第十章 湍流流动

1、第十章第十章 湍流流动的数值模拟湍流流动的数值模拟Numerical simulation for turbulent flowNumerical simulation for turbulent flow 1.1.湍流现象的概述湍流现象的概述 湍流流动是自然界常见的流动现象，自从湍流流动是自然界常见的流动现象，自从18831883年年ReynoldsReynolds发现湍流流动以来，关于湍流发生机理、湍流发现湍流流动以来，关于湍流发生机理、湍流的结构及高精度湍流数值计算模型的研究一直是该领域的结构及高精度湍流数值计算模型的研究一直是该领域内研究者所关注的课题，由于湍流本身的复杂性，直到内研究

2、者所关注的课题，由于湍流本身的复杂性，直到现在仍有很多尚未解决的问题。现在仍有很多尚未解决的问题。目前，被多数人接受的观点目前，被多数人接受的观点湍流能量的级串过程湍流能量的级串过程一、湍流的数值模拟方法一、湍流的数值模拟方法1.1.直接数值模拟直接数值模拟2.2.大涡模拟大涡模拟3.3.基于基于ReynoldsReynolds时均方程的模拟方法时均方程的模拟方法1. 直接数值模拟直接数值模拟(Direct Numerical Simulation,DNS) 直接数值模拟是直接对非稳态的直接数值模拟是直接对非稳态的Navier-StokesNavier-Stokes方程进行方程进行数值计算的，

3、要对高度复杂的湍流流动进行直接计算，必须数值计算的，要对高度复杂的湍流流动进行直接计算，必须采用很小的时间、空间步长，才能分辨出湍流详细的空间结采用很小的时间、空间步长，才能分辨出湍流详细的空间结构及变化激烈的非定常特性。构及变化激烈的非定常特性。缺点：计算量巨大，一般的计算机难以实现缺点：计算量巨大，一般的计算机难以实现2. 大涡模拟大涡模拟(Large eddy simulation,LES) 根据上面提出的湍流理论：湍流可看作是由大尺度的大根据上面提出的湍流理论：湍流可看作是由大尺度的大涡和小尺度的小涡组成，大尺度涡从主流获得能量，各向同涡和小尺度的小涡组成，大尺度涡从主流获得能量，各向

4、同性；小尺度涡从大尺度涡获得能量，各向同性，小尺度涡主性；小尺度涡从大尺度涡获得能量，各向同性，小尺度涡主要起到耗散能量的作用。要起到耗散能量的作用。 大涡模拟方法的基本思想则是把湍流流动通过滤波方法大涡模拟方法的基本思想则是把湍流流动通过滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动两部分。大尺度运动通过数分解成大尺度运动和小尺度运动两部分。大尺度运动通过数值求解非定常的值求解非定常的Navier-StokesNavier-Stokes方程方程来直接计算，小尺方程方程来直接计算，小尺度运动对大尺度运动的影响则通过建立近似的模型来考虑，度运动对大尺度运动的影响则通过建立近似的模型来考虑，常见的亚格子常见

5、的亚格子ReynoldsReynolds应力模型（应力模型（Subgrid Reynolds Subgrid Reynolds StressStress）。）。 该方法的计算量介于直接数值模拟方法与雷诺平均方程该方法的计算量介于直接数值模拟方法与雷诺平均方程法之间，是工程湍流数值模拟的主要发展方向之一法之间，是工程湍流数值模拟的主要发展方向之一3. Reynolds时均方程方法时均方程方法(Reynolds averaging equation) 雷诺平均方程法的思想则是对雷诺平均方程法的思想则是对NS NS 方程做雷诺平均，得方程做雷诺平均，得到的雷诺平均到的雷诺平均NS NS 方程中会出现

6、二阶脉动速度关联项的时均方程中会出现二阶脉动速度关联项的时均值，称为雷诺应力，对其建立湍流模式来使方程封闭。该值，称为雷诺应力，对其建立湍流模式来使方程封闭。该方法使用方便、计算量小方法使用方便、计算量小, ,在工程湍流计算中得到了广泛应在工程湍流计算中得到了广泛应用，但是，由于湍流模式对某些复杂流动机理的描述不尽用，但是，由于湍流模式对某些复杂流动机理的描述不尽完善，使得工程湍流模式的适用范围和计算精度都存在着完善，使得工程湍流模式的适用范围和计算精度都存在着不足。不足。ReynoldsReynolds时均时均方法方法涡粘性系数法涡粘性系数法ReynoldsReynolds应力方程应力方程二

7、二.湍流平均运动方程湍流平均运动方程 ReynoldsReynolds对湍流的瞬态特性分解为平均运动与脉动运动对湍流的瞬态特性分解为平均运动与脉动运动 iiiuuu)3 , 2 , 1( ippp 其中：平均量其中：平均量代入到流体力学中的连续方程及动量方程并取平均值运算得代入到流体力学中的连续方程及动量方程并取平均值运算得 tttdttt)(10iixUjiuu 此即为此即为平均运动的雷诺方程平均运动的雷诺方程 雷诺应力：雷诺应力： 6 6个分量个分量脉动量就是通过雷诺应力来影响平均运动的脉动量就是通过雷诺应力来影响平均运动的)(jijijijjiiuuxUxxpxUUtU三三.湍流平均运动

8、湍流平均运动 的的动能方程动能方程 ReynoldsReynolds对湍流的瞬态特性分解为平均运动与脉动运动对湍流的瞬态特性分解为平均运动与脉动运动 )(jijijijjiiuuxUxxpxUUtUjijijijiuupST,2)(21,ijjijixUxUS合并可得：合并可得：)(,jijiTxDtDUiuku乘上式的乘上式的k分量加上分量加上乘上式的乘上式的i分量加上可得：分量加上可得：)()(,jkjijijkkiTxUTxUDtUDU取取i=k得：得：)(1)()21(,jijiijijjijikixUTUTxTxUUUDtD平均运动平均运动 的动能方程的动能方程（1）（2）四四.湍动

9、能方程湍动能方程 iuku乘瞬时动量方程的乘瞬时动量方程的k分量加上分量加上乘瞬时动量方程的乘瞬时动量方程的i分量加上可得：分量加上可得：iijijiuxpxuutu2kiikkiikjkjijijkkiikuuuuxpuxpuxuuuxuuutuutuu22)2)(1)(12jkjikikiikkiikkixuxuuuxuxuxpuxpuDtuDu整理上式可得：整理上式可得：iiiuuuppp代入上式，并减去（代入上式，并减去（1）平均运动的动能方程）平均运动的动能方程（3）)(,kjikjijkiikjkkjikjijixuuuuupupuxxuuUtuuDtuuD)(2)(ijjikjk

10、ikikjkjkixuxupxuxuxUuuxUuu雷诺应力方程雷诺应力方程瞬时动量方程瞬时动量方程（4）四四.湍动能方程湍动能方程 定义湍动能：定义湍动能：令令i=jiiuuk21jijijijijiijiijjjjSSSuuSuuuupuxxkUtktk,2)2211(DDijijss2)(21ijjiijxuxus)2211(, jiijiijjifSuuuupuxDjijikSuuP,令令kifPDtkDD湍动能方程可写为：湍动能方程可写为：（5）五五.湍流的耗散率方程湍流的耗散率方程 iijijiuxpxuutu2瞬时动量方程瞬时动量方程对对 求导求导kx)()()()(222kij

11、kikjijkijjkixuxxxpxuuxxuuxxut（6）上式各项乘上式各项乘kixu2)()(2)()(22)()(22kijkijkikijkikiikjkijikikijjkikixuxxuxxuxuxxuxpxxuxuxuxuxuuxxuxutiiiuuuppp代入上式，取平均值运算代入上式，取平均值运算kjikjikjikjijkikijkikikikikjkijijikijikikjjikjkijikjkijijjkiJijjjjkikijjkikixxuxxuxxUxxUxxUxUxxuxpxxUxpxxuxuxuxUxuxuxUxuxuxUxuxuxUxUxUuxxuxu

12、uxxUxUxUxUtxUxUt22222222222)()(2)(222222)()(2)()(五五.湍流的耗散率方程湍流的耗散率方程 （7）对平均运动的雷诺方程进行类似的变换可得：对平均运动的雷诺方程进行类似的变换可得：五五.湍流的耗散率方程湍流的耗散率方程 kikijjkikijikjikjikikijkikikjkijikikijjkikixUxuuxxUxuxuxxUxxUxUxUxxUxpxxUxUxUxUxUxUxUxUt)(222)()(22)()(2222（8）（8）式减（）式减（7）可得：）可得：kjikjikjikijjikjkikjkijijkjkjjjjxxuxxux

13、xUxuuxUxuxuxuxuxuxxuxpuxxUt22222222此即为湍流耗散率方程此即为湍流耗散率方程（9）湍流的模式理论湍流的模式理论 湍流的模式理论：湍流的模式理论：就是根据理论和经验，对雷诺平均运就是根据理论和经验，对雷诺平均运动方程和脉动运动方程的某些项提出尽可能合理的模型和动方程和脉动运动方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，以此使得方程组封闭求解的理论。假设，以此使得方程组封闭求解的理论。 建立湍流模式实际上是用某种假定的系统来代替实际的建立湍流模式实际上是用某种假定的系统来代替实际的流场，真实的流场与假定的流场不可能完全等价，因为在流场，真实的流场与假定的流场不可能完全

14、等价，因为在假设的系统中，必定为存在某些物理过程没有考虑到，存假设的系统中，必定为存在某些物理过程没有考虑到，存在误差，因此评价一个模式的优劣就是看假定系统的考虑在误差，因此评价一个模式的优劣就是看假定系统的考虑因素是否周全因素是否周全 ？湍流模型的研究湍流模型的研究 流体力学领域热点问题流体力学领域热点问题对于旋转叶轮内复杂的流动对于旋转叶轮内复杂的流动 寻找合适的湍流模型研究寻找合适的湍流模型研究 旋转旋转 及曲率的影响及曲率的影响零方程模型零方程模型 二维二维PrandtlPrandtl混合长度理论混合长度理论两方程模型两方程模型 K- K-两方程模型两方程模型0iixU)(jijiji

15、jjiiuuxUxxpxUUtU一方程模型一方程模型0iixU)(jijijijjiiuuxUxxpxUUtU方程难以模化，精度角度，因此可以只保留方程难以模化，精度角度，因此可以只保留k k方程。方程。 表示为：表示为：lk2/3l kct 雷诺应力模型（雷诺应力模型（RSM）其中其中：雷诺应力方程雷诺应力方程：模化后的雷诺应力方程：模化后的雷诺应力方程： 雷诺应力模型（雷诺应力模型（RSM）0iixU)(jijijijjiiuuxUxxpxUUtU 代数应力模型（代数应力模型（ASM） 假设雷诺应力方程中的对流项与扩散项近似相等，假设雷诺应力方程中的对流项与扩散项近似相等，则可以消去，则可

16、以消去，6 6个微分方程变成了代数方程个微分方程变成了代数方程其中其中： 代数应力模型（代数应力模型（ASM）其中其中：0iixU)(jijijijjiiuuxUxxpxUUtU控制方程控制方程准代数应力模型准代数应力模型湍流的数值模拟方法湍流的数值模拟方法湍流湍流的数的数值模值模拟拟直接直接数值数值模拟模拟非直非直接数接数值模值模拟拟大涡模拟大涡模拟Reynold平均法平均法Reynold应力法应力法涡粘性系数法涡粘性系数法二方程模型二方程模型雷诺应力法雷诺应力法RSM代数应力法代数应力法ASM一方程模型一方程模型零方程模型零方程模型标准的标准的k- k- 非线性的非线性的k- k- RNG

17、 RNG k- 模型模型可实现的可实现的k- 非线性的非线性的k- 湍流模型湍流模型（Non-linear k- model） 标准的标准的k- k- 湍流模型没有考虑雷诺应力的各向异湍流模型没有考虑雷诺应力的各向异性，为此有提出非线性的性，为此有提出非线性的k- k- 湍流模型湍流模型, , 对湍流应力的本构关系进行修正，在原来的对湍流应力的本构关系进行修正，在原来的BoussinesqBoussinesq提出的线性项的基础上增加了由速度梯度提出的线性项的基础上增加了由速度梯度乘积的非线性项。乘积的非线性项。其中其中：重整化群重整化群k- 模型模型（R NG k- model） R NG k

18、- 湍流模型的方程形式与湍流模型的方程形式与标准的标准的k- k- 湍流模湍流模型完全一样，但系数的是由理论推导得到的，不一样。型完全一样，但系数的是由理论推导得到的，不一样。可实现的可实现的k- 模型（模型（Realizable k- model） 可实现的可实现的k- k- 模型与标准的模型与标准的k- k- 湍流模型的方程中湍流模型的方程中的的K K完全一样，也是对其中的一些系数做了改进。完全一样，也是对其中的一些系数做了改进。对于对于做适当修改。做适当修改。 标准的标准的k- k- 湍流模型方程的系数由实验可得常数。湍流模型方程的系数由实验可得常数。1.1.系数系数c其中考虑到旋转坐标系的影响其中考虑到旋转坐标系的影响可实现的可实现的k- 模型（模型（Realizable k- model）2.2.对对方程的修改方程的修改C C1 1与与S Sijij相联系相联系壁面函数法壁面函数法 在壁面附近由于粘性的影响，存在一个低速区，在这在壁面附近由于粘性的影响，存在一个低速区，在这个区域流体的粘性效应不能忽略，甚至比湍流的脉动个区域流体的粘性效应不能忽略，甚至比湍流的脉动效应作用更强，同时湍流的脉动明显各向异性，效应作用更强，同时湍流的脉动明显各向异性， 因此基于高因此基于高ReRe数假设的湍流模式在这一区域不适用，数假设的湍流模式在这一区域不适用，在这一