旋转面、柱面及锥面

1、上页 下页 结束 空间曲面和曲线的概念空间曲面和曲线的概念上页 下页 结束 上页 下页 结束 上页 下页 结束 旋转面、柱面和锥面旋转面、柱面和锥面 旋转面旋转面 柱面柱面 锥面锥面 上页 下页 结束 本节讨论本节讨论几种特殊曲面几种特殊曲面的方程的方程. 这些曲面的参这些曲面的参 数方程容易得到数方程容易得到, 目的是建立它们的一般方程目的是建立它们的一般方程. 建立几何图形的一般方程建立几何图形的一般方程, 先要先要找出图形上点找出图形上点 的几何特征的几何特征, 然后然后把它转化为坐标所要满足的把它转化为坐标所要满足的条件条件即可即可. 讨论中所采用的讨论中所采用的坐标系坐标系视视是否涉

2、及度量是否涉及度量而定而定. 具体地讲具体地讲, 旋转面旋转面必须在必须在直角坐标系直角坐标系中讨论中讨论, 而而 柱面和锥面柱面和锥面可以在可以在仿射坐标系仿射坐标系中讨论中讨论.旋转面、柱面和锥面旋转面、柱面和锥面 上页 下页 结束 旋转面旋转面 定义与几何特征定义与几何特征 定义定义 由空间的由空间的一条曲线一条曲线 绕某一直线绕某一直线 l 旋旋 转转而得到的曲面称为而得到的曲面称为旋转面旋转面. l 称为它的称为它的轴线轴线, 为它的为它的母线母线. 由由母线上的每一点旋转而得的圆母线上的每一点旋转而得的圆称为称为纬圆纬圆, 它它 是是以以 l 为轴的圆为轴的圆, 但如果此点是母线与

3、轴线的交但如果此点是母线与轴线的交 点时点时, 就就退化退化为一点为一点. 例如例如, 地球的表面地球的表面是一个是一个旋转面旋转面, 连结南北极连结南北极 的直线的直线是是轴线轴线, 任何一条经线任何一条经线都可作为都可作为母线母线, 其其纬圆纬圆是是地理学中的纬线地理学中的纬线或退化为或退化为北极北极和和南极南极. 上页 下页 结束 又如又如, 以以一个圆一个圆为为母线母线, 一条与它共面且相离的一条与它共面且相离的 直线直线为为轴线轴线的旋转面是的旋转面是环面环面. 旋转面旋转面上页 下页 结束 球面球面是是旋转面旋转面, 每条直径每条直径所在的直线都可作为所在的直线都可作为 轴线轴线.

4、 平面平面也可看作也可看作旋转面旋转面, 它是它是一条直线绕与它垂一条直线绕与它垂 直的轴线旋转直的轴线旋转的结果的结果, 并且并且任何一条法线任何一条法线都可都可 作为作为轴线轴线. 旋转面旋转面上页 下页 结束 注注: 除了除了球面和平面球面和平面等特殊情形等特殊情形, 一般的旋转一般的旋转 面的轴线是唯一的面的轴线是唯一的, 但是但是母线则很多母线则很多, 旋转面上旋转面上每一条和每个纬圆都相交的曲线每一条和每个纬圆都相交的曲线都可作为都可作为母线母线.特别地特别地, 以轴线为界的半平面与旋转面的交线以轴线为界的半平面与旋转面的交线是是母线母线, 把它们称为旋转面的把它们称为旋转面的经线

5、经线或或子午线子午线.下面建立下面建立以以 l 为轴为轴, 为母线为母线的的旋转面旋转面 S 的方程的方程. 先分析先分析 S 上点的几何特征上点的几何特征. 设直线设直线 l 过点过点M0, 平平 行于向量行于向量 u . 旋转面旋转面上页 下页 结束 l 上存在一点上存在一点M , 使得它的使得它的 纬圆经过纬圆经过 M, 即即S M M M0 MM 与与 l 垂直垂直 M 与与 M 到到 l 的距离相等的距离相等 点点M在在S上上 M 绕轴线旋转而得绕轴线旋转而得的圆和的圆和 有交点有交点. M , M M u0 = 0, |M0M | = |M0M| . 而而 M 与与 M 到到 l

6、的距离相等的距离相等 |M0M | = |M0M| . 于是于是 M S 旋转面旋转面上页 下页 结束 方程方程上页 下页 结束 上页 下页 结束 求直线求直线 绕直线绕直线旋转一周所得旋转曲面的方程。旋转一周所得旋转曲面的方程。 100zyx10102zyx例例上页 下页 结束 下面特殊下面特殊的旋转曲的旋转曲面面上页 下页 结束 曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴上页 下页 结束 曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕z轴轴.上页 下页 结束 曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy

7、 |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S上页 下页 结束 曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S上页 下页 结束 xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离|122yyxd 建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图

8、将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程上页 下页 结束 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf上页 下页 结束 结论（规律）：结论（规律）： 当坐标面上的曲线当坐标面上的曲线绕此坐标面上的一个坐绕此坐标面上的一个坐标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将在在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：保留与旋转轴同名的坐标，而以其

9、他两个保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面xyzxyzx zbyax 双曲线双曲线0y2 2 绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周2 2 x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线2 2 .绕绕 x 轴一周轴一周axyo3 3 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线

10、上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 3 3 a.xyoz 得单叶旋转双曲面得单叶旋转双曲面122222 byazx.3 3 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax4 4 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz4 4 旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.4 4 旋转锥面旋

11、转锥面yoz 02 xazy5 5 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周5 5 yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.5 5 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面6yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yx

12、o)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆上页 下页 结束 以直线为母线的旋转面以直线为母线的旋转面 母线和轴线母线和轴线共面共面时时 圆柱面圆柱面 (母线和轴线母线和轴线平行平行) 圆锥面圆锥面 (母线和轴线母线和轴线相交相交 而不垂直而不垂直) 平面平面 (母线和轴线母线和轴线正交正交) 下面讨论母线和轴线下面讨论母线和轴线异面异面时的情形时的情形, 假定直母线假定直母线 与轴线与轴线不垂直不垂直. 旋转面旋转面上页 下页 结束 取直角坐标系取直角坐标系, 使得使得 z 轴为轴线轴为轴线, 原点原点在在母线母线 l 与轴线的公垂线与轴线的公

13、垂线上上, x 轴轴就是就是公垂线公垂线, 并且并且 l 在其在其 正向正向. 此时此时 l 在平面在平面 x = d 上上 (d 为为 l 与与 z 轴的距离轴的距离). 设其一般方程为设其一般方程为 kyzdx其中其中 k 0 (否则否则 l 与与 z 轴垂直轴垂直). l z O x y 旋转面旋转面上页 下页 结束 求旋转面求旋转面的方程为的方程为: . , , zkzd于是旋转面的方程为于是旋转面的方程为 ,22222kzdyx 即即 . 12222222 kdzdydx这是一个这是一个以以 z 轴为轴线轴为轴线的的旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面. 的点的点 M 的坐标的坐标为为对任意

14、一点对任意一点 M(x, y, z), l 上满足上满足M M 垂直于垂直于 z 轴轴 旋转面旋转面上页 下页 结束 反过来反过来, 一般的一个一般的一个旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面 . 1222222 bzayax是由直线是由直线 byazaxl :1或或 byazaxl :2绕绕 z 轴旋转得到的旋转面轴旋转得到的旋转面. zxy注注: 旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面是是由许多直线构成由许多直线构成的的, 这种这种直线直线称为它的称为它的直母线直母线, 每一条直母线都是由每一条直母线都是由 l1 或或 l2 旋转一个角度旋转一个角度得到的得到的, 因此有因此有两组两组直母线直母线.旋转面旋转

15、面上页 下页 结束 由由直线直线绕与绕与它平行的轴线它平行的轴线旋转所得的旋转面旋转所得的旋转面 称为称为圆柱面圆柱面. 母线与轴线的距离母线与轴线的距离称为它的称为它的半径半径. 注注: (1) 圆柱面圆柱面由由轴线和半径轴线和半径所决定所决定, 是是到轴线的到轴线的 距离等于半径的点的轨迹距离等于半径的点的轨迹.(2) 这里这里定义的定义的圆柱面圆柱面是向两侧是向两侧无限伸展无限伸展的的, 不不 同于中学的同于中学的有限圆柱体的侧面有限圆柱体的侧面.圆柱面圆柱面上页 下页 结束 如果如果轴线轴线经过点经过点 M0, 平行于向量平行于向量 u, 半径半径为为 r, 则则 点点 M 在圆柱面上

16、在圆柱面上 ,0ruuMM 即即 |M0M u| = r|u|. (2.10) 上述称为上述称为圆柱面圆柱面的的向量式方程向量式方程. 如果已知如果已知轴线轴线过点过点M0, 平行于向量平行于向量 u, 并且并且 M1 在在 圆柱面上圆柱面上, 则则,10uuMMr (2.11) 代入代入(2.10), 得得 |M0M u| = |M0M1 u|. 圆柱面圆柱面上页 下页 结束 例例 已知圆柱面的已知圆柱面的轴线轴线的方程的方程 ,032012zxyx点点 M1(1, 2, 1) 在圆柱面上在圆柱面上, 求圆柱面方程求圆柱面方程. 解解: 平行于轴线的向量平行于轴线的向量 u = (2, 1,

17、 0) (2, 0, 1) = (1, 2, 2) . 轴线上一点轴线上一点 M0 (0, 1, 3). 根据根据(2.11)得得 (2y + 2z + 4)2 + ( 2x z 3)2 + (2x + y 1)2 = 65.整理得整理得 8x2 + 5y2 + 5z2 4xy + 4xz + 8yz + 16x + 14y + 22z 39 = 0. 圆柱面圆柱面上页 下页 结束 例例 经过曲线经过曲线 的圆柱面有几个的圆柱面有几个? 04422zyx写出它们的写出它们的方程方程. 解解: 易见易见圆柱面的轴线圆柱面的轴线过过椭圆中心椭圆中心M0 (0, 0, 0). 设其轴线平行于向量设其

18、轴线平行于向量 u = (l, m, n), 先确定先确定u的坐标的坐标.M1 (0, 1, 0), M2 (2, 0, 0), 易求得椭圆上三点易求得椭圆上三点),(02313 M因此它们在圆柱面上因此它们在圆柱面上, 从而从而|M0M1 u| = |M0M2 u| = |M0M3 u|. 圆柱面圆柱面上页 下页 结束 解得解得 代入坐标得到代入坐标得到,)()()()()()()( 222222222232322lmnnlnmnln. nlm30于是可取于是可取 或或 , ),(103 u ),(103 u 圆柱面圆柱面上页 下页 结束 即即 当当 时时, 根据根据 (2.11) 得得 )

19、,(103 u ),(103 u 当当 时时, 根据根据 (2.11) 得得 ,)()()(433222 yzxy. 043234222 xzzyx即即 ,)()()(433222 yzxy. 043234222 xzzyx 圆柱面圆柱面上页 下页 结束 练习练习: 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, 球面球面S 的的半径为半径为2, 球心球心坐标为坐标为(0, 1, 1). 求求S 的的平行于向量平行于向量u(1, 1, 1)的的外切圆柱面外切圆柱面的方程的方程.解解: 由题意知由题意知平行于轴线的向量平行于轴线的向量 u = (1, 1, 1). 轴线上一点轴线上一点可取为可取为球心球

20、心 (0, 1, 1). 圆柱面的半径圆柱面的半径即为球面半径即为球面半径 2. 于是根据于是根据(2.10)得得 (y z 2)2 + ( x + z + 1)2 + (x y + 1)2 = 12.整理得整理得 x2 + y2 + z2 xy xz yz 3y + 3z 3 = 0. 圆柱面圆柱面上页 下页 结束 定义定义 由由一族互相平行的直线一族互相平行的直线构成的曲面称为构成的曲面称为 柱面柱面. 这些直线为它的这些直线为它的直母线直母线. 柱面上的柱面上的一条曲一条曲 线线如果如果和每一条直母线都相交和每一条直母线都相交, 就称它为柱面的就称它为柱面的 一条一条准线准线.例如例如:

21、 圆柱面圆柱面是柱面是柱面, 它的它的直母线平行于轴线直母线平行于轴线. 平面平面是柱面是柱面, 其上其上每条直线都是直母线每条直线都是直母线. 柱面柱面 定义与几何特征定义与几何特征 母线母线准线准线上页 下页 结束 注注: (1) 一般一般柱面的直母线方向确定柱面的直母线方向确定, 称为称为柱面的方柱面的方 向向, 可用可用非零向量非零向量 u 规定规定, 称称柱面平行于柱面平行于 u. (2) 柱面由柱面由柱面的方向柱面的方向和它的一条和它的一条准线准线确定确定. 既既 可以看成可以看成准线沿着柱面的方向平行移动的轨迹准线沿着柱面的方向平行移动的轨迹, 也可看成也可看成直母线沿着准线平行

22、移动的轨迹直母线沿着准线平行移动的轨迹. 若柱面若柱面 S 平行于向量平行于向量 u, 有一条有一条准线准线 , 则则点点M 在在 S 上上 M 在某一条母线上在某一条母线上.柱面柱面上页 下页 结束 设在一个仿射坐标系中设在一个仿射坐标系中, 柱面方向为柱面方向为 u(k, m, n), 准线准线 的方程为的方程为 ,),(),( 00zyxzyxGF则点则点 M(x, y, z) S 存在实数存在实数 t, 使得使得 ,),(,),(00tnztmytkxtnztmytkxGF从其中一式从其中一式解出解出 t 代入另一式代入另一式, 即得即得 S 一般方程一般方程. (2.14) 方程的建

23、立方程的建立 柱面柱面上页 下页 结束 常用的情形是常用的情形是 为平面曲线为平面曲线, 并设并设F(x, y, z) = 0 是平面的一般方程是平面的一般方程Ax + By + Cz + D = 0, 则由则由 A(x + tk) + B(y + tm) + C(z + tn) + D = 0, 解得解得 ,CnBmAkDCzByAxt 代入代入 G(x + tk, y + tm, z + tn) = 0, 得到得到 S 的一般的一般 方程方程 柱面柱面上页 下页 结束 0 CnBmAkDCzByAxnzCnBmAkDCzByAxmyCnBmAkDCzByAxkx G,例例 在一个仿射坐标系

24、中在一个仿射坐标系中, 柱面平行于向量柱面平行于向量 u(1, 1, 1), 一条准线方程为一条准线方程为 ,zyxzyx60122求柱面的方程求柱面的方程. 柱面柱面上页 下页 结束 解解: )()()()()()(tztytxtztytx60122从从 的第一式得的第一式得 ,31zyxt 代入第二式代入第二式: 2223163131 zyxzzyxyzyxx整理得柱面的方程为整理得柱面的方程为 5x2 + 5y2 + 2z2 8xy 2xz 2yz + 20 x + 20y 40z 16 = 0. 柱面柱面上页 下页 结束 若给出准线若给出准线 的参数方程的参数方程: ,)()()(ba

25、zyx hgf同理可得出同理可得出柱面的参数方程柱面的参数方程: ,)()()( hgf tnztmytkxa b, t +. 例如以例如以z 轴为轴线轴为轴线, r为半径为半径的的圆柱面的参数方程圆柱面的参数方程: ,sincos tzryrx0 2, t +. 柱面柱面上页 下页 结束 例例 在一个直角坐标系中在一个直角坐标系中, 柱面平行于向量柱面平行于向量 u( 1, 1, 1), 一条准线方程为一条准线方程为, 0422012222zyxzyx求柱面的参数方程求柱面的参数方程, 再化成一般方程再化成一般方程. 解解: 准线方程可化为准线方程可化为, 2122zyx这是平面这是平面 z

26、 = 2 上的一个圆上的一个圆, 故有参数方程故有参数方程 柱面柱面上页 下页 结束 ,sincos 2zryrx0 2 . 从而从而柱面的参数方程柱面的参数方程为为: ,sincos tztrytrx20 2, t +. 消去消去参数参数, t 得得柱面的一般方程柱面的一般方程为为: (x + z 2) 2 + (y z + 2)2 = 1. 柱面柱面上页 下页 结束 练习练习: 已知柱面已知柱面准线准线 的参数方程为的参数方程为: , 32tztytx母线母线方向为方向为 (1, 2, 1), 求柱面的参数方程求柱面的参数方程. 解解: 柱面的柱面的参数方程参数方程为为: . stzsty

27、stx322 柱面柱面上页 下页 结束 则则 ,nzt 柱面的方程为柱面的方程为 .,0 nmzynkzxf(1) 准线在某个坐标面上准线在某个坐标面上. 譬如柱面平行于譬如柱面平行于 u(k, m, n), 准线在准线在 xy 平面上平面上, 方程为方程为 00),(yxzf 特殊情形特殊情形 柱面柱面上页 下页 结束 练习练习: 在一个仿射坐标系中在一个仿射坐标系中, 柱面平行于向量柱面平行于向量 u(1, 1, 1), 一条准线方程为一条准线方程为,)( 041222zzyx求柱面的一般方程求柱面的一般方程. 解解: 准线方程可化为准线方程可化为, 0322zyx因此因此柱面的一般方程柱

28、面的一般方程为为: (x z)2 + (y + z)2 = 3. 柱面柱面上页 下页 结束 (2) 如果如果柱面平行于某个坐标轴柱面平行于某个坐标轴, 譬如譬如 z 轴轴, 假设假设 柱面柱面和和 xy 面的交线面的交线为为 00),(yxzf则此时柱面的方程就是则此时柱面的方程就是 f (x, y) = 0. 事实上事实上, 有有定理定理: 若一个若一个柱面柱面的的母线平行于母线平行于z 轴轴 (或或 x 轴轴, 或或 y 轴轴), 则它的方程中则它的方程中不含不含 z (或或x, 或或y); 反之反之, 一个一个 三元方程若三元方程若不含不含z (或或x, 或或y), 则它一定表示一个则它

29、一定表示一个母线平行于母线平行于z 轴轴 (或或 x 轴轴, 或或 y 轴轴) 的的柱面柱面. 柱面柱面上页 下页 结束 证明证明: () 设一个设一个柱面柱面的的母线平行于母线平行于z 轴轴, 则这个柱面的则这个柱面的每条母线必与每条母线必与xy 面相交面相交, 从而其从而其交线交线 可以作为可以作为准线准线, 设设 的方程的方程为为 00),(yxzf 点点M 在此柱面上在此柱面上 过过 M 且平行于且平行于 u (0, 0, 1) 的直线与的直线与 相交相交. 因此因此, 有有 ,),(,0yxtzf柱面柱面上页 下页 结束 因为参数因为参数t 可以取任意实数值可以取任意实数值, 于是得

30、到这个于是得到这个柱面的方程为柱面的方程为 f (x, y) = 0.() 任给一个不含任给一个不含 z 的三元方程的三元方程 g (x, y) = 0.考虑以曲线考虑以曲线 : 00),(yxzg为为准线准线, 以以z 轴为方向轴为方向的柱面的柱面, 由上面的讨论可知由上面的讨论可知, 这个柱面的方程为这个柱面的方程为 g (x, y) = 0.因此因此 g (x, y) = 0 表示一个表示一个母线平行于母线平行于z 轴轴的的柱面柱面. 母线平行于母线平行于x 轴轴, y 轴轴的情形可类似讨论的情形可类似讨论. 柱面柱面上页 下页 结束 例如例如, 方程方程 12222 byax表示表示母

31、线平行于母线平行于z 轴轴的的柱面柱面, 因它与因它与xy 面的交线面的交线 012222zbyax是一个椭圆是一个椭圆, 故这个柱面称为故这个柱面称为椭圆柱面椭圆柱面. 类似地类似地, 方程方程, 12222 byaxpyx22 分别表示分别表示母线平行于母线平行于z 轴轴的的双曲柱面双曲柱面和和抛物柱面抛物柱面. 柱面柱面上页 下页 结束 椭圆柱面椭圆柱面12222 byaxxyzO双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy上页 下页 结束 xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(

32、1yxM上页 下页 结束 曲线的投影柱面曲线的投影柱面(在直角坐标中在直角坐标中) 定义定义: 以空间曲线以空间曲线 为准线为准线, 母线平行于母线平行于z 轴轴 (或或 x 轴轴, 或或y 轴轴) 的的柱面柱面称为曲线称为曲线 的对于坐标面的对于坐标面xOy (或或yOz , 或或xOz)的的投影柱面投影柱面. 设设准线准线 的方程为的方程为 ,),(),( 00zyxzyxGF消去消去z (或或x, y), 所得方程所得方程 H1(x, y) = 0 (或或H2(y, z) = 0, H3(x, z) = 0 ), 即为即为投影柱面投影柱面方程方程, 而而投影柱面与对应坐标面的投影柱面与对

33、应坐标面的 交线交线称为称为 在这坐标面上的在这坐标面上的投影投影. 柱面柱面上页 下页 结束 例例2 求空间曲线求空间曲线 : 01022zxzyx对于三坐标面的投影柱面和投影曲线方程对于三坐标面的投影柱面和投影曲线方程. 解解: 把把 z = x + 1 代入第一个方程代入第一个方程, 整理得整理得 对于对于 xOy的的投影柱面投影柱面和和投影曲线方程投影曲线方程:投影柱面投影柱面: x2 + y2 x 1 = 0, 投影曲线投影曲线: ; 00122zxyx 柱面柱面上页 下页 结束 对于对于xOz的的投影柱面投影柱面和和投影曲线方程投影曲线方程就是就是: 投影柱面投影柱面: x z +

34、1 = 0, 投影曲线投影曲线: ; 001yzx把把 x = z 1 代入第一个方程代入第一个方程, 整理得整理得 对于对于 yOz的的投影柱面投影柱面和和投影曲线方程投影曲线方程:投影柱面投影柱面: y2 + z2 3z +1 = 0, 投影曲线投影曲线: . 001322xzzy 柱面柱面上页 下页 结束 由由直线直线绕绕与它相交而不垂直的轴线与它相交而不垂直的轴线旋转所得的旋转所得的 旋转面称为旋转面称为圆锥面圆锥面. 母线与轴线的交点母线与轴线的交点称为称为锥顶锥顶,夹角夹角称为称为半顶角半顶角. 注注: (1) 圆锥面由圆锥面由轴线、锥顶和半顶角轴线、锥顶和半顶角所决定所决定. (

35、2) 这里这里定义的定义的圆锥面圆锥面是是无限伸展无限伸展的的, 并且分成并且分成 连接在锥顶处的连接在锥顶处的两支两支, 不同于中学的不同于中学的有限圆锥体有限圆锥体 的侧面的侧面. 圆锥面圆锥面上页 下页 结束 假设假设锥顶锥顶为为 M0, 半顶角半顶角为为 , 则圆锥面由则圆锥面由 M0 和所有使得和所有使得 M0M 与轴线的夹角等于与轴线的夹角等于 的点的点 M 构成构成. 它的它的向量式方程向量式方程为为 |M0M u| = |M0M| |u| cos . (2.12) 若已知若已知圆锥面上一点圆锥面上一点 M1, 则则 u MMuMM1010 cos代入代入(2.12), 得方程得

36、方程 (2.13) |M0M u| |M0M1| = |M0M1 u| |M0M| . 旋转面旋转面上页 下页 结束 例例 2.16 已知圆锥面已知圆锥面轴线在轴线在 I 和和 VII 卦限卦限中中, 并且并且 三条坐标轴都在此圆锥面上三条坐标轴都在此圆锥面上, 求圆锥面的方程求圆锥面的方程.解解: 显然显然锥顶锥顶是是原点原点, 设向量设向量 u 平行于轴线平行于轴线, 并且并且 坐标都是正数坐标都是正数, 则则 u e1 = u e2 = u e3 点点M1(0, 0, 1)在此圆锥面上在此圆锥面上, 由由(2.13)得得 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 即即 xy

37、 + yz + zx = 0. 即即 u 的三个坐标相等的三个坐标相等, 不妨设为不妨设为 (1, 1, 1) . 旋转面旋转面上页 下页 结束 锥面锥面定义定义 由由一族过同一点一族过同一点 M0 的直线的直线构成的曲面构成的曲面 称为称为锥面锥面. 这些直线称为它的这些直线称为它的直母线直母线. M0 称为称为锥锥 顶顶, 锥面上锥面上不过锥顶的一条曲线不过锥顶的一条曲线如果如果和每一条直和每一条直 母线都相交母线都相交, 就称为它的一条就称为它的一条准线准线. 例如例如: 圆锥面圆锥面是锥面是锥面. 平面平面是锥面是锥面, 其上其上每一点每一点都可作为都可作为锥顶锥顶. 共轴平面系中的两

38、个或多个平面共轴平面系中的两个或多个平面一起也一起也 构成锥面构成锥面, 轴上的轴上的每一点每一点都可看作都可看作锥顶锥顶. 定义与几何特征定义与几何特征 上页 下页 结束 注注: (1) 一般锥面的一般锥面的锥顶是确定的锥顶是确定的. (2) 锥面锥面由由锥顶锥顶和和准线准线确定确定. 如果如果一个点一个点M不是不是锥顶锥顶, 则则M在锥面上在锥面上 M 和锥顶的连线和准线相交和锥顶的连线和准线相交. 锥面锥面上页 下页 结束 则点则点 M(x, y, z) 锥面锥面 存在实数存在实数 t, 使得使得 ,)( ,)( ,)(,)( ,)( ,)(01110111000000tzzttyytt

39、xxttzzttyyttxxtGF从其中一式从其中一式解出解出 t 代入另一式代入另一式, 即得即得 S 的方程的方程. (2.15) 注注: 当当准线是平面曲线准线是平面曲线时时, 计算比较简单计算比较简单 .设在一个仿射坐标系中设在一个仿射坐标系中, 锥面的锥顶锥面的锥顶M0(x0, y0, z0), 准线准线 的方程的方程为为 ,),(,),(00zyxzyxGF 方程的建立方程的建立 锥面锥面上页 下页 结束 例例 在一个仿射坐标系中在一个仿射坐标系中, 锥顶为锥顶为 (0, 2, 5) , 准线准线 的方程为的方程为 ,0119422yxzx求锥面的方程求锥面的方程. 解解: 根据根

40、据(2.15), 有有 ,)(,)()(01221955422tyttxtzttx 锥面锥面上页 下页 结束 根据第二式根据第二式, 得得 ,23 yxt代入第一式代入第一式, 得得 ,)()()(12953552492222 yxzyxyxx此方程的图像为此方程的图像为锥面去掉锥顶锥面去掉锥顶. 去分母去分母, 得得 81x2 + 4(5x 5y + 3z 5)2 = 36(x y + 2)2 锥面锥面上页 下页 结束 整理后得整理后得 145x2 + 64y2 + 36z2 128xy + 120 xz 120yz 344x + 344y 120z 44 = 0. 而去分母增加方程的解而去

41、分母增加方程的解, 即为方程组即为方程组 02053550yxzyxx的解的解 (0, 2, 5) , 即即锥顶坐标锥顶坐标. 因此因此, 上述方程就是锥面的方程上述方程就是锥面的方程. 锥面锥面上页 下页 结束 注注: 实用上常取实用上常取坐标原点为锥顶坐标原点为锥顶, 此时此时, 如果如果准准 线在平行于坐标平面的一张平面线在平行于坐标平面的一张平面上上, 譬如为譬如为,),( hzyxf0则用上述方法得到方程则用上述方法得到方程 ,0 zhyzhxf它是它是去掉锥顶的锥面去掉锥顶的锥面的方程的方程. 如果如果 f (x, y) 是是 n 次多项式次多项式, 则此方程可化为一个则此方程可化为一个 n 次齐次方程次齐次方程 (即左边多项式每一项都是即左边多项式每一项都是 n 次项次项): ,0 zhyzhxfzn 锥面锥面上页 下页 结束 ,0 zhyzhxfzn的图像的图像多了锥顶多了锥顶. 也可能增加了一些别的点也可能增加了一些别的点. 一般地一般地, 有有定理定理: x, y, z 的的 n 次齐次方程次齐次方程的图像的图像 (添上原点添上原点)一定是一定是锥顶为原点的锥面锥顶为原点的锥面; 反之亦然反之亦然.证明证明: 设设F (x, y, z) = 0 是是 n 次齐次方程次齐次方程, 它表示它表示