矩阵理论第二章矩阵的标准型

1、G G E ME M2 矩阵的标准型矩阵的标准型1目录目录n2.1 一元多项式一元多项式n2.2 因式分解定理因式分解定理n2.3 矩阵化简矩阵化简n2.4 l l 阵的标准形阵的标准形 n2.5 矩阵相似的条件矩阵相似的条件n 2.6 矩阵的若当标准形矩阵的若当标准形n 2.7 矩阵的最小多项式矩阵的最小多项式 G G E ME M2.1 一元多项式一元多项式定义定义. .设设 n 是一个非负整数，表达式是一个非负整数，表达式 0111axaxaxannnn 2上的一元多项式，上的一元多项式，称为数域称为数域 FFaaan ,10，其中其中.0 称为零多项式称为零多项式特别地，特别地，)(|

2、 )(上的一元多项式上的一元多项式是数域是数域 FxfxfxF G G E ME M1110( )nnnnf xa xaxa xa 3则称则称 f(x)与与 g(x)相等相等，记作，记作 f(x)= g(x)。为首项系数，为首项系数，的首项，的首项，为为则称则称若若nnnnaxfxaa)(, 0 1110( )mmmmg xb xbxb xb 若其同次项的系数都相等，即若其同次项的系数都相等，即,0iiab i. 0).()(deg)(零多项式次数定义为或记作的次数，称为xfxfxfn定义定义. .)(, )(xFxgxf 设设G G E ME M4多项式加法多项式加法为了方便起见，设为了方便

3、起见，设0,1 mnbbmn1111100()()()()nnnnnnab xabxab xab ( )( )f xg x 0()niiiiab x deg( ( )( )maxdeg( ),deg ( )f xg xf xg xG G E ME M5运算规律运算规律:)()()()() 1 (xfxgxgxf 交换律：交换律：0)()(:)4( xfxf负元素负元素(3)( )0( )f xf x零零元元素素：)()()()()()( :)2(xhxgxfxhxgxf 结合律结合律G G E ME M6数乘多项式数乘多项式1110( )nnnnkf xka xkaxka xka 0niiik

4、a x 运算规律运算规律:)()()() 1 (xfxf l lll 结合律：结合律：)()(1:) 4(xfxf单位元？(3)( ( )( )( )( )分配律： f xg xf xg xllllll)()()()( :)2(xfxfxf l l l l 分配律分配律G G E ME M7( ) ( )f x g x多项式乘法多项式乘法111100100()()n mn mnmnmnma b xa babxa ba b xa b其中其中k 次项的系数是次项的系数是011110kkkkijij ka baba ba ba b m nkijk oij ka bx deg( ( ) ( )deg(

5、 )deg ( )f x g xf xg xG G E ME M8运算规律运算规律:)()()()() 1 (xfxgxgxf 交换律：交换律：)()(1:)5(xfxf 单单位位元元(4)( ) ( )( ) ( ), ( )0f x h xg x h xh x消消去去律律： 若若)()()()()()( :)2(xhxgxfxhxgxf 结合律结合律)()()()()()()(:)3(xhxfxgxfxhxgxf 分配律分配律)()(xgxf 则则G G E ME M)()()()(xrxgxqxf 90)()(deg)(deg xrxgxr或或其中其中定理定理2.1.1（带余除法）（带余

6、除法）设设 f(x)和和 g(x)是数域是数域 F 上的多项式上的多项式，并且并且q(x)和和 r(x)是唯一的，是唯一的， 带余除法带余除法且且 g(x) 0，则必存在多项式，则必存在多项式 q(x)和和 r(x) ，使得，使得若若r(x)=0，则称，则称 g(x)是是 f(x)的因式，的因式， f(x)是是 g(x)的倍式，的倍式， 也称也称 g(x)能整除能整除 f(x)，并记作，并记作 g(x)| | f(x)。G G E ME M10例例2.1.1设设 f(x)和和 g(x) 是有理数域是有理数域 F上的两个多项式上的两个多项式 432( )42659,f xxxxx2( )254g

7、 xxx求满足等式求满足等式 的多项式的多项式( ), ( )q xr x )()()()(xrxgxqxf G G E ME M112( )243q xxx( )33r xx 2432254 42659xxxxxx22x2348104xxx 9514823 xxxx4 xxx1620823 91162 xx3 )()()()(xrxgxqxf 121562 xx34 xG G E ME M122.2 因式分解定理因式分解定理若若h(x)既是既是 f(x)的因式，又是的因式，又是 g(x)的因式，的因式，则称则称h(x)为为 f(x)与与 g (x)的一个公因式。的一个公因式。 定义定义. .

8、 )()(, )(xFxhxgxf ，设设若若h(x)既是既是 f(x)的倍式，又是的倍式，又是 g(x)的倍式，的倍式，则称则称h(x)为为 f(x)与与 g (x)的一个公倍式。的一个公倍式。 G G E ME M的公因式；的公因式；与与是是)()()()1(xgxfxd的因式；的因式；的公因式都是的公因式都是与与)()()()2(xdxgxf则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x) 的一个最大公因式。的一个最大公因式。的公倍式；的公倍式；与与是是)()()()1(xgxfxd的倍式；的倍式；的公倍式都是的公倍式都是与与)()()()(xdxgxf2则称则称 d(x)为为 f(x)和

9、和 g(x) 的一个最小公倍式。的一个最小公倍式。，并且满足并且满足: :)(),(, )(xFxdxgxf 设设，并且满足并且满足: :)(),(, )(xFxdxgxf 设设G G E ME M14使得使得d(x)是是 f(x)和和 g(x)的一个最大公因式，的一个最大公因式，定理定理2.2.12.2.1,)(,)(, )(xFxdxFxgxf 则存在则存在设设),()()()()(xgxvxfxuxd 并且并且.)(),(xFxvxu 其中其中G G E ME M15不可约多项式不可约多项式定义定义. . 设设 ，若，若 在数域在数域F上只有平凡因式，上只有平凡因式，)(xFxp )(x

10、p则称则称 为域为域 F上的不可约多项式，上的不可约多项式，)(xp否则，称否则，称 为域为域F上的可约多项式。上的可约多项式。 )(xp注意：注意：(1) 一次多项式总是不可约多项式；一次多项式总是不可约多项式； (2) 多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。 例如，例如，22(2 )(2 )xxixi G G E ME M16因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 定理定理. 数域数域F上任一个次数不小于上任一个次数不小于1的多项式的多项式 f(x)都可以都可以唯一地分解成数域唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。上有限个不可约多项式的乘积。

11、 其唯一性是指，若有两个分解式其唯一性是指，若有两个分解式 12( )( )( )( )sf xpx pxpx 12( )( )( )tqx qxq x 则则 s = t , 并且经过对因式的适当排序后有并且经过对因式的适当排序后有 ( )( ),1, 2,iiip xc q xis其中其中 为非零常数。为非零常数。 ,1, 2,icis G G E ME M17称为标准分解式。称为标准分解式。 1212( )( )( )( )srrrsf xapx pxpx 分解式分解式其中其中a 是是 f(x)的首项系数，的首项系数， 是首项系数为的是首项系数为的( )ip x不可约多项式，而不可约多项式

12、，而 是正整数是正整数ir(1, 2, )is G G E ME M18复系数多项式的因式分解定理：复系数多项式的因式分解定理： 因式分解定理因式分解定理 次数次数不小于不小于1的复系数多项式在复数域上的复系数多项式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘积。可唯一地分解成一次因式的乘积。 标准分解式为标准分解式为 1212( )() ()()snnnnkf xaxrxrxr 复系数多项式复系数多项式110( )nnnnf xa xaxa 的的其中其中 是正整数，且是正整数，且 in12snnnn G G E ME M19实系数多项式的因式分解定理：实系数多项式的因式分解定理： 次数次数不小于不小

13、于1的实系数多项式在实数域上的实系数多项式在实数域上可唯一地分解成一次因式可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式和二次不可约因式的乘积。的乘积。 标准分解式为标准分解式为 1122111( )()() ()()stnmnmnsttf xaxrxrxp xqxp xq 实系数多项式实系数多项式110( )nnnnf xa xaxa 的的其中其中 和和 是正整数，且是正整数，且 in1122stnnmmn imG G E ME M的标准分解式。的标准分解式。例例 求求 8481224)(234567 xxxxxxxxf在实数域上在实数域上的标准分解式的标准分解式: 在复数域上在复数域上的标准分解式

14、的标准分解式: 222)22()1)(2()( xxxxxf222)1()1()1)(2()(ixixxxxf G G E ME M212.3 矩阵化简矩阵化简文件在计算机中存储方式：文件在计算机中存储方式：二进制代码二进制代码特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）黑白：黑白：0-1矩阵，如分辨率为矩阵，如分辨率为1024*980的一的一张黑白照片，占用空间为张黑白照片，占用空间为1024*980*1/8= 122.5kb 。 彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色分级为分级为0-255，一个像素占

15、用，一个像素占用1*3个字节，全个字节，全为为0表示黑色，全为表示黑色，全为255表示白色；表示白色；如分辨率为如分辨率为1024*980的一张彩色照片，占用的一张彩色照片，占用空间为空间为1024*980*8*3/8= 2940 kb。 问题：问题：存储空间有限，文件如何化简？存储空间有限，文件如何化简？G G E ME M22将存储空间的将存储空间的0-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简看成一个矩阵，进行矩阵的化简矩阵化简的种类：矩阵化简的种类：矩阵合同矩阵合同：对：对n阶方阵阶方阵A和和B，如果存在可逆矩，如果存在可逆矩阵阵C满足满足B=CTAC，就称矩阵，就称矩阵A和和B 合同。合同。矩阵

16、等价矩阵等价：对矩阵：对矩阵A和和B，如果矩阵，如果矩阵B可以经可以经过一系列初等变换化为过一系列初等变换化为A，就称矩阵，就称矩阵A和和B 合等价合等价 。 矩阵相似矩阵相似： n阶方阵阶方阵A和和B，如果存在可逆，如果存在可逆矩阵矩阵C满足满足B=C-1AC，就称矩阵，就称矩阵A和和B相似。相似。 G G E ME M矩阵的相似是利用最多的一种方式矩阵的相似是利用最多的一种方式一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n（原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。（原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如不是所有的矩阵相似于对角矩阵，

17、如1101A问题：问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简不能相似于对角矩阵的方阵相似最简单情况是什么？单情况是什么？G G E ME M242.4 l l 阵的标准形阵的标准形 定义定义. 元素是元素是 l l 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为l l 矩阵，记作矩阵，记作A(l l )例如例如 232211121)(l ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll lA 01100001101010112110101000001000000023l ll ll lG G E ME M定义定义. 设设l l 矩阵矩阵 A(l l), B(l l) 满足满足称称 A(l l )为

18、可逆的为可逆的l l 矩阵，且矩阵，且B(l l )为为A(l l )的逆。的逆。EABBA )()()()(l ll ll ll l为非零常数。为非零常数。| )(|l lA显然，显然， A(l l )可逆可逆说明：说明： l l 矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系（向下兼容性）。（向下兼容性）。G G E ME M26定义定义. l l 矩阵的初等变换矩阵的初等变换)(,)()2(kckrkiii 记记作作乘乘以以非非零零数数列列行行第第,)()()()3(倍倍的的列列行行加加上上第第列列行行第第l lkji)()(,)1(jijiccrrji记记作作，列

19、列两两行行对对调调)()(jijickcrkrl ll l 记作记作的多项式。的多项式。为为其中其中l ll l)(kG G E ME M27定义定义: : 若若l l 矩阵矩阵 A(l l) 经过若干次初等变经过若干次初等变换变为换变为B(l l)，l l 矩阵的等价矩阵的等价)()(l ll lBA则称则称 A(l l)与与B(l l) 等价等价，记作，记作 211221121)(l ll ll ll lA)(110100012l ll ll ll ll ll lB G G E ME M28引理：设引理：设 为为 n 阶阶l l 矩阵矩阵， ， )()(l ll lijaA 0)(11 l

20、 la若若A(l l)中存在一个元素不能被中存在一个元素不能被 整除，整除，)(11l la则必存在与则必存在与A(l l)等价的矩阵等价的矩阵 ,)()(l ll lijbB 0)(11 l lb满足满足)(deg)(deg1111l ll lab 并且并且“A(l l)可经过若干次初等变换变成一个可经过若干次初等变换变成一个l l 矩阵，其矩阵，其(1,1)(1,1)元素是其余所有元素的公因式。元素是其余所有元素的公因式。”G G E ME M29情形情形1 1： 不能被不能被 整除，整除，11a1ia,111rqaai )deg()deg(11ar 111)(iaaAl l raqrri

21、111 111arirr情形情形2 2： 不能被不能被 整除，整除，11aja1,111rqaaj )deg()deg(11ar 证明过程与情形证明过程与情形1 类似类似G G E ME M30,111qaai 能被能被 整除，整除，11ajiaa11和和情形情形3 3：但但 不能被不能被 整除，整除，11aija ijijaaaaA1111)(l l jijjqrrqaaaai111101 jijijjrrqaaaaqai11110)1(1此时已化成情形此时已化成情形2 2G G E ME M31定理：设定理：设 A(l l) 为为 mn 阶阶l l 矩阵矩阵，则则A(l l)等价于分块等价

22、于分块 对角阵对角阵 OOODFA)()()(l ll ll l )()()()(21l ll ll ll lrdddD称为称为 A(l l) 等价标准形，等价标准形，其中其中并且并且 首项系数为首项系数为 1，riddii, 1),(| )(1 l ll l)(l lidl l 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形G G E ME M例：例： 求求l l 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形32 232211121)(l ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll lAG G E ME M33 0110121)(222321l ll ll ll ll ll ll ll lrrrrA

23、000012122321312l ll ll ll ll ll ll ll ll lrrrrG G E ME M34 )1(00000012323)1(l ll ll ll lccrr 0000012)12(32122l ll ll ll ll ll ll lrrccG G E ME Ml l 矩阵的秩矩阵的秩定义：定义：l l 矩阵矩阵A(l l)的不恒为零的子式的最高阶数的不恒为零的子式的最高阶数显然，显然，等价的等价的 l l 矩阵矩阵有相同的秩有相同的秩。称为称为A(l l)的秩。的秩。事实上，事实上，l l 矩阵的初等变换不会改变矩阵的初等变换不会改变其其子式子式恒为零与否恒为零与否

24、的状态，也就的状态，也就不会改变其不会改变其不恒为零子式不恒为零子式最高阶数最高阶数。例如，例如，A 为为 n 阶数字方阵，则阶数字方阵，则|AE l l不恒为零，故不恒为零，故AE l l的秩为的秩为 n 。G G E ME M行列式因子行列式因子定义：定义：l l 矩阵矩阵A(l l)的所有的所有 k 阶子式的最大公因式阶子式的最大公因式定理：定理：等价的等价的 l l 矩阵矩阵有相同的各阶有相同的各阶行列式因子行列式因子。事实上，事实上，初等变换不会改变初等变换不会改变 A(l l)各阶各阶子式子式的最大公因式的最大公因式也就也就不会改变其各不会改变其各阶行列式因子阶行列式因子。称为称为

25、A(l l)的的 k 阶阶行列式因子行列式因子，记作，记作。)(lkD性质：性质：1( )|( )1,2,.,.kkDDkrll（）G G E ME M37求求A(l l)的的各各阶阶行列式因子方法：行列式因子方法： OOODA)()(l ll l )()()()(21l ll ll ll lrdddD依依行列式因子的定义：行列式因子的定义：，)()(11lldD， )()()(212lllddD。)()()(1lllrrddDG G E ME M例：例： 求求l l 矩阵的各阶行列式因子。矩阵的各阶行列式因子。232211121)(lllllllllllAG G E ME M ) 1(000

26、0001)(llllA。，所以：) 1()(D)(D1)(D2321llllllG G E ME M例：例： 求求l l 矩阵的各阶行列式因子。矩阵的各阶行列式因子。2221122011)(lllllAG G E ME M22121642642310( )202( )1,( )|( )( )=1( ) =-+4+2( )=-+4+2ADDDDADllllllll lllll lll左上角二阶子式所以再由，故G G E ME M42不变因子不变因子定义：设定义：设 为为l l 矩阵矩阵 A(l l)的的k 阶阶行列式因子，行列式因子，定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的各有相同的各

27、阶阶不变因子不变因子。称为称为A(l l)的的 k 阶阶不变因子。不变因子。)(l lkD1)(,)()()(01 l ll ll ll lDDDdkkkG G E ME M43定理：定理：l l 矩阵矩阵的等价标准形是唯一的。的等价标准形是唯一的。注意到，注意到，A(l l)的的等价标准形中等价标准形中D(l l)的对角元是的对角元是A(l l)的的各各阶不变因子。阶不变因子。G G E ME M例：例：) 1(000000111121)(2322llllllllllllllA。，不变因子为所以) 1(1)(llllAG G E ME M45定义：设定义：设 A(l l)的的 各阶各阶不变因

28、子在复数域的标准分解式不变因子在复数域的标准分解式初等因子初等因子rsrrsslsllrlslllsllaaadaaadaaad)()()()()()()()()()()()( l ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l21222211121121212211称指数称指数 为为A(l l)的初等的初等因子。因子。ijliijal)(0 l l的因式的因式G G E ME M初等因子定义等价论述：设初等因子定义等价论述：设 A(l l)的每一个次数大于零的的每一个次数大于零的不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积，所有这不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积，所

29、有这些一次因式的方幂（相同的必须按照出现的次数计算）些一次因式的方幂（相同的必须按照出现的次数计算）称为矩阵称为矩阵A(l l)初等因子。初等因子。定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的初等有相同的初等因子因子。G G E ME M222221,1,1,(1), (1) (1),(1) (1)(1)llllllllllll 9个个 则其初等因子有则其初等因子有7个，它们是个，它们是222(1) , (1) , (1) , (1), (1),llllllllll22() , ()iillllA例：如果矩阵 的不变因子是l l G G E ME M48例例2 设设求矩阵求矩阵 l lE

30、- -A 的的行列式因子行列式因子, 不变因子不变因子, 和和初等因子初等因子。110241003A G G E ME M110241003EAl llllll l 12110421003ccl ll ll l 2121(4)2(1)1000561003rrccl ll llllll l 解：解：)(l lA G G E ME M2321000156030cclllll l 32(3)210001000(2)(3)rrl lllll 2321)3)(2()(, 1)(, 1)(lllllddd不变因子为)(l lA2321)3)(2()(D, 1)(D, 1)(Dlllll行列式因子为2)3(

31、 2ll，初等因子为G G E ME M2.5 矩矩阵相似的条件阵相似的条件 定理：数字定理：数字方阵方阵 A 相似于相似于 B 的充分必要条件是的充分必要条件是 l lE A 等价于等价于 l lE BPAEPAPPEBEBAPP)(111 l ll ll lBEPAQPQBEQAEP l ll ll ll l)(BPAQEPQ ,BPAPQP 11,G G E ME M定理定理: 方阵方阵 A 相似于相似于 B 的充分必要条件是的充分必要条件是 l lE A与与l lE B有相同的有相同的: 1. 行列式因子组行列式因子组, 2. 不变因子不变因子组组, 3. 初等因子初等因子组组.G G

32、 E ME MAAE l l的行列式因子的行列式因子A的不变因子的不变因子A的初等因子的初等因子A定义定义: 数字矩阵，数字矩阵的数字矩阵，数字矩阵的行列式因子、行列式因子、 不变因子、初等因子。不变因子、初等因子。G G E ME M引理：引理：设设 2 2 阶阶l l 矩阵矩阵 )()()()(l ll ll ll l2010100gagaAnm )()()()(l ll ll ll l2010200gagaAmn其中其中210,),(| igail ll l则则1A与与2A等价。等价。G G E ME M)(),()(l ll ll l21ggd 则则1A与与2A的行列式因子的行列式因子

33、)()()(l ll ll ldaDm01 )()()()(l ll ll ll l2102ggaDnm 证明：证明：设设nm 且且)(),(l ll l21gg的最大公因式是的最大公因式是G G E ME M56定理定理 设设 A(l l)为分块对角阵为分块对角阵 12( )( )( )( )sAAAAl ll ll ll l 则每个子块则每个子块 的初等因子都是的初等因子都是 A(l l) 的的初等因子，并且初等因子，并且 A(l l) 的每个初等因子必的每个初等因子必是某个子块是某个子块 的初等因子。的初等因子。( )iAl l( )iAl lG G E ME M)()()(1lllrf

34、fA)()(1llrddG G E ME M定理在应用中把问题变得比较简单，例如定理在应用中把问题变得比较简单，例如，4000030000200001A。)4-)(3-)(2-)(1-(0000100001000014-00003-00002-00001-ElllllllllAG G E ME M59例例2 设设求矩阵求矩阵 l lE- -A （也就是矩阵（也就是矩阵A A）的）的行列式行列式因子因子, 不变因子不变因子, 和和初等因子初等因子。110241003A G G E ME M110241003EAl llllll l 12110421003ccl ll ll l 2121(4)2(

35、1)1000561003rrccl ll llllll l 解：解：)(l lA G G E ME M2321000156030cclllll l 32(3)210001000(2)(3)rrl lllll )(l lA2321)3)(2()(, 1)(, 1)(lllllddd不变因子为2321)3)(2()(D, 1)(D, 1)(Dlllll行列式因子为2)3( 2ll，初等因子为G G E ME M62求矩阵求矩阵 l lE- -A 的的行列式因子，不变因子和行列式因子，不变因子和初等因子初等因子。 211121221A例例3 3 设设G G E ME M 211121221l ll

36、ll ll lAE 110100012l ll ll ll ll l 211221121l ll ll l 2)1(00010001l ll lG G E ME Ml lE- -A 的的行列式因子：行列式因子：2)1(, 1 l ll ll lE- -A 的的初等因子初等因子: :l lE- -A 的的不变因子：不变因子：2321)1()(, 1)(, 1)( l ll ll ll ll lddd3321)1()(, 1)(, 1)( l ll ll ll ll lDDD( 简称简称: A 的的初等因子初等因子 ) )( 简称简称: A 的的不变因子不变因子 )( 简称简称: A 的的行列式因

37、子行列式因子 )G G E ME M结论结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量（可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量（？）.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.G G E ME M2.6 矩矩阵的若当标准形阵的若当标准形 Jordan 块块: 形如形如11iiiiinJl ll l

38、l l 的的 ni 阶矩阵称为阶矩阵称为 ni 阶阶Jordan 块（若当块完块（若当块完全由两个因素决定，一是阶数，二是对角线全由两个因素决定，一是阶数，二是对角线元素）。元素）。G G E ME MJordan 块的等价形式块的等价形式: 11iiiiinJl ll ll l ,iiiiinaJal ll ll l (0)iiiiinaJaal ll ll lG G E ME M的初等因子的初等因子:iJ()inil ll l iEJl l 11iiiinllllllllllll 11( )1,( )1,( )iiinnniDDDllllllllll 11( )1,( )1,( )iiinnnidddllllllllll G G E ME M12sJJJJ 分块对角阵分块对角阵称为称为 A 的的Jordan标准形标准形. .1212() , () ,()snnnsl ll ll ll ll ll l J 的初等因子的初等因子:G G E ME M定理：设矩阵定理：设矩阵 A 的的初等因子是：初等因子是：12sJJJJ 则存在则存在 Jordan标准形标准形1212() , () ,()snnnsl ll ll ll ll ll l 使得使得1