第二节 鸽巢原理加强形式

1、nqqq,21121nqqqn)1 (nii1iq1212(1)(1)(1)()nnqqqqqqn121nqqqn121nqqqn12(,;1),nN q qq1211 (,;1)1.nnN q qqqqqn即 221nqqq12nqqqr1) 1(rn12,nm mm121nmmmrn12,nm mm(1)imrin 121nmmmrn12(1)nmmmn r12(1) 1nmmmn r12,nm mm(1)imrin nmnmnmnmmnmnmnnmnm)1 () 1() 1( 01（其中），(1) 1 101 (10 1) 1910n r 1220020000mmm，1220010099

2、200mmm，12200,m mm100 (1200)imi ，12n21231,na a aakm2(1,2,1)knka21 (11)kmnkn2(11)kkn21(1,2,1).kmn kn12n1212,nmmm121nkkk 1 ,in 及121.nkkkmmmi121 ,nkkkaaa)1 (njj12n21231,na a aa1,jjkkaajkajkm1jka1,jkm11, jjkkmm矛盾.m1+m2+m10=3(1+2+10)=3 (10 11).21210.3 1116.516,102mmm 例例5 5 边长为边长为1 1的正方形中，任意放入的正方形中，任意放入9 9

3、个点，求证这个点，求证这9 9个点中个点中任取任取3 3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8.1/8. 解：将边长为解：将边长为1 1的正方形等分成边长为的正方形等分成边长为1/21/2的四个小正方的四个小正方形，视这四个正方形为鸽巢，形，视这四个正方形为鸽巢，9 9个点任意放入这四个正方形个点任意放入这四个正方形中，由鸽巢原理必有三点落入同一个正方形内中，由鸽巢原理必有三点落入同一个正方形内. .现特别取出现特别取出这个正方形来加以讨论这个正方形来加以讨论. . 图1 把落在这个正方形中的三点记为把落在这个正方形中的三点记为D D、E E

4、、F.F.如图如图1 1，通，通过这三点中的任意一点（如过这三点中的任意一点（如E E）作正方形边平行线）作正方形边平行线1111 1()2222 2hh11.4848hhSDEFSDEGSEFG 所以，结论成立。例例6 (1995年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题 ) 将平面上每个点以红、蓝两色之一着色，证明：存在这样的两将平面上每个点以红、蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为个相似三角形，它们的相似比为20132013，并且每一个三角形的三个顶，并且每一个三角形的三个顶点同色。点同色。 证明：如图，作两个半径分别为证明：如图，作两个半径分别为1 1和和2

5、0132013的同心圆，在内圆上任取的同心圆，在内圆上任取9 9个点，必有个点，必有5 5点同色，点同色，不妨设为不妨设为A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4,A,A5 5。如图所示，连半径。如图所示，连半径0A0Ai交大圆于交大圆于B Bi（i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5），对），对B B1 1，B B2 2，B B3 3，B B4 4，B B5 5 必有必有3 3点同色点同色, ,不妨不妨设为设为B B1 1,B,B2 2,B,B3 3，则，则B B1 1B B2 2B B3 3与与A A1 1A A2 2A A3 3为三顶点同色的相似三角形，相似为三顶点同色的相似三角形，相似比等于对应的大圆弦长比等于对应的大圆弦长与小圆弦长与小圆弦长之比，即为之比，即为20132013，所以结论成立，所以结论成立. .2 sin)2br(弦长123456 .aaaaaa121231341451561, , , , ,baabaabaabaabaa令123,ccc121231 , ,dccdcc并令12116