第三章 第八节 正弦定理、余弦定理应用举例

1、第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例1.1.三角形的面积公式三角形的面积公式（1 1） （h h表示边表示边a a上的高）上的高）. .（2 2）（3 3） (r (r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).1Sah21Sbcsin A21absin C21acsin B2.1Sr(abc)22.2.实际问题中的有关概念实际问题中的有关概念(1)(1)仰角和俯角仰角和俯角: :在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图角，在水平线下方的角叫俯角（如图）. .上方上方 (2)(2)方位角方位角: :从正北

2、方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B B点的方位角点的方位角为为(如图如图).). (3) (3)方向角方向角: :相对于某一正方向的水平角相对于某一正方向的水平角( (如图如图) )(i)(i)北偏东北偏东即由指北方向顺时针即由指北方向顺时针旋转旋转到达目标方向；到达目标方向；(ii)(ii)北偏西北偏西即由指北方向逆时针即由指北方向逆时针旋转旋转到达目标方向；到达目标方向；(iii)(iii)南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似. .(4)(4)坡角与坡度：坡角与坡度：坡角坡角: :坡面与水平面所成的二面角的坡面与水平面所成的二面角的度数

3、度数( (如图如图，角，角为坡角为坡角) )；坡度坡度: :坡面的铅直高度与水平长度之比坡面的铅直高度与水平长度之比( (如图如图，i i为坡度为坡度).).坡度又称为坡比坡度又称为坡比. . 3.3.用正、余弦定理解应用题的一般步骤用正、余弦定理解应用题的一般步骤（1 1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清所给量之间的关系清所给量之间的关系. .（2 2）根据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形的问）根据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形的问题题. .（3 3）选择正弦定理或余弦定理解三角形）选择正弦定理或余弦定理解

4、三角形. .（4 4）将三角形的解还原为实际问题，解题时要注意实际问题）将三角形的解还原为实际问题，解题时要注意实际问题中的单位、近似计算等要求中的单位、近似计算等要求. .判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .(1)(1)面积公式中面积公式中 其实质就是其实质就是面积公式面积公式 (h(h为相应边上的高为相应边上的高) )的变形的变形.( ).( )(2)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ( )( )(3)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标方位角与方向角其实质是一样的，均是确

5、定观察点与目标点之间的位置关系点之间的位置关系.( ).( )（4 4）方位角大小的范围是）方位角大小的范围是0,2)0,2)，方向角大小的范围一般，方向角大小的范围一般是是 ( )( )(5)(5)仰角、俯角、方位角的主要区别在于参照物不同仰角、俯角、方位角的主要区别在于参照物不同.( ).( )111Sbcsin Aabsin Cacsin B222，0,.2111Sahbhch2220,.2）【解析】【解析】（1 1）正确）正确. .如如 即为边即为边a a上的高上的高. .（2 2）错误）错误. .俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. .（3 3）正确）正确. .

6、方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的置关系的. .（4 4）正确）正确. .方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为角，故大小的范围为0,2)0,2)，而方向角大小的范围由定义可，而方向角大小的范围由定义可知为知为 11Sabsin Cah,220,.2）(5)(5)正确正确. .由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的. .答

7、案：答案：(1) (1) （2 2） (3) (4) (5) (3) (4) (5)1.1.在在ABCABC中中, , 则则S SABCABC的值为的值为( )( )【解析】【解析】选选C.C.由已知得由已知得A,AB1,AC2,3 1A2 B 1 3C2 D3A,ABc1,ACb2,3ABC1133Sbcsin A2 1.2222 2.2.在在ABCABC中中, , 则则cos Acos A等于等于( )( )【解析】【解析】选选D.D.由已知得由已知得 得，得，即即 故故ABC2AC5,AB2,S2， 5A5 2 5B5 5C5 2 5D5ACb5,ABc2,ABC2S212bcsin A

8、,221252sin A,225sin A.522 5cos A1 sin A.5 3.3.如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A A和和B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离相等，的距离相等，灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东4040，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C的南偏东的南偏东6060，则灯塔则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的方向为的方向为( )( )(A)(A)北偏西北偏西5 5(B)(B)北偏西北偏西1010(C)(C)北偏西北偏西1515(D)(D)北偏西北偏西2020【解析】【解析】选选B.B.由已知由已知ACBACB1801804040606

9、08080，又又ACACBCBC，AAABCABC5050，606050501010，灯塔灯塔A A位于灯塔位于灯塔B B的北偏西的北偏西1010. .4.4.已知已知A A，B B两地的距离为两地的距离为10 km,B10 km,B，C C两地的距离为两地的距离为20 km,20 km,现测现测得得ABC=120ABC=120，则，则A A，C C两地的距离为两地的距离为_km._km.【解析】【解析】如图所示，如图所示，由余弦定理可得：由余弦定理可得：ACAC2 2=100+400-2=100+400-210102020cos 120cos 120=700=700，答案：答案： AC10

10、7 km .10 75.5.某运动会开幕式上举行升旗仪式某运动会开幕式上举行升旗仪式, ,在坡度为在坡度为1515的看台上的看台上, ,同同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为6060和和3030, ,第一排和最后一排的距离为第一排和最后一排的距离为 米米( (如图所示如图所示),),则旗杆则旗杆的高度为的高度为米米. .10 6【解析】【解析】如图所示如图所示, ,依题意可知依题意可知AEC=45AEC=45, ,ACE=180ACE=180-60-60-15-15=105=105, ,EAC=180EAC=180-45-45-10

11、5-105=30=30. .由正弦定理可知由正弦定理可知AC= sinCEA= (AC= sinCEA= (米米),),在在RtRtABCABC中中, ,AB=ACsinACB= =30(AB=ACsinACB= =30(米米).).即旗杆的高度为即旗杆的高度为3030米米. .答案答案: :3030CEAC,sin EACsin CEA20 3CEsin EAC320 32考向考向 1 1 与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013中山模拟）已知中山模拟）已知O O为为ABCABC内一点，满内一点，满足足 且且 则则OBCOBC的面积为的

12、面积为 ( )( )OAOBOCAB AC2 ，0BAC3， 1A2 3B3 3C2 2D3（2 2）（）（20132013黄山模拟）在黄山模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分所对的边分别为别为a,b,ca,b,c，设，设S S为为ABCABC的面积，满足的面积，满足 则角则角A A的最大值是的最大值是( )( )（3 3）(2013(2013北京模拟北京模拟) )已知已知ABCABC的三个内角的三个内角A,B,CA,B,C所对的边所对的边分别为分别为a,b,c,a,b,c,角角A A是锐角是锐角, ,且且 b=2asinB.b=2asinB.求角求角A A的度数的

13、度数; ;若若a=7,a=7,ABCABC的面积为的面积为 , ,求求ABCABC的周长的周长. .2221Sbca,4 A6 B4 C3 D2310 3【思路点拨】【思路点拨】（1 1）先确定）先确定O O点的位置，可知点的位置，可知O O为为ABCABC的重心，的重心，再利用向量关系求得再利用向量关系求得ABCABC面积即可求得面积即可求得S SOBCOBC. .（2 2）由余弦定理及面积公式可得）由余弦定理及面积公式可得tan Atan A的范围，再求最大值的范围，再求最大值. .（3 3）利用正弦定理得角）利用正弦定理得角A,A,再利用余弦定理得再利用余弦定理得b+c,b+c,从而可求

14、周从而可求周长长. .【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选B.B.由由 可知可知O O为为ABCABC的重的重心，故心，故由由 得得cbcos BAC=2,cbcos BAC=2,又又 故故bc=4,bc=4,故故OAOBOC ，0OBCABC1SS,3AB AC2 1cos BAC,2ABC113Sbcsin BAC43,222 OBCABC13SS.33（2 2）选）选B.B.由由 得得tan A1,tan A1,又又角角A A的最大值为的最大值为2221S(bca )411bcsin A2bc cos A,240A,0A,4 .4(3)(3)由已知得由已知得 由正弦定理由正弦定理 得

15、得sin A= .sin A= .又又A A为锐角为锐角, ,故故A=A=由余弦定理得由余弦定理得cos A= cos A= 即即b b2 2+c+c2 2-49=bc,-49=bc,由由 bcsin A= bcsin A= 得得bc=40,bc=40,故故b b2 2+c+c2 2=89,=89,得得(b+c)(b+c)2 2=169.=169.又又b0,c0,b+c=13,b0,c0,b+c=13,故故ABCABC的周长为的周长为20.20.absin B32，absin Asin B32.3222bca2bc，1210 3，【互动探究】【互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1)中中“

16、”“ ”改为改为“O O为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点”，其他条件不变，则，其他条件不变，则OBCOBC的面积又的面积又该如何求解该如何求解? ?OAOBOC 0【解析】【解析】由由 得得cbcos A=2.cbcos A=2.又又bc=4,bc=4,又又OO为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点, ,故故AB AC2 BAC,31cos BAC,2ABC1Sbcsin BAC3.2OBCABC13SS.22【拓展提升】【拓展提升】三角形的面积公式三角形的面积公式已知已知ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，h ha a

17、,h,hb b,h,hc c分别分别为边为边a,b,ca,b,c上的高上的高. .（1 1）已知一边和这边上的高）已知一边和这边上的高: :（2 2）已知两边及其夹角：）已知两边及其夹角：abc111Sahbhch .222111Sabsin Cacsin Bbcsin A.222（3 3）已知三边：）已知三边： 其中其中（4 4）已知三边和外接圆半径）已知三边和外接圆半径R R，则，则abcS.4RSp papbpc ,abcp.2【变式备选】【变式备选】在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知(1)(1)求求 的值的值.

18、 .(2)(2)若若 求求ABCABC的面积的面积S.S.cos A2cos C2ca.cos Bb1cos Bb2,4，sin Csin A【解析解析】(1)(1)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得即即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos Bcos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B，则则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin Bcos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos C

19、sin B，sin(A+B)=2sin(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，则，则sin C=2sin Asin C=2sin A，即即cos A2cos C2cacos Bbcos A2cos C2sin Csin Acos Bsin B，sin C2.sin A方法二方法二：在：在ABCABC中，由中，由 可得，可得，bcos A-2bcos C=2ccos B-acos Bbcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得由余弦定理可得整理可得整理可得c=2a.c=2a.由正弦定理可得由正弦定理可得(2)(2)由由c=2a

20、c=2a及及 可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accos B=4a-2accos B=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,则则a=1a=1，c=2c=2，即即cos A2cos C2cacos Bb222222222222bcaabcacbacb2caa2c，sin Cc2.sin Aa1cos B,b2421115Sacsin B1 21 cos B224 ，15S.4考向考向 2 2 测量距离问题测量距离问题【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013聊城模拟）如图聊城模拟）如图, ,设设A A，B B两点在河的两点在河的两岸，一测量者在两岸，

21、一测量者在A A的同侧的河岸边选定一点的同侧的河岸边选定一点C C，测出，测出ACAC的距离的距离是是50 m50 m，ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105后，就可以计算出后，就可以计算出A A，B B两两点的距离为点的距离为( )( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m 25 2D m2(2)(2)（20132013马鞍山模拟）甲船在岛马鞍山模拟）甲船在岛A A的正南的正南B B处，以处，以4 km/h4 km/h的的速度向正北方向航行，速度向正北方向航行，AB=10 km,AB=10 km,同时乙船自岛同时乙船自岛A A出发以出发以6 km/h6 km

22、/h的速度向北偏东的速度向北偏东6060的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间为它们所航行的时间为( )( )(3)(3)在相距在相距2 2千米的千米的A A，B B两点处测量目标点两点处测量目标点C C，若，若CAB=75CAB=75，CBA=60CBA=60, ,则则A A，C C两点之间的距离为两点之间的距离为_千米千米. . 5A h14 15B h7 C 2 h D 2.15 h【思路点拨】【思路点拨】（1 1）先求得）先求得ABCABC，再利用正弦定理可解，再利用正弦定理可解. .（2 2）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再

23、用二次）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再用二次函数知识求最值即可函数知识求最值即可. .（3 3）利用已知条件求得）利用已知条件求得ACBACB，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.由由ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105, ,得得ABC=30ABC=30, ,由正弦定理得由正弦定理得ABACsin ACBsin ABC，250ACsin ACB2AB50 2 m .1sin ABC2(2)(2)选选A.A.如图，设经过如图，设经过t ht h甲船航行到甲船航行到C C处，处，乙船航行到乙船航行到D D处处.

24、.在在ACDACD中，中，AC=10-4t,AC=10-4t,AD=6t,AD=6t,由余弦定理得由余弦定理得CDCD2 2=(10-4t)=(10-4t)2 2+(6t)+(6t)2 2- -2(10-4t)6tcos 1202(10-4t)6tcos 120=28t=28t2 2-20t+100.-20t+100.故当故当 时时,CD,CD2 2有最小值，有最小值，即两船之间的距离最短即两船之间的距离最短. .205t(h)22814 (3)(3)由由CAB=75CAB=75,CBA=60,CBA=60, ,得得ACB=180ACB=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定

25、理得由正弦定理得即即 （千米）（千米）. .答案：答案： ABAC,sin ACBsin CBA32ABsin CBA2AC6sin ACB226【互动探究】【互动探究】若将本例（若将本例（1 1）中）中A A，B B两点放到河岸的同侧，但两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距不能到达，在对岸的岸边选取相距 kmkm的的C C，D D两点，同时，两点，同时，测得测得ACBACB7575，BCDBCD4545，ADCADC3030，ADBADB4545(A(A，B B，C C，D D在同一平面内在同一平面内) )，则，则A A，B B两点之间的距离又两点之间的距离又如何求解如何求解

26、? ?3【解析】【解析】如图所示，如图所示，在在ACDACD中，中，ADCADC3030，ACDACD120120，CADCAD3030，在在BDCBDC中，中，CBDCBD180180454575756060. .ACCD3.由正弦定理得由正弦定理得在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22ACBCcosBCA2ACBCcosBCA，即即即两点即两点A A，B B之间的距离为之间的距离为3sin 7562BC.sin 6022226262AB( 3)()2 3cos 75522 ，AB5 km .5 km.【拓展提升】【拓展提升】解决距离问题

27、的技巧解决距离问题的技巧解决此类问题的实质就是解三角形，一般都离不开正弦定理和解决此类问题的实质就是解三角形，一般都离不开正弦定理和余弦定理余弦定理. .在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解然后将问题转化为三角形问题去求解. .解题时要注意：解题时要注意：基线基线的选取要恰当、准确的选取要恰当、准确; ;选取的三角形及正、余弦定理要恰当选取的三角形及正、余弦定理要恰当. .【变式备选】【变式备选】如图，如图，A A，B B是海面上位于是海面上位于东西方向相距东西方向相距 海里的两个观测海里的两个观测点，现位于点

28、，现位于A A点北偏东点北偏东4545，B B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘轮船发出求救信号，点有一艘轮船发出求救信号，位于位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距 海里的海里的C C点的救援船立即点的救援船立即前往营救，其航行速度为前往营救，其航行速度为3030海里海里/ /小时，该救援船到达小时，该救援船到达D D点需要点需要多长时间？多长时间？5(33)20 3【解析】【解析】由题意知由题意知 海里，海里，DBA=90DBA=90- -6060=30=30,DAB=90,DAB=90-45-45=45=45， ADB=180 ADB=180-(45-(45

29、+30+30)=105)=105. .在在ABDABD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 ( (海里海里).).又又DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90-60-60)=60)=60， 海里，海里，AB5(33)DBAB,sin DABsin ADBAB sin DAB5(33) sin 45DB10 3sin ADBsin 105BC20 3在在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BDBCcosDBC-2BDBCcosDBCCD=30CD=30海里海里. .故所需时间故所需时间 （小时）（小时）.

30、.故救援船到达故救援船到达D D点需要点需要1 1小时小时. .1300 1 2002 10 320 39002 ，30t130考向考向 3 3 测量高度、角度问题测量高度、角度问题【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013鹰潭模拟）如图，鹰潭模拟）如图，为测得河对岸塔为测得河对岸塔ABAB的高，先在河岸上选的高，先在河岸上选一点一点C C，使，使C C在塔底在塔底B B的正东方向上，测得的正东方向上，测得点点A A的仰角为的仰角为6060，再由点，再由点C C沿北偏东沿北偏东1515方向走方向走1010米到位置米到位置D D，测得，测得BDC=45BDC=45，则塔则塔ABAB的高

31、是的高是_米米. .(2)(2013(2)(2013西安模拟）如图，在某港口西安模拟）如图，在某港口A A处获悉，其正东方向处获悉，其正东方向2020海里海里B B处有一艘处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西的南偏西3030据港口据港口1010海里的海里的C C处，救援处，救援船接到救援命令立即从船接到救援命令立即从C C处沿直线前往处沿直线前往B B处营救渔船处营救渔船. .求接到救援命令时救援船距渔船的距离；求接到救援命令时救援船距渔船的距离；试问试问救援船在救援船在C C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B

32、 B处处救援？救援？21cos 49)7（已知【思路点拨】【思路点拨】（1 1）先求出）先求出BCDBCD，在，在BCDBCD中，由正弦定理求中，由正弦定理求得得BCBC，然后在，然后在RtRtABCABC中求中求AB.AB.(2)(2)在在ABCABC中，由余弦定理求中，由余弦定理求BCBC；在在ABCABC中，由正弦定理求得中，由正弦定理求得sin ACB,sin ACB,然后根据然后根据 确定出确定出ACBACB的大小，最后确定方向角的大小，最后确定方向角. .21cos 497 【规范解答】【规范解答】(1)(1)在在BCDBCD中，中，CD=10CD=10，BDC=45BDC=45，

33、BCD=15BCD=15+90+90=105=105，DBC=30DBC=30，在在RtRtABCABC中，中， ( (米）米）. .答案：答案： BCCDCDsin 45,BC10 2.sin 45sin 30sin 30ABtan 60,ABBCtan 6010 6BC 10 6(2)(2)由题意得由题意得: :ABCABC中，中，AB=20AB=20，AC=10AC=10，CAB=120CAB=120，由余弦定理得由余弦定理得CBCB2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcosCAB,-2ABACcosCAB,即即CBCB2 2=20=202 2+10+102 2-2-2

34、202010cos 12010cos 120=700,=700, 即接到救援命令时救援船距渔船的距离为即接到救援命令时救援船距渔船的距离为海里海里. .BC10 7.10 7ABCABC中，中，由正弦定理得由正弦定理得即即所以救援船应沿北偏东所以救援船应沿北偏东7171的方向前往的方向前往B B处救援处救援. .AB20BC10 7CAB120，ABBCsin ACBsin CAB，2010 7,sin ACBsin 12021sin ACB.721cos 49sin 41,ACB41 ,7【拓展提升】【拓展提升】处理高度问题的注意事项处理高度问题的注意事项(1)(1)在处理有关高度问题时，理

35、解仰角、俯角在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角( (视线在水平线上视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角方、下方的角分别称为仰角、俯角) )是一个关键是一个关键(2)(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面在实际问题中，可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错这样处理起来既清楚又不容易搞错. .【提醒】【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空

36、间的问题要注意空间图形和角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合平面图形的结合. .【变式训练】【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔要测量底部不能到达的电视塔ABAB的高度，在的高度，在C C点点测得塔顶测得塔顶A A的仰角是的仰角是4545，在，在D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角是的仰角是3030，并，并测得水平面上的测得水平面上的BCDBCD120120，CDCD40 m40 m，求电视塔的高度，求电视塔的高度. .【解析】【解析】如图，设电视塔如图，设电视塔ABAB的高为的高为x mx m，则在则在RtRtABCABC中，由中，由ACBACB4545得

37、得BCBCx.x.在在RtRtABDABD中，由中，由ADBADB3030，得得在在BDCBDC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BDBD2 2BCBC2 2CDCD2 22BCCDcos 1202BCCDcos 120，即即解得解得x x4040，电视塔高为电视塔高为4040米米. . BD3x.222( 3x)x402 x 40 cos 120 ，【满分指导】【满分指导】三角形中面积公式的应用三角形中面积公式的应用【典例】【典例】（1212分）（分）（20122012江西高考）在江西高考）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，已知，

38、已知（1 1）求证：）求证：（2 2）若）若 求求ABCABC的面积的面积. .Absin(C)csin(B)a.444，BC.2a2，【思路点拨】【思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析利用正弦定理边化角再展开利用正弦定理边化角再展开整理可证整理可证 利用利用B+C=-AB+C=-A和已知条件得和已知条件得B B，C C，利用正弦定理得，利用正弦定理得b b，c c，进，进而可求面积而可求面积bsin(C)csin(B)a44A,BC,a242【规范解答】【规范解答】（1 1）由）由应用正弦定理，得应用正弦定理，得 3 3分分整理得整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,s

39、in Bcos C-cos Bsin C=1,即即sin(B-Csin(B-C）=1, 5=1, 5分分由于由于 从而从而 6 6分分bsin Ccsin Ba44（）（） ，sin Bsin Csin Csin Bsin A,44（）（）22222sin Bsin Ccos Csin Csin Bcos B,22222（）（）330B,0C,44 BC.2（2 2） 由（由（1 1）知）知因此因此 8 8分分由由 得得 10 10分分所以所以ABCABC的面积的面积 12 12分分3BCA4 ，BC,25B,C,88a2,A4，asin B5asin Cb2sin ,c2sin ,sin A

40、8sin A8151Sbcsin A2sin sin 2cos sin .288882【失分警示】【失分警示】 ( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20131.(2013抚州模拟抚州模拟) )某人向正东方向走某人向正东方向走xkmxkm后后, ,向右转向右转150150, ,然后朝新方向走然后朝新方向走3km,3km,结果他离出发点的距离恰好是结果他离出发点的距离恰好是 km,km,那那么么x x的值为的值为( () )3 A3 B 2 3 C32 3 D 3或【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示, ,设此人从设此人从A A出发出发, ,则则AB=x,BC=3,AC= ,

41、AB=x,BC=3,AC= ,ABC=30ABC=30, ,由余弦定理得由余弦定理得( )( )2 2=x=x2 2+3+32 2-2x3cos30-2x3cos30, ,整理整理得得x x2 2- x+6=0,- x+6=0,解得解得x= x= 或或 . .333 332 32.(20132.(2013蚌埠模拟）在蚌埠模拟）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,且满足且满足 则则ABCABC的面积为的面积为( )( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】【解析】选选A.A.故故又又A

42、2 5cos ,AB AC3,25 2A2 5A3cos ,cos A2cos1,2525 4sin A.5AB AC3bccos A3, ，ABC114bc5,Sbcsin A52.225 3.(20133.(2013淮北模拟）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂淮北模拟）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔高度为面内，若飞机的海拔高度为18 km,18 km,速度为速度为1 000 km/h,1 000 km/h,飞行员飞行员先看到山顶的俯角为先看到山顶的俯角为3030，经过，经过1 min1 min后又看到山顶的俯角为后又看到山顶的俯角为7575，则山顶的海拔高度为（精确到

43、，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km)( )0.1 km)( )(A)11.4 km (B)6.6 km (C)6.5 km (D)5.6 km(A)11.4 km (B)6.6 km (C)6.5 km (D)5.6 km【解析解析】选选B. B. 航线离山顶的距离航线离山顶的距离山顶的海拔高度为山顶的海拔高度为18-11.4=6.6(km).18-11.4=6.6(km).150 000AB1 000 1 000m ,603AB50 000BCsin 30m .sin 453 2 50 000hsin 7511.4 km .3 2 4.(20134.(2013铜川模拟）如图，渔船甲位于

44、铜川模拟）如图，渔船甲位于岛屿岛屿A A的南偏西的南偏西6060方向的方向的B B处，且与岛屿处，且与岛屿A A相距相距1212海里，渔船乙以海里，渔船乙以1010海里海里/ /时的速度时的速度从岛屿从岛屿A A出发沿正北方向航行，若渔船甲出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从同时从B B处出发沿北偏东处出发沿北偏东的方向追赶渔的方向追赶渔船乙，刚好用船乙，刚好用2 2小时追上，此时到达小时追上，此时到达C C处处. .（1 1）求渔船甲的速度）求渔船甲的速度. .（2 2）求）求sin sin 的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)依题意知，依题意知，BAC=120BAC=120，AB=12AB=12（海里），（海里），AC=10AC=102=20(2=20(海里），海里），BCA=,BCA=,在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcosBAC-2ABACcosBAC=12=122 2+20+202 2-2-212122020cos 120cos 120=784.=784.解得解得BC=28BC=28（海里）（海里）. .所以渔船甲的速度为所以渔船甲的速度为 ( (海里海里/ /时时).).BC142（