数列递推公式(上课用)

1、2.1.2 数列的递推公式数列的递推公式数列是一种特殊的函数，故其表示方法有： 。 复习: na11211(2)nnaana例1、已知数列满足，能写出这个数列的前5项吗？提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？图表法图表法、 图象法图象法、 通项公式法通项公式法、数列递推公式的概念：数列递推公式的概念： na由此数列的表示法： 。 如果已知数列如果已知数列的 ，且从第二项且从第二项与它的前一项以用 来表示，间的关系可数列的递推公式.那么这个公式就 叫做这个第一项或前几项第一

2、项或前几项na（或前几项）1na（或某一项）（或某一项）开始任一项开始任一项一个公式一个公式图表法图表法、 图象法图象法、 通项公式法通项公式法、 递推公式法。递推公式法。递推公式也是给出数列的一种方法。递推公式也是给出数列的一种方法。 a1=a， an=f(an1)，(n=2，3，4，)例例2已知数列已知数列an的第的第1项是项是2，以后各项由公，以后各项由公式式 给出，写出这个数列的前给出，写出这个数列的前5项项.并归纳出通项公式并归纳出通项公式111nnnaaa解：解：a1=2， 22212a 3221 ( 2)3a 4223251 ()3a 5225271 ()5a 322nan例例3

3、. 根据下列各个数列根据下列各个数列an的首项及其递推公的首项及其递推公式，写出数列的前式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：项，并归纳出通项公式： （1）a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+； （2）a1=1， , nN+；122nnnaaa解：（解：（1）因为）因为a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；所以，所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ， 归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是an=(n1)2 。（2）a1=1， , nN+；122nnnaaa解解:1212223aaa2322122aaa3432225aaa4542123aaa归纳出它的通

4、项公式是归纳出它的通项公式是21nan例例4. 已知直线已知直线l：y=x与曲线与曲线c： （如图所（如图所示），过曲线示），过曲线c上横坐标为上横坐标为1的一点的一点P1作作x轴的平行轴的平行线交线交l于于Q2，过，过Q2作作x轴的垂线交曲线轴的垂线交曲线c于于P2，再过，再过P2作作x轴的平行线交轴的平行线交l于于Q3，过，过Q3作作x轴的垂线交曲轴的垂线交曲线线c于于P3，设点，设点P1，P2，Pn，的纵坐的纵坐标分别为标分别为a1，a2，an，试求数列，试求数列an的递的递推公式。推公式。1( )2xy nana)21(1解：由题意，点解：由题意，点P1的横坐标为的横坐标为1，纵坐标为

5、，纵坐标为a1= ，21 点点Qn+1与与Pn的纵坐标相同，都是的纵坐标相同，都是an，同时点同时点Pn+1与与Qn+1的横坐标相等，的横坐标相等， 点点Pn+1在曲线在曲线c： 上，上， 1( )2xy 由横坐标得它的纵坐标为由横坐标得它的纵坐标为 1( )2na即即11( )2nana这就是数列这就是数列an的递推公式。的递推公式。阅读阅读30页页教材小兔子教材小兔子1，1, 2, 3, 5, 8, 13, 21，,12nnnaaa斐波那契数列斐波那契数列例5：已知数列 满足：a1=5,an=an1+3（n2）（1）写出这个数列 的前五项为 。（2）这个数列 的通项公式是 。 na na

6、nannaaann11, 111例5：已知数列 满足 na求这个数列的通项公式累差叠加法累差叠加法)()()2(11nfaanfaannnnn或者) 1(1, 111nnaaann例6：已知数列 满足 na求这个数列的通项公式23 nannannnan12 例7、已知数列 满足：a1=2,an=2an1（n2）（1）写出数列 的前五项为 。（2）这个数列 的通项公式是 。 na na na例例8、已知数列、已知数列 na na满足满足 求求的通项公式。的通项公式。 nnanaa)11 (, 211累商叠乘法累商叠乘法)()()2(11nfaanfaannnnn或者例例9. 数列数列an中，中，

7、a1=1，对于所有的，对于所有的n2且且nN+，都有，都有 （1）求）求a3+a5； （2） 是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？212na aan256225解法解法1：（：（1）因为）因为212na aan2121(1)na aan2122121(1)nnna aanaa aan所以，两式相除得所以，两式相除得n2，nN+，下标代换法下标代换法所以所以39,4a 52516a 359256141616aa解法解法2：（：（1）因为）因为 ，212na aan所以所以124a a 解得解得a2=4，又又1239a a a 解得解得394a 同理可得同理可得416,9a 52516a 3592

8、56141616aa解：（解：（2）令）令 22256225(1)nn则则 16151nn解得解得n=16. 所以所以 是此数列中的一项。是此数列中的一项。256225（2） 是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？25622512126751120041 ,(1)2,5,_;( 1)4(2)1(2),_;711(3),1(2),_.2nnnnnnnnnaaaaaaaanaaaaanaa 在数列中且则且则则巩固练习：巩固练习：-34321a1nana1a1na22nnaa1a1nana补充练习补充练习1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：(1) 0, (2n1) (nN)；1, (nN)；3, 32 (nN).(2)(3)1a2a3a4a5ana2解：(