第2章轴向拉伸及压缩(彭小平)

1、第第2 2章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例轴向拉伸和压缩的概念与实例2.2轴力及轴力图轴力及轴力图2.5拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算2.6拉压杆的变形拉压杆的变形2.3轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉压杆横截面上的应力2.4材料的力学性质和基本试验材料的力学性质和基本试验2.8应力集中的概念应力集中的概念2.7拉压变形的超静定问题拉压变形的超静定问题 一、一、轴向拉压的工程实例轴向拉压的工程实例工程桁架工程桁架2.1 2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例轴向拉伸和压缩的概念与实例hng二、轴向拉压的概念二、轴向拉压的概念（2 2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或

2、缩短。）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。（1 1）受力特点：）受力特点：F FN1N1F FN1N1F FN2N2F FN2N2外力合力作用线与杆轴线重合外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。FFFF2.2 轴力及轴力图轴力及轴力图1.1.内力内力 , 0X0PFNPFN一、轴向拉压杆横截面的内力一、轴向拉压杆横截面的内力 轴力（用轴力（用FN 表示）表示）例：已知例：已知

3、外力外力 F，求：求：1 11 1截面的内力截面的内力FN 。解：解：FF11X=0, FN - F = 0, FFN（截面法确定）（截面法确定）截开截开代替代替，FN 代替代替平衡平衡FN = F。FNF以以1 11 1截面的右段为研究对象：截面的右段为研究对象：内力内力FN 沿轴线方向，所以称为轴力。沿轴线方向，所以称为轴力。2 2、轴力的符号规定、轴力的符号规定：压缩压缩压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸拉伸拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 FNFFFN（）（） FNFFFN（）（） 同一位置处左、

4、右侧截面上内力分同一位置处左、右侧截面上内力分量量(轴力轴力)必须具有相同的正负号。必须具有相同的正负号。二、轴力图二、轴力图1 1、定义：、定义： 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图形表示轴力沿杆件轴线变化规律的图形FFFNx+ 横坐标代表横截面位横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。置，纵轴代表轴力大小。标出轴力值及正负号标出轴力值及正负号 。 2 2、轴力图的意义、轴力图的意义 直观反映轴力与截面位置变化关系；直观反映轴力与截面位置变化关系； 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。面位置，为强度计算提供依据。

5、例例 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。的轴力图。解：解： 求求OA段内力段内力FN1：设截面如图：设截面如图0 X01NABCDFFFFF 05841NFFFFFFFN21ABCDFAFBFCFDOFN1ABCDFAFBFCFD求求CD段内力：段内力： 求求BC段内力段内力： 求求AB 段内力：段内力：0 X02DCBNFFFF0 X03DCNFFF04DNFF0 XFN3= 5F，FN4= FFN2= 3F

6、，BCDFBFCFD,21FFNFN2= 3F，FN3= 5F，FN4= FFN2FN3CDFCFDDFDFN4ABCDFAFBFCFDO轴力图如下图：轴力图如下图：FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3= 5F，FN4= FFN2= 3F，,21FFN+-总结上面例子得到以下结论：总结上面例子得到以下结论：轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小；轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小；集中外力多于两个时，轴力以分段函数表示，以集中力作用集中外力多于两个时，轴力以分段函数表示，以集中力作用点、分布载荷起止点为界点；点、分布载荷起止点为界点；轴力等于脱离体上所有轴向

7、外力的代数和；轴力等于脱离体上所有轴向外力的代数和；求轴力时外力的符号法则：求轴力时外力的符号法则： 法则法则1：外力外力“左左右右为正左左右右为正”(即左段外力向左为正即左段外力向左为正) 法则法则2：外力外力“离开截面为正，指向截面为负离开截面为正，指向截面为负”研究方法：研究方法：实验观察作出假设实验验证理论分析2.3轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉压杆横截面上的应力推导思路：实验推导思路：实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式应力的计算公式1 1、实验：、实验：受力前：受力前：受力后：受力后：FF受力前：受力前：受力后：受力后：FF2 2、变形规律：、变形规律：横

8、向线横向线仍为平行的直线，但间距增大，长度减小；仍为平行的直线，但间距增大，长度减小；纵向线纵向线仍为平行的直线，但间距减小，长度增加。仍为平行的直线，但间距减小，长度增加。3 3、平面假设：、平面假设：由表及里进行推断由表及里进行推断变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面平面假设；平面假设；各横截各横截面沿面沿轴向作相对平移，两截面间各纵向线绝对变形相同，轴向作相对平移，两截面间各纵向线绝对变形相同，应变应变也相同；也相同；横向线与纵向线始终保持垂直，切应变横向线与纵向线始终保持垂直，切应变为零。为零。4 4、应力的分布规律、应力的分布规律F从平面假

9、设可以判断：从平面假设可以判断：（1 1）各纵向纤维应变相等）各纵向纤维应变相等各点处正应力各点处正应力相等，为常量。即正应力在截面上均匀分布；相等，为常量。即正应力在截面上均匀分布；沿横截面均匀分布沿横截面均匀分布（2 2）切应变）切应变为零，故截面上无切应力。为零，故截面上无切应力。5 5、应力的计算公式：、应力的计算公式：AFAdNNFAAFN轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式apmN2aMpmmN27 7、正应力的符号规定、正应力的符号规定同内力同内力拉应力为正值，方向背离所在截面；拉应力为正值，方向背离所在截面；压应力为负值，方向指向所在截面。压应力

10、为负值，方向指向所在截面。6 6、拉压杆内最大的正应力、拉压杆内最大的正应力等直杆：等直杆：AFN maxmax变直杆：变直杆：maxmaxAFN8 8、公式的使用条件、公式的使用条件(1) 轴向拉压杆轴向拉压杆(即杆端处外力合力的作用线与轴线重合即杆端处外力合力的作用线与轴线重合)；(2) 杆横截面沿轴线变化不是很剧烈；杆横截面沿轴线变化不是很剧烈；(3)只适用于只适用于杆件杆件离离力系作用位置稍远的区域。力系作用位置稍远的区域。FDBCAaaa0)(FMC02aFaFABNFFNAB2MPaAFNAB150三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算1 1、斜截面上

11、应力确定、斜截面上应力确定(1) (1) 内力确定：内力确定：(2)(2)应力确定：应力确定：应力分布应力分布均布均布应力公式应力公式coscoscosAFAFAFpNFN = = FFpFFF FFN xFN 2 2、符号规定、符号规定 ：斜截面外法线与：斜截面外法线与 x 轴的夹角。轴的夹角。由由 x 轴逆时针转到斜截面外法线轴逆时针转到斜截面外法线“ ” ” 为正值；为正值；由由 x 轴顺时针转到斜截面外法线轴顺时针转到斜截面外法线“ ”为负值为负值 ：同：同“”的符号规定。的符号规定。 ：在保留段内任取一点，如果：在保留段内任取一点，如果“ ”对该点之矩为顺对该点之矩为顺时针方向，则规

12、定为正值，反之为负值。时针方向，则规定为正值，反之为负值。2coscos p2sin2sin ppcoscoscosAFAFAFpNF3 3、斜截面上最大应力值的确定、斜截面上最大应力值的确定:)1(max:)2(max,0max)0(横截面上。横截面上。0452max)2(45450 0斜截面上。斜截面上。,cos22sin2F FFNx 力学性能：在外力作用下材料在变形和力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。破坏方面所表现出的力学特性。 不同的材料具有不同的力学性能，材料不同的材料具有不同的力学性能，材料的力学性能可通过实验得到的力学性能可通过实验得到常温静载下常温

13、静载下的拉伸、压缩试验。的拉伸、压缩试验。2.4 材料的力学性质和基本试验材料的力学性质和基本试验拉伸标准试样：拉伸标准试样：dldl5 10 或或AlAl65. 5 3 .11 或或2.4.12.4.1低碳钢和铸铁的轴向拉伸试验低碳钢和铸铁的轴向拉伸试验试验装置：试验装置：变形传感器变形传感器试验原理与拉伸图：试验原理与拉伸图： F- -D Dl 曲线曲线 为了消除掉试件为了消除掉试件尺寸的影响，将尺寸的影响，将试件拉伸图转变试件拉伸图转变为材料的为材料的应力应力-应变图。应变图。A 原始横截面面积原始横截面面积 名义应力名义应力l 原始标距原始标距 名义应变名义应变弹性阶段弹性阶段: :o

14、A 此阶段试件变形完全是弹性的，且此阶段试件变形完全是弹性的，且与与成线性关系成线性关系E1 1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 ( (四个阶段四个阶段) )oA为直线段；为直线段；AA为微弯曲线段为微弯曲线段。tanE比例极限比例极限p 对应点对应点A弹性极限弹性极限e 对应点对应点A屈服阶段屈服阶段:BC:BC。 应力基本不变而应变显著增加，材料暂时应力基本不变而应变显著增加，材料暂时失去了抵抗变失去了抵抗变形的能力形的能力屈服现象，曲线呈屈服现象，曲线呈“锯齿形锯齿形”，产生的变形主，产生的变形主要是塑性变形。要是塑性变形。屈服极限屈服极限 对应点对应点B B（屈

15、服段内最低的应力值）。屈服段内最低的应力值）。s抛光的试件表抛光的试件表面上可见与轴面上可见与轴线成线成4545 的滑的滑移线，内部材移线，内部材料通过滑移修料通过滑移修复晶体中的错复晶体中的错位、缺位。位、缺位。强化阶段：强化阶段：CD 晶体结构经调整修复过后，晶粒排列整齐，承载能力提高，晶体结构经调整修复过后，晶粒排列整齐，承载能力提高，材料又恢复了抵抗变形的能力，此种现象称为材料又恢复了抵抗变形的能力，此种现象称为“强化强化”。曲线。曲线继续上升，如要增继续上升，如要增加应变，必须增大应力，加应变，必须增大应力，到达到达D点，应力最大。点，应力最大。强度极限强度极限b 对应点对应点D D

16、 ( (拉伸强度，最大应力拉伸强度，最大应力) )局部变形阶段（颈缩阶段）：局部变形阶段（颈缩阶段）：DEDE。 试件的试件的变形集中于变形集中于某一最弱横截面，纵向变形显著增加，某一最弱横截面，纵向变形显著增加，横截面面积迅速减小横截面面积迅速减小, ,出现出现“颈缩颈缩”现象，直至试件断裂，断现象，直至试件断裂，断口呈口呈“杯锥状杯锥状”。缩颈与断裂缩颈与断裂试件断裂过程图试件断裂过程图低碳钢拉伸破坏断面低碳钢拉伸破坏断面杯锥形断口杯锥形断口破坏原因：破坏原因：450斜截面上切应力引起的屈服斜截面上切应力引起的屈服破坏（滑移即破坏标志）。破坏（滑移即破坏标志）。卸载定律：卸载定律： 材料在

17、卸载过程中，材料在卸载过程中，应力与应变呈线性关系。应力与应变呈线性关系。1 1、弹性范围内卸载、再加载、弹性范围内卸载、再加载2 2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载pep 残余应变（塑性）残余应变（塑性）e_ 弹性应变弹性应变 沿沿O O1 1C C直线直线上升至当初卸上升至当初卸载位置，然后沿卸载前的曲线载位置，然后沿卸载前的曲线断裂断裂冷作硬化冷作硬化现象。现象。p 残余应变（塑性）残余应变（塑性）e_ 弹性应变弹性应变冷作硬化：冷作硬化：在常温下在常温下将材料预拉至强化阶将材料预拉至强化阶段，使之出现塑性变段，使之出现塑性变形后卸载，短期内再形后卸载，短期内再重新加载，

18、材料的重新加载，材料的比比例极限、屈服极限提例极限、屈服极限提高，延伸率（高，延伸率（塑性）塑性）降低降低的现象。的现象。时效钢时效钢冷作硬化对材料力学性能的影响：冷作硬化对材料力学性能的影响：比例极限比例极限 p屈服极限屈服极限s弹性模量弹性模量E 不变不变强度极限强度极限b不变不变残余变形残余变形p延伸率延伸率抗冲击能力抗冲击能力工程应用：工程应用：冷拉钢筋、冷拔钢冷拉钢筋、冷拔钢丝、冷轧钢板可以提高材料在丝、冷轧钢板可以提高材料在弹性阶段的承载能力。但材料弹性阶段的承载能力。但材料变脆，塑性降低，抗冲击能力变脆，塑性降低，抗冲击能力减弱，应力集中加剧。减弱，应力集中加剧。000100 D

19、 D ll 延伸率：延伸率：l试验段原长（标距）试验段原长（标距）D Dl0试验段残余变形试验段残余变形塑性（延性）：塑性（延性）： 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力。材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力。001100 AAA 断面收缩率：断面收缩率：塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等A 试验段横截面原面积试验段横截面原面积A1断口的横截面面积断口的横截面面积塑性材料与脆性材料：塑性材料与脆性材料：低碳钢：低碳钢：%3020%60典型塑性材料典型塑性材料共有的特点：共有的特点：

20、 断裂时具有较大断裂时具有较大的残余变形，均属塑的残余变形，均属塑性材料。性材料。 有些材料没有明有些材料没有明显的屈服阶段。显的屈服阶段。其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能：其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能：2004006005102015硬铝硬铝5050钢钢3030铬锰硅钢铬锰硅钢(%)MPa1200 对于没有明显屈服对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈阶段的材料用名义屈服应力表示服应力表示 2 . 0 卸载后产生卸载后产生0.2%0.2%的塑性的塑性应变时所对应的应力值。应变时所对应的应力值。 0.20.2 0.20.2% 名义屈服极限名义屈服极限2 . 0o0.2%2 . 0b确定的方

21、法是确定的方法是: :在在轴上取轴上取0.20.2的的点点, ,对此点作平行于对此点作平行于曲线的直线段的直线曲线的直线段的直线（斜率亦为（斜率亦为E E）, ,与与曲线相交点对应的应曲线相交点对应的应力即为力即为0.20.2。2 2、铸铁轴向拉伸时的力学性质、铸铁轴向拉伸时的力学性质 灰口铸铁在拉伸时的灰口铸铁在拉伸时的 曲线曲线特点：特点：1 1、无明显直线阶段，、无明显直线阶段，- - 曲线曲线从很低应力水平开始就是曲线；采从很低应力水平开始就是曲线；采用割线斜率作为弹性模量用割线斜率作为弹性模量E；2 2、无屈服、强化、颈缩现象，只、无屈服、强化、颈缩现象，只有唯一强度指标有唯一强度指

22、标btbt( (约约140MPa)140MPa)；3 3、延伸率非常小，断裂时的应变、延伸率非常小，断裂时的应变仅为仅为0.4%- 0.5% 0.4%- 0.5% ，拉伸强度，拉伸强度b b基基本上就是试件拉断时横截面上的真本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。实应力。 典型的脆性材料典型的脆性材料铸铁的拉伸破坏：铸铁的拉伸破坏：破坏原因：断口晶粒明显，是横截面上破坏原因：断口晶粒明显，是横截面上的正应力造成的断裂破坏。的正应力造成的断裂破坏。低碳钢的低碳钢的压缩试样：压缩试样：1 1、低碳钢在轴向压缩时的力学性质、低碳钢在轴向压缩时的力学性质2.4.2 2.4.2 低碳钢和铸铁的轴向压缩试验

23、低碳钢和铸铁的轴向压缩试验低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验特点：特点：1 1、弹性阶段，屈服阶、弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。段均与拉伸时大致相同。比例极限比例极限p弹性极限弹性极限e屈服极限屈服极限SE弹性模量弹性模量2 2、材料延展性很好，不会、材料延展性很好，不会被压坏，故没有强度极限。被压坏，故没有强度极限。 超过屈服阶段后，外力增加，面超过屈服阶段后，外力增加，面积同时增加，应力始终达不到材料积同时增加，应力始终达不到材料的极限应力，无破裂现象产生。的极限应力，无破裂现象产生。低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验 O bL灰铸铁的灰铸铁的拉伸曲线拉伸曲线 by灰铸铁的灰铸铁的压缩

24、曲线压缩曲线2、铸铁在轴向压缩时的力学性质、铸铁在轴向压缩时的力学性质特点：特点： 1 1、压缩时的、压缩时的b和和 均比拉伸时均比拉伸时大得多，大得多， ; ; blby)54(抗压能力远强于抗拉能力，宜抗压能力远强于抗拉能力，宜做受压构件；做受压构件；2 2、即使在较低应力下其、即使在较低应力下其- - 曲线也只近似符合胡克定律曲线也只近似符合胡克定律; ;3 3、最终沿着与、最终沿着与轴线轴线大致大致成成45455050 的斜截面发生错动的斜截面发生错动而破坏。而破坏。铸铁压缩实验铸铁压缩实验破坏时断裂面与轴线破坏时断裂面与轴线大致大致成成45o 5050o o。铸铁的压缩试验：铸铁的压

25、缩试验：破坏原因：破坏原因：断口粗糙，断口粗糙，晶粒不明显，是斜截面晶粒不明显，是斜截面上的切应力导致的破坏。上的切应力导致的破坏。其它脆性材料压缩时的力其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，工程学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压构件。上一般作为抗压构件。材料强度、材料强度、弹性常数弹性常数随温度变化的关系随温度变化的关系中炭钢中炭钢硬铝硬铝变形：变形：塑性材料变形能力大，破坏前变形明显，而脆性材料塑性材料变形能力大，破坏前变形明显，而脆性材料在没有发生明显塑性变形前就已经发生断裂。在没有发生明显塑性变形前就已经发生断裂。强度：强度：塑性材料抗拉和抗压能力都很强，脆性材料抗压能力塑性材料抗

26、拉和抗压能力都很强，脆性材料抗压能力远强于抗拉能力。远强于抗拉能力。抗冲击能力：抗冲击能力：塑性材料抗冲击能力强，而脆性材料易碎易破。塑性材料抗冲击能力强，而脆性材料易碎易破。应力集中：应力集中：常温静载时，应力集中对塑性材料强度的影响可常温静载时，应力集中对塑性材料强度的影响可以不考虑，但应力集中会严重降低脆性材料的强度；变载下，以不考虑，但应力集中会严重降低脆性材料的强度；变载下，两类材料都会受应力集中的影响。两类材料都会受应力集中的影响。材料性能：材料性能：材料的塑性、脆性随受力条件和温度条件变化而材料的塑性、脆性随受力条件和温度条件变化而变化。变化。思考题：思考题：用这三种材料制成同尺

27、寸拉杆，用这三种材料制成同尺寸拉杆，请回答如下问题：请回答如下问题：哪种强度最好？哪种强度最好？哪种刚度最好？哪种刚度最好？哪种塑性最好？哪种塑性最好？请说明理论依据？请说明理论依据？三种材料的应力三种材料的应力应变曲线如图：应变曲线如图：123极限应力：极限应力：杆件中的应力随着外力的增加而加大，当其达到某杆件中的应力随着外力的增加而加大，当其达到某一极限时，材料将因变形过大或断裂而不能再使用，此极限值一极限时，材料将因变形过大或断裂而不能再使用，此极限值称为极限应力，以称为极限应力，以 “ “jx”（u、0）表示。）表示。1 1、极限应力、极限应力（危险应力、失效应力）（危险应力、失效应力

28、）2.5 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算所以，要使构件安全工作，工作应力不能超过极限应力，即所以，要使构件安全工作，工作应力不能超过极限应力，即jxNAF但是满足以上条件时构件仍有可能失效，因为：但是满足以上条件时构件仍有可能失效，因为：（1）载荷分析计算的精确性。载荷分析计算的精确性。作用在构件上的外力常常难以作用在构件上的外力常常难以准确估计；准确估计；（2）计算模型的简化具有近似性。计算模型的简化具有近似性。构件的外形及受力极其复构件的外形及受力极其复杂，需进行简化建模计算，模型与实际结构不可能完全相符；杂，需进行简化建模计算，模型与实际结构不可能完全相符；（3）材料缺陷。材料缺陷。材

29、料均匀、连续、各向同性假设与实际构件材料均匀、连续、各向同性假设与实际构件有出入，且小试样还不能真实地反映所用材料的性质；有出入，且小试样还不能真实地反映所用材料的性质；（4）实际构件的重要性。实际构件的重要性。必须引入安全系数必须引入安全系数工作应力：工作应力：AFN极限应力：极限应力：塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：）（2 . 0Sjxbjx塑性材料的许用应力：塑性材料的许用应力： sssnn2 .0脆性材料的许用应力：脆性材料的许用应力： bbn许用应力许用应力: :构件安全工作时的最大应力。构件安全工作时的最大应力。n n 安全系数（大于安全系数（大于1 1）2 2、安全系数、

30、许用应力、安全系数、许用应力 njx安全系数取值考虑的因素：安全系数取值考虑的因素：载荷分析计算的精确性载荷分析计算的精确性;计算模型简化的近似性计算模型简化的近似性;材料的不均匀性材料的不均匀性; 构件的重要性。构件的重要性。一般一般ns =1.41.7；nb =253 3、强度条件：、强度条件： 要使拉压杆有足够的强度，能够安全可靠地工作，要使拉压杆有足够的强度，能够安全可靠地工作，要求杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即强要求杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即强度条件为：度条件为： AFN maxmax等直杆等直杆：AFNmaxmax变直杆变直杆：maxmaxAFN（3 3

31、）确定外荷载确定外荷载已知：已知： 、A。求：。求：F。FNmax A。 F（2 2）设计截面尺寸设计截面尺寸已知：已知：F、 。求：。求：A解解： AFN maxmaxA F FNmax 。4 4、强度条件的应用：、强度条件的应用： （解决三类强度问题）（解决三类强度问题）（1 1）校核强度校核强度已知：已知：F、A、 。求：。求：解：解： AFN maxmax？ max？解：解：AFN maxmax例例 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径，直径 d =14mm，许用应力，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度校核强度

32、) )。解解：1、轴力、轴力FN =F =25kNAFNmax2、应力、应力：3、强度校核：、强度校核： 170MPa162MPamax此杆满足强度要求，能够正常工作。此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25KNXFN24d F23014014310254.MPa162例例 油缸盖与缸体采用油缸盖与缸体采用6 6个螺栓连接。已知油缸内径个螺栓连接。已知油缸内径D=350mmD=350mm，油压油压p=1MPap=1MPa。螺栓许用应力。螺栓许用应力=40MPa=40MPa， 求螺栓的内求螺栓的内径。径。pDF24每个螺栓承受轴力为总压力的每个螺栓承受轴力为总压力的1/61/6解：解： 油缸盖受

33、到的力油缸盖受到的力根据强度条件根据强度条件 AFNmax 22.6mmm106 .22104061035. 0636622pDd即螺栓的轴力为即螺栓的轴力为pDFFN2246 NFA得得 24422pDd即即螺栓的直径为螺栓的直径为Dp例例 已知简单构架：杆已知简单构架：杆1 1、2 2截面积截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许材料的许用拉应力用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F F的许用值的许用值 F解：解：1. 轴力分析轴力分析0 , 0 yxFF由由)( 2N1拉伸拉伸FF)( N2压缩压缩FF2,t1t11AFA

34、FNkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2AFkN 14.14 F2. 利用强度条件确定利用强度条件确定F（A1=A2=100 mm2，许用拉应力，许用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa）2.6 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。LLD1 1、轴向变形、轴向变形：EALFLNDL1L1aa1bbAFN L= L1 - L ，lEElD（虎克定律的另一种表达方式）虎克定律的另一种表达方式）,lF lD 1lEAD

35、 EA抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度(构件抵抗弹性变形的能力构件抵抗弹性变形的能力) D Dl伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 2 2、横向变形：、横向变形：bbbD1横向线应变：横向线应变：aaD横向变形系数（泊松比）横向变形系数（泊松比）：,1aaaDbbD在弹性范围内：在弹性范围内：L1L1aa1bb钢材的钢材的E约为约为200GPa200GPa，约为约为0.250.250.330.33 1113nni ii iiiN llN lnEAEA D D a. 等直杆受图等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）均相同） b. 阶梯杆，各段阶梯杆，

36、各段 EA 不同，计算总变形。不同，计算总变形。 DDDDiiiNiAELFLLLL321c. 轴向变形的一般公式轴向变形的一般公式)(d)()d(NxEAxxFl D D D DlxxEAxFld)()(N例例 试分析杆试分析杆AC 的轴向变形的轴向变形 D Dl分段求解分段求解: :12N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1DEAlFEAlFF22112)( EAlFEAllFl11212)(DF2FaaABCFNx xF3F例例 ：已知杆件的：已知杆件的 E E、A A、F F、a a 。求：求：L LAC 、B B（B B 截面位移）截面位移）AB （AB 段的线应变）

37、。段的线应变）。解：解：1)1)画画 FN 图：图：2) 2) 计算：计算：DEALFLN).1 (EAFaLBCB3).2(DEAFaEAFaLLABABABD).3(BCABACLLLDDDEAFaEAFaEAFa43负值表示位移向下负值表示位移向下2-7 2-7 拉压变形的超静定问题拉压变形的超静定问题静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力静定问题静定问题 超静定超静定：结构或杆件的未知力个数多于有效静力方程的个数，结构或杆件的未知力个数多于有效

38、静力方程的个数， 利用静力方程不能求出所有的未知力利用静力方程不能求出所有的未知力超静定问题超静定问题 工程上常采用增加约束或构件的措施来提工程上常采用增加约束或构件的措施来提高结构的强度和刚度，由此增加了未知内力个高结构的强度和刚度，由此增加了未知内力个数，形成超静定系统。数，形成超静定系统。 ABC12PD3A1NF2NFP. 0, 0YXA1NF2NFP3NF多余约束多余约束超静定的次数超静定的次数= = 未知力个数未知力个数 平衡方程个数。平衡方程个数。超静定问题的求解超静定问题的求解步骤：步骤：2 2、根据变形协调条件列出几何方程、根据变形协调条件列出几何方程( (画变形位移图画变形

39、位移图) )。3 3、根据物理方程、根据物理方程( (变形与内力关系变形与内力关系) )写出补充方程。写出补充方程。4 4、联立静力平衡方程与补充方程求出所有的未知力。、联立静力平衡方程与补充方程求出所有的未知力。1 1、根据平衡条件列平衡方程、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。确定超静定的次数）。2.7.1 2.7.1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法 例例 求图中所示等直杆求图中所示等直杆AB上上,下端的约束力，并求下端的约束力，并求C截面的位截面的位移。杆的拉压刚度为移。杆的拉压刚度为EA。 解解: :F FA A+ F+ FB B- F = 0- F = 0，故为一次超静

40、定问，故为一次超静定问题。去掉多余约束，代之以约束反力和题。去掉多余约束，代之以约束反力和位移限制条件。位移限制条件。2.2.位移限制条件：位移限制条件：0BFBFBB叠叠加加法法：0DDDBCACABBlll或3.3.补充方程：补充方程：0EAlFEAFaB0EAalFEAaFFBB或由此求得：由此求得：lFaFB 所得所得FB B为正值，表示为正值，表示FB B的指的指向与假设指向相符，即向上。向与假设指向相符，即向上。 4.4.由平衡方程：由平衡方程：0FFFBAlFblFaFFA/ 得5.5.利用相当系统利用相当系统( (图图b)b)求得求得lFbFFFBNAC/EAlFabEAlFl

41、ACNACACCD法二：由连续条件：法二：由连续条件：BCACllDD几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：物理物理方程变形与受力关系方程变形与受力关系) 1 (0sinsin032NNFFX)2(0coscos0132FFFFYNNNcos132LllDDD113221111132222232cos2F ; cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNN)3(cos11112222补充方程AELFAELFNNABDC213 11332232,AEAEAEll，求：各杆的内力。求：各杆的内力。FN2A FN3FN1yxFF1A2A2lD3A3lD1lDcos132LllDDD补补充

42、充方方程程cos11112222AELFAELFNN2112212cosAEAEFFNNABDC213 F1A2A2lD3A3lD1lD温度应力温度应力：因温度变化而引起的杆件应力变化值。这是超静定因温度变化而引起的杆件应力变化值。这是超静定结构与静定结构的区别之一。结构与静定结构的区别之一。 在静定结构中，杆件能自由伸缩，由温度变化而引起的在静定结构中，杆件能自由伸缩，由温度变化而引起的变形不会在杆中引起应力；变形不会在杆中引起应力；2 2、超静定问题存在温度应力。、超静定问题存在温度应力。 在超静定结构中，由温度变化而引起的变形受到约束或在超静定结构中，由温度变化而引起的变形受到约束或其它

43、构件的限制，杆件不能自由伸缩，杆件内将产生应力。其它构件的限制，杆件不能自由伸缩，杆件内将产生应力。温度引起的变形量温度引起的变形量tLLDD为线膨胀系数为线膨胀系数杆件的变形杆件的变形 由温度变化引起的变形由温度变化引起的变形温度内力引起的弹性变形温度内力引起的弹性变形2.7.2 2.7.2 温度应力温度应力例题：例题：已知：已知：, ,lEA lTDl材料的线胀系数材料的线胀系数TD温度变化（升高）温度变化（升高）1、解除、解除B端约束，杆件因温度升高产生变形而自由伸长端约束，杆件因温度升高产生变形而自由伸长TllT lDD 2、杆端作用产生的缩短、杆端作用产生的缩短RBF llEAD 3

44、、变形条件、变形条件0TlllD DD 4、求解未知力、求解未知力RBlFEATDRBTlFE TADRBlF lT lEAD 即即温度应力为温度应力为ABlABRBFTlDRAF求：杆内温度应力求：杆内温度应力例例 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A A、L L、E E，求：当，求：当1杆杆温度升高温度升高 时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数TDB BC C12aa3AB BC C1203, 021aFaFMNNc2、几何方程几何方程：aa3 AATlD解除解除1 1杆约束，使其自由膨胀，杆约束，使其自由膨胀，

45、A A点移至点移至A”A”；在约束作用下，刚；在约束作用下，刚性横梁性横梁ABAB最终停留在最终停留在ABAB 位置。位置。 AB2lD2NF1NFABCCR1lDalallT321DDDEALFlTLlNT11,DDD,22EAlFlND3、物理物理方程：方程：,1091TlEAFND,1032TlEAFND,56TlEARCDCABD1230sinsin21NNFFX0coscos321NNNFFFYFAFN1FN3FN2CABD123A11LD2LD3LD(2) (2) 几何方程几何方程cos31LLDDiiiiiNiiLTAELFLDD(3) 物理方程：物理方程：(4) 补充方程补充方

46、程：(5) 解平衡方程和补充方程，得解平衡方程和补充方程，得:cos)(333333111111LTAELFLTAELFNNDD / cos21)cos(331132311121AEAETAEFFNND / cos21cos)cos(233113231113AEAETAEFND工程中常采用适当措施来避免或降低温度应力：工程中常采用适当措施来避免或降低温度应力：在铁轨接头之间留空隙；在铁轨接头之间留空隙；混凝土路面或大桥面留伸缩缝；混凝土路面或大桥面留伸缩缝；蒸汽管道预留伸缩节；蒸汽管道预留伸缩节；桥梁、桁架一端采用辊轴支座；桥梁、桁架一端采用辊轴支座；大桥在春末夏初合龙；大桥在春末夏初合龙；合理选材；合理选材；采用隔热保温层。采用隔热保温层。防止温度应力的措施防止温度应力的措施蒸汽管道预留伸缩节蒸汽管道预留伸缩节 大型热加工构件，由于内外冷却速度不一致，大型热加工构件，由于内外冷却速度不一致，从而在内部产生很大的残余应力：从而在内部产生很大的残余应力：经过热锻的大型轧辊，在无载荷作用下自