量场的梯度一、标量场的梯度第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析ecos ecos ecos elxyzeeexyzxyzg设设 式中式中 , , , , 分别是任一方向分别是任一方向 l 与与 x, , y, , z 轴的夹角轴的夹角|cos( )lggle则有：当 ， 最大0) , (lg el下 页上 页返 回coscoscoslxyz第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析xyzxyzn eee梯度梯度(gradient)哈密顿算子哈密顿算子)z,y,x(式中式中 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向. .梯度的大小为该点标量函数的最大变

6、化率，即梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最最大方向导数大方向导数；标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标的点函数；标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标的点函数；梯度的意义梯度的意义下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析在柱坐标系中：在柱坐标系中：在球坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：在直角坐标系中：xyzaaaxyz下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析

7、析例例 三维高度场的梯度三维高度场的梯度 三维高度场的梯度高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等与过该点的等高线垂直；高线垂直；数值等于该点位移的最大变数值等于该点位移的最大变化率；化率；指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例例 电位场的梯度电位场的梯度 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度与过该点的与过该点的等位线垂直；等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度下 页上

8、页返 回一、一、 矢线（场线）：矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。线。矢量线矢量线矢量场矢量场-矢量线矢量线lAd/第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析zAyAxAzyxddd三维场三维场二维场二维场yAxAyxdd矢量线矢量场矢量场-矢量线矢量线0dlA其方程为：其方程为：在直角坐标下：在直角坐标下：下 页上 页返 回lAd/dkAl第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析二、二、 通量通量 ( Flux )SE dS若若 S 为闭合曲面为闭合曲面

9、 SSE d下 页上 页返 回 矢量场的通量 n21EEEE若若 n1diSiSE 定义：如果在矢量场中取一曲面定义：如果在矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的通过该曲面的矢线量称为通量。矢线量称为通量。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 通量的概念来自流体的流量，根据通量的大小可通量的概念来自流体的流量，根据通量的大小可以判断闭合面中源的性质以判断闭合面中源的性质（物理意义）：（物理意义）： 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源) 矢量场通量的性质 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析结论：结论：a. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面

10、的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c. 如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量等于穿出的通量。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析三、三、 散度散度 ( Divergence ) 如果包围点如果包围点 P 的闭合面的闭合面 S 所围区域所围区域 V 以任意以任意方式缩小到点方式缩小到点 P 时：时：ASAdivdlimSV10V散度散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 页上 页返 回定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散

11、度。定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析散度的意义散度的意义 在矢量场中，若在矢量场中，若 A= = 0，称之为有源场，称之为有源场， 称称为为 ( 通量通量 ) 源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0 ，称之，称之为无源场。为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标的点函数；矢量的散度是一个标量，是空间坐标的点函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源）0 A (正源) A (负源) A通量的物理意义 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析柱坐标系中：柱坐标系中：1 ()1

12、rzFF rFFrrrz球坐标系中：球坐标系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR直角坐标系中：直角坐标系中：yxzFFFFxyz常用坐标系中，散度的计算公式常用坐标系中，散度的计算公式下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析四、四、 散度定理散度定理 ( Divergence Theorem )S10dlimSAAVV散度定理 通量密度通量密度 高斯公式高斯公式VSdV dASA 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。矢量函数的面积分与体积分的相互转换。VSdV dASA 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量场的环量与旋

13、度矢量场的环量与旋度一、一、 环量环量环量环量llAd 环量的计算下 页上 页返 回 在矢量场中，任意取一闭在矢量场中，任意取一闭合曲线合曲线 ，将矢量沿该曲线积，将矢量沿该曲线积分称之为环量。分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。可见：环量的大小与环面的方向有关。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管轴线方向流动，水流沿平行于水管轴线方向流动， = = 0，无涡，无涡旋运动。旋运动。流速场流体做涡旋运动，流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。，有产生涡旋的源。下 页上 页返 回 环量的概念来自于流体的漩涡，大小与闭合环量的概念来自于流体的漩涡，大小与闭合路径有关，它

14、表示绕环线旋转趋势的大小。路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析二、二、 旋度旋度1. 环量密度环量密度 过点过点 P 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为 L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点点 P 时，存在极限时，存在极限LSSSld1limdd0环量密度环量密度环量密度是单位面积上的环量。环量密度是单位面积上的环量。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. . 旋度旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最

15、大值；其方向为最大环量密度的方向。其方向为最大环量密度的方向。AArot 旋度旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeAn) (ddeA Sne S 的法线方向它与环量密度的关系为它与环量密度的关系为在直角坐标系下:下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3、旋度的物理意义、旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标的点函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标的点函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若在矢量场中，若 A= =J 0 称之为称之为旋度场（或旋度场（

16、或涡旋场），涡旋场），J 称为称为旋度源（或涡旋源）。旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处若矢量场处处 A= = 0 ，称之为无，称之为无旋场。旋场。下 页上 页返 回yyxxzzxyzAAAAAAaaayzzxxyA第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4、斯托克斯定理、斯托克斯定理矢量函数的线积分与面积分的相互转化。矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 斯托克斯定理nd()dS AeSAeAd)(d)(dnSSA)lAd(dSlStockes定理下 页上 页 在电磁场理论中，在电磁场理论中，Gauss 定理定理和和 Stockes 定理定理是是两个非常重要的公式。两个非常重要的公式。返 回第第

17、 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例例 试判断下列各图中矢量场的性质。试判断下列各图中矢量场的性质。FF00FF00FF00下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边边界条件界条件唯一地确定。唯一地确定。已知：已知：矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量 A 唯一地确定）唯一地确定）电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J 场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电磁场被唯一确定电磁场被唯一确定下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析重要的场论公式重要的场论公式(1)()0 1. 1. 两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何标量场梯度的旋度恒为零。 (2)()0F 任何矢量场的旋度的散度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。 下 页上