自动控制原理 第五章 控制系统频率特性法

1、1 51 基本概念基本概念 52 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 53 系统开环频率特性系统开环频率特性 54 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 55 闭环系统的性能分析闭环系统的性能分析 56 系统传函的试验确定法系统传函的试验确定法21. 基本概念基本概念频率特性的定义及其与时间响应的关系频率特性的定义及其与时间响应的关系2. 表示方法表示方法 一般坐标、极坐标、对数坐标、尼氏图一般坐标、极坐标、对数坐标、尼氏图3. 典型环节的频率特性典型环节的频率特性4. 开环系统频率特性的绘制开环系统频率特性的绘制极坐标、对数坐标极坐标、对数坐标5. 稳定判据稳定判据奈氏判据奈氏判据6. 稳定裕度稳定裕

2、度幅值裕度、相角裕度幅值裕度、相角裕度7. 闭环系统的性能分析（稳态、暂态）闭环系统的性能分析（稳态、暂态）8. 传递函数的实验确定法传递函数的实验确定法3 开环系统频率特性的绘制开环系统频率特性的绘制极坐标、对数坐标极坐标、对数坐标 稳定判据稳定判据奈氏判据奈氏判据 闭环系统的性能分析闭环系统的性能分析 重重 点点难难 点点频率特性的绘制与奈氏判据频率特性的绘制与奈氏判据4 一般来说，系统工作性能用时域特性度量一般来说，系统工作性能用时域特性度量为最好，但高阶系统的时域特性很难用分析法为最好，但高阶系统的时域特性很难用分析法确定故引出了频率特性法，不用解方程，也不确定故引出了频率特性法，不用

3、解方程，也不用求特征根，而是利用系统的频率响应图以及用求特征根，而是利用系统的频率响应图以及频率响应与时间响应的某些关系解决系统的设频率响应与时间响应的某些关系解决系统的设计和分析问题，间接的运用系统开环频率特性计和分析问题，间接的运用系统开环频率特性分析闭环响应，是一种图解法，非常形象直观。分析闭环响应，是一种图解法，非常形象直观。RCrucu5-1 基本概念基本概念rccuudtduT11 Ts)s(G当当rmrUu sint时，时， 5-1 基本概念基本概念)(1111)()()(22 jsjsTsTUsUTssRsGsUrmrmc jsCjsBTsA 122 sTUrm221TUTrm

4、 A =TjtgrmrmjsejTUjsTsTUB 1211)(1(lim22 TjtgrmrmjsejTUjsTsTUC 1211)(1(lim22 5-1 基本概念基本概念Ts1lim5-1 基本概念基本概念 jsejTUTsTUTsUTjtgrmrmc 1211111)(12222jeeTUeTUTtuTtgtjTtgtjrmTtrmc211)()()(222211 jsejTUTjtgrm 1211122)sin(11)(12222TtgtTUeTTUturmTtrmc )sin(sin1122ccmrmtctUTtgtTUtu 用有效值表示：用有效值表示： ccctUtu sin2)

5、(221TUUrc 所所以以有有：2211TUUrc 即即，tUturr sin2)( 的的函函数数。有有关关，是是与与 t 函函数数也也是是的的有有关关，也也与与且且 Ttgccrc10 统统称称频频率率特特性性。网网络络的的相相频频特特性性为为网网络络的的幅幅频频特特性性为为因因此此称称 RCTtgRCTUUAcrcrc 122)(11)(绘制频率特性图如下页所示绘制频率特性图如下页所示一一致致。变变化化而而变变化化时时得得出出结结论论随随的的容容抗抗。这这与与电电路路中中分分析析电电容容迟迟后后，时时，。当当迟迟后后且且也也不不大大。当当迟迟后后的的幅幅值值几几乎乎相相等等，相相角角和和

6、较较低低时时，的的可可见见：当当 900ccccrcrUUUUU又又有有相相角角。因因此此它它们们既既有有幅幅值值，均均为为向向量量，在在电电路路中中，cRrcRrUUUUUU ,IRUCUrU ATjjGjG11)(）表表示示：（用用TjeTjeTTjjTjtg 11111111221 完完整整的的向向量量：因因此此在在复复平平面面上上构构成成了了），（，又又有有相相角角值值而而频频率率特特性性同同样样既既有有幅幅A )tsin()(sin)(c CtctRtrr，则则一一般般系系统统： c CjCRjRr）（，即即 jGARCRCjRjCrcrc )(则则定义：频率特性定义：频率特性指线性

7、系统或环节在正弦函数作指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。率的关系特性。二、频率特性和传递函数的关系二、频率特性和传递函数的关系 ，若若有有tctr，则则有有)()()(sRsCsG npspspssNsDsNsG 21设设 ，若若tRtr sin )(22 jsjsRsRsR 则则 )(21 jsjsRpspspssNsRsGsCn jsBjsBpsCniii 211 。则则tjtjtpniieBeBeCtci 211，对对于于稳稳定定系系统统0lim1 nitpitieC tjtjseBeBtc 21则则有有 ，且且jRjGjs

8、RsGBjs21)(lim1 为为复复数数。此此时时jG ， jGjejGjG jeAjG 假假设设 jRjGjsRsGBjs21)(lim2 ，则则 jeAjG ，则则 jeAjRB21 jeAjRB 22 )(sin2)( ctjtjsCtARjeeARtc 性性，正正好好是是系系统统的的幅幅频频特特则则有有 jGRCA 。正正好好是是系系统统的的相相频频特特性性rcjG )()(sGsjjsjG 因因此此有有 ，也也不不趋趋向向于于，也也不不趋趋于于则则tctctcst)(0三、正弦输入信号下三、正弦输入信号下 ess 的计算的计算时时，当当tRtr sin)( 在在虚虚轴轴上上不不解解

9、析析。22)( sRsR 所以，不能用终值定理求其所以，不能用终值定理求其ess ，此时可用频率特，此时可用频率特性法求。性法求。 例例1 sse2sin5，求求已已知知：ttr 21111111 sssGske 4 .1879. 0)454 .63(410) 12(22212111222tgtgjjje 4 .1895. 3054 .1879. 0 jRjjEe ，当当然然，也也可可用用tctrte ，但但比比较较繁繁。，再再求求先先求求)( jEjC解：解：)4 .182sin(95. 3)( tte 分分开开画画。和和特特点点 A 曲曲线线。和和 A（二）极坐标特性曲线（二）极坐标特性曲

10、线(也叫奈奎斯特曲线也叫奈奎斯特曲线)： ）为为相相角角，（）为为幅幅值值，（以以 A)()(jeAjG 时时的的特特性性曲曲线线。在在复复平平面面上上画画出出 0 TjtgeTjG 12211)(RC 网网络络例例如如： 0)0(1)0(0 A 90)(0)( A 01j=0=1/T- -：Nyquist 曲线曲线识识）弧弧度度为为单单位位。识识（不不以以l lg g值值来来标标以以值值来来标标上上某某个个刻刻度度上上我我们们通通常常是是对对数数分分度度，在在横横坐坐标标，而而对对来来说说对对于于l lg g是是线线性性分分度度横横坐坐标标以以对对数数分分度度，即即。，单单位位为为d dB

11、B的的对对应应值值G G( (j j）画画的的为为2 20 0l lg g纵纵坐坐标标以以线线性性分分度度，所所2 20 0l lg gA A( () )其其定定义义为为：L L( () ) 对数幅频特性对数幅频特性对数分度的特点：对数分度的特点：当变量增大或减小当变量增大或减小10倍（十倍频程）时，坐标间距离变化一倍（十倍频程）时，坐标间距离变化一个单位长度。个单位长度。对数坐标系对数坐标系L() (dB)L()=20lgA()0.11101002 31246 810204060 80 100lg 0 1 2 0轴轴不不能能取取 注意注意对数频率特性曲线对数频率特性曲线(伯德图伯德图)。或弧

12、弧度度线线性性分分度度纵纵坐坐标标以以度度横横坐坐标标同同前前。0.11101002 3对数相频特性对数相频特性（）（弧度或度）（弧度或度）对数频率特性曲线对数频率特性曲线(伯德图伯德图) 作作都都为为线线性性分分数数，），（性性，纵纵坐坐标标为为对对数数幅幅频频特特标标为为相相频频特特性性横横坐坐特特性性合合并并为为一一条条曲曲线线，将将对对数数幅幅频频特特性性和和相相频频 L为一个参变量标在曲为一个参变量标在曲线上相应点的旁边，线上相应点的旁边，此曲线称为尼柯尔斯此曲线称为尼柯尔斯图。图。28)( A0 )( 0 0jKeKjG 1、一般坐标：、一般坐标： KA 00 2、极坐标：、极坐标

13、： ），的一个点（的一个点（就是在实轴上就是在实轴上00jKKejGj j0K K293、对数坐标、对数坐标： 0)( KLlg20 )( L0 )( 00.11100.1110Klog2030二积分环节与微分环节二积分环节与微分环节1、一般坐标：、一般坐标： )(1双双曲曲线线 A )(90无无关关与与 9011jejjG 积分环节积分环节 90jejjG 微分环节微分环节积分积分微分微分 )45(直线直线 A )(90无无关关与与 0-90090A(）0 0 00)(积分积分微分微分31 900)0(0 A 900)( A2、极坐标：、极坐标：沿虚轴从无穷远处指向原点。沿虚轴从无穷远处指向

14、原点。 901jejG （1）积分：）积分：（2）微分：）微分： 90jejG 从原点向虚轴正方向无限延伸，与积分环节相加形从原点向虚轴正方向无限延伸，与积分环节相加形 成虚轴。成虚轴。j0积分积分微分微分323.对数坐标：对数坐标： lg201lg20 LdbL20)(,1.0 每十倍频程下降每十倍频程下降20db，一条斜率为一条斜率为-20的直线。的直线。 无无关关。与与 90（1）积分环节：）积分环节：)( L0 0.1110)( 00.1110db20dbL0)(,1 -20dbL20)(,10 -200-90积分积分微分微分33)( L0 0.1110)( 00.1110db20-2

15、0-200-90积分积分微分微分（2）微分环节：）微分环节： lg20 LdbL20)(, 1 .0 无无关关，与与 90dbL20)(,10 dbL0)(, 1 +20与与积积分分环环节节互互为为镜镜像像。090积分环节与微分环节的频率特性（续）积分环节与微分环节的频率特性（续）34惯性环节惯性环节TjtgeTTjjGTG 1221111)(1s1s)( ，三惯性环节与一阶微分环节三惯性环节与一阶微分环节一阶微分一阶微分 TjtgeTTjjGTG 12211)(1ss)( 351、一般坐标：、一般坐标：（1）惯性环节）惯性环节2 22 21 11 1 TjGA )()( TjG1tan)(

16、( () )T1TTTT543201234)(A0900450 0 0-900-45)( T1T2T3T4T5惯性惯性一阶微分一阶微分（2）一阶微分环节）一阶微分环节 11)(22从从TA 9001从从Ttg 362、极坐标：、极坐标： （1）惯性环节）惯性环节TjtgeTTjjG 1221111)( 21j01（2）一阶微分环节）一阶微分环节 90450)(,2)(,11)(, 0jjjejGejGTejG TjtgeTjG 1221)( ）点点的的直直线线。，过过（轴轴且且是是一一条条平平行行于于 j1j半径为半径为0.5、位于第四、位于第四象限的半圆。象限的半圆。惯性惯性一阶微分一阶微分

17、37dbL)( 0 0)( 3、对数坐标、对数坐标（1）惯性环节）惯性环节 3 .8404.2010 dbLT 4 .8940100 dbLT 221lg20TL T 1tan ）（ 7 . 504. 0101 dbLT 4531 dbLTT1 . 0T1T10T100T1 . 0T1T10T100-20-40-45-9038dbL)( 0 0)( T1 . 0T1T10T100T1 . 0T1T10T100-20-40-45-90 9000从从从从可可见见 dbL )7 . 5(903 .84107 . 51 . 0TT 且且 线线奇奇对对称称。曲曲线线对对故故 45 39 dbLTT01l

18、g20,11 时时即即时，时，当当 TLTT lg20,11 时时即即时时，当当T1200组组成成，转转折折频频率率为为两两段段直直线线和和由由 dbL)( 0 0)( T1 . 0T1T10T100T1 . 0T1T10T100-20-40-45-900-2040（2）一阶微分环节）一阶微分环节 000900451 线线奇奇对对称称：对对，与与惯惯性性环环节节互互为为镜镜像像折折 TdbL)( 0 T1 . 0T1T10T100T1 . 0T1T10T100-2020 0)( -45-9090450+20左左右右移移动动。近近线线形形状状不不变变，只只渐渐变变化化，但但改改变变时时，)(1

19、LTT 41四、振荡环节与二阶微分环节四、振荡环节与二阶微分环节 nnnssTssTsG 21212222振荡环节振荡环节 nnnnnjjjG 21122222 二阶微分环节二阶微分环节 2211222222222)2(12112 TTjtgeTTTjTjGTssTsG 421、极坐标：、极坐标：（1）振荡环节）振荡环节21)(12tan222211nnjnnejG ）（）（）（）（AAAn j01 21)( nA 43（2）二阶微分环节）二阶微分环节 1809021010 ）（）（）（AATA 22112tan2222)2(1 TTjeTTjG j01 21)( n

20、A 2)1( TA二阶微分环节二阶微分环节振荡环节振荡环节44222)2()(1lg20)(lg20)(nnAL 21)(12)(nntg （1）振荡环节）振荡环节 180)()(90)()2lg(20)(0)0(0)0(0 dbLLdbLnnn45n n d bL )( )( 0.1110-404090180-180-9000.1110减减小小 增增大大 n n dbL)( 46线线奇奇对对称称。于于曲曲线线对对可可见见： 90)( 而且，不同的阻尼而且，不同的阻尼比，可以得到不同比，可以得到不同的频率特性。阻尼的频率特性。阻尼比越小，谐振峰值比越小，谐振峰值越大。但相频特性越大。但相频特性

21、在固有角频率处都在固有角频率处都是是- 90 。47，时时，1 nn dbL01lg20)( 则则，时时，1 nn 直直线线为为则则40),lg(40)lg(20)(lg20)(24 nnnL ，这这时时dbLn01lg20)( 有有关关；与与 时时正正好好相相等等。只只有有在在5 . 0 应应修修正正。内内取取较较好好，其其它它阻阻尼尼比比故故7 . 04 . 0 ，只只左左右右移移动动。改改变变时时，曲曲线线形形状状不不变变n 为为转转折折频频率率，n 附附近近误误差差较较大大。n 48)( 0.1110-404090180-180-9000.1110n n dbL)( 0- 4049（2

22、）二阶微分）二阶微分 222221lg20）（ TTL 22112tanTT 直直线线。，为为时时，时时，折折折折折折40lg40,01 TLdbLT 线线奇奇对对称称。曲曲线线对对 90 bodebode图与振荡环节的对应图形关于横轴对称图与振荡环节的对应图形关于横轴对称. .50n n dbL)( )( 0.1110-404090180-180-9000.111051)( 0.1110-404090180-180-9000.1110n n dbL)( 0+ 4052五延时环节：五延时环节： jjseejGesG 1)(1 1、一般坐标：、一般坐标：)( 1)(无无关关与与 A )0( -5

23、7.3。-229.2。-114.6。012L()1341234)( -171.9。532 2、极坐标：、极坐标：的单位圆。的单位圆。为为圆心在原点半径圆心在原点半径11)( jejG 1=00j延迟环节（续）延迟环节（续）543 3、对数坐标：、对数坐标： 无无关关）与与 (01lg20dbL 延迟环节（续）延迟环节（续）-57.3。0.1110-573。0.1110L()( 0从从 )(111111111011102121mnasasasabsbsbsbsTsTsTssssKGnnnnmmmmnmk 的的起起始始段段：、01 )2(lim)(limlim000 KjKjG。和和起起始始段段只

24、只取取决决于于K 大大。不不同同，起起始始段段的的差差异异很很 0 j=2=2K=0=0=1=1=3=35-3 系统开环频率特性系统开环频率特性的的终终止止段段：、 2 jsmnjsnmsabsasbjG 0000limlimlim2)(02)(lim00 mnmnabmn 0j 以确定的角度以确定的角度收敛于原点收敛于原点。得到曲线与实轴的交点得到曲线与实轴的交点中即可中即可，代入，代入，求得，求得令令)(Re0)( jGjGIkkm 3. 确定幅相曲线与实轴的交点：确定幅相曲线与实轴的交点：4. 4. 确定曲线与虚轴的交点：确定曲线与虚轴的交点：中中即即可可。，代代入入，求求得得令令)(0

25、)(Re jGIjGkmk 起起来来。值值，得得几几个个点点，最最后后连连另另外外选选几几个个合合适适的的 ，绘制极坐标图。，绘制极坐标图。已知已知)05. 01)(2 . 01(10sssGk 例例1：1, 0, 3 mn已已知知 90)0( jGk解：解： 2700)( jGk)05. 01)(2 . 01(10)( jjjjGk )05. 01)(05. 01)(2 . 01)(2 . 01()05. 01)(2 . 01(10 jjjjjjj )01. 01()25. 0()01. 01(25. 0102222 j)10(10100001. 010)(22 取取即即，令令jGIkm 1

26、2214 . 00j 。即即原原点点求求得得，再再令令)(0)(Re jGk，则则计计算算出出：若若选选4 。23. 147. 1)4(jjG 点，点，即为即为中：中：代入代入)0, 4 . 0(4 . 0)1025. 0(101025. 010)(Re2jjG 二、开环对数频率特性：二、开环对数频率特性：321)(GGGsGk jGjGjGjGk321)( 321321jjjeAeAeA jijieAeAii 3131 3131lg20)(lg20)(lg20)(iiiiAAAL 31ii 之之代代数数和和。各各环环节节的的对对数数相相频频特特性性系系统统开开环环对对数数相相频频特特性性之之

27、代代数数和和。各各环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性故故 线线绘绘制制较较容容易易。互互为为镜镜像像等等特特点点，使使曲曲曲曲线线的的平平移移性性和和的的奇奇对对称称性性，再再利利用用 L)( 可见：可见：用对数表示频率特性后，变乘除为加减用对数表示频率特性后，变乘除为加减 .，) 105. 0() 15 . 0(10)20() 2(100)( sssssssG绘制对数频率特性。绘制对数频率特性。 （一）环节曲线迭加法：（一）环节曲线迭加法：例例2 ：解：四个典型环节：解：四个典型环节：dbLG2010lg2010)1(11 ： 01 lg201)2(

28、22 LsG：20, 1201lg2012011)3(1233 折折： LsG2013 tg 直直线线）20(902 2, 121lg20121) 4(2244 折折： LsG214 tg L-20-20L1-20L2 2 2 4 4-20L3 3 3L4+2010.110100 202Ldb02040 )-90000900 1 143214321, LLLLL最最后后 因为开环传递函数是由若干个典型环节串联而因为开环传递函数是由若干个典型环节串联而成，而且典型环节的对数曲线均为不同斜率的直线或成，而且典型环节的对数曲线均为不同斜率的直线或折线，所以迭加后的开环对数频率特性仍为由不同斜折线，所

29、以迭加后的开环对数频率特性仍为由不同斜率的线段组成的折线。率的线段组成的折线。 所以只要确定低频起始段的位置和斜率，并能确所以只要确定低频起始段的位置和斜率，并能确定线段转折频率以及转折后线段的斜率变化量，就可定线段转折频率以及转折后线段的斜率变化量，就可以从低频到高频一气呵成。以从低频到高频一气呵成。环节曲线迭加法（续）环节曲线迭加法（续）为为水水平平线线。所所以以此此时时，而而即即起起始始段段取取决决于于环环节节和和比比例例环环节节决决定定，称称为为低低频频段段），由由积积分分最最低低的的转转折折频频率率以以前前（。所所以以时时全全为为，在在分分环环节节等等的的一一阶阶微微分分环环节节、二

30、二阶阶微微惯惯性性环环节节、振振荡荡环环节节、折折20lgK0dB)L( sK （二）顺序斜率迭加法（二）顺序斜率迭加法1低频起始段的确定：低频起始段的确定： lg20lg20lg20lg20)( KKL的的斜斜率率线线。的的过过200 db率率线线。的的斜斜的的处处过过始始段段为为在在因因此此低低频频起起20lg201 K处处为为，而而时时，当当1lg20lg20)(1 KL0Klg20 20 1顺序斜率迭加法（续）顺序斜率迭加法（续）。折折后后斜斜率率增增加加，和和惯惯性性环环节节：折折20,1200)1( T 。折折后后斜斜率率增增加加，和和振振荡荡环环节节：折折40,400)2( n

31、20,21200)3( 折折后后斜斜率率增增加加，和和一一阶阶微微分分：折折 40,1200)4( 折折后后斜斜率率增增加加，和和二二阶阶微微分分：折折T 321)1( ，：及及、确确定定折折K。处处，量量出出在在处处Klg201)2( 3、开环对数频率特性的绘制步骤：、开环对数频率特性的绘制步骤：.)()4(斜斜率率直直到到高高频频。就就改改变变一一次次，一一个个从从低低频频段段开开始始，每每遇遇到到折折 L适适）的的表表达达式式，选选几几个个合合（曲曲线线：写写出出 )()5(点，连起来即可。点，连起来即可。）找出几个）找出几个外加几个其他的外加几个其他的值（最好是值（最好是的的折折 点点

32、。延延长长线线过过处处，其其则则低低频频段段止止于于处处；若若第第一一个个的的直直线线，直直到到这这一一点点作作，过过)20lgK, 1(, 120)lg201()3(111 K顺序斜率迭加法（续）顺序斜率迭加法（续）101 . 01425. 0125 . 01321 ，ndbKK20lg20101 ， 例例3：点点，斜斜率率线线，过过低低频频段段为为)db201(20 解：解：，时时变变为为到到-6021 ，时时变变为为到到-8042 。时时再再变变为为到到-60103 211125. 014 . 025. 0901 . 0 tgtgtg顺序斜率迭加法（续）顺序斜率迭加法（续）)14 .02

33、5.0)(25.01(11 .0102 sssssGk）（顺序斜率迭加（续）顺序斜率迭加（续）-20-60-80-600.1101242040L db0 -900 )-1800-270000 122222211111111)(111111)(11TjtgTjtgeTTjjGTsGeTTjjGTsG 例例：可见：两者的极坐可见：两者的极坐标图不同，一个在标图不同，一个在第四象限，一个在第四象限，一个在第三象限。第三象限。101j002G1G1G2G 222111)(TAA 2121, 但但LLTtg 11 90)(0)0(11 ，而而112 Ttg 90)(180)0(12 时时从从可可见见：

34、0 9090021 从从从从 非非最最小小相相位位系系统统或或环环节节大大最最小小相相位位系系统统或或环环节节小小21 1 1 2 2L db0 )00-1800-900 T1L1 = L2最小相位系统最小相位系统-在在s右半平面上没有零、右半平面上没有零、 极点的系统均为最小相位系统。极点的系统均为最小相位系统。 定义：定义：非最小相位系统非最小相位系统-在右半在右半s平面上有零、平面上有零、 极点的系统均是非最小相位系统。极点的系统均是非最小相位系统。2最小相位系统的特征：最小相位系统的特征： 。与之对应，与之对应，有一个有一个只只一个一个之间存在着确定关系，之间存在着确定关系，与与)mn

35、(90)()()()1(0 LA 确确定定即即可可。统统的的稳稳定定性性由由即即可可，而而系系需需画画出出因因此此对对系系统统校校正正时时，只只)( L 的的表表达达式式。曲曲线线写写出出定定的的对对应应关关系系，无无法法由由相相位位系系统统，否否则则没没有有确确时时也也必必须须是是最最小小曲曲线线求求系系统统传传递递函函数数根根据据G(s)(Ls)(G)2( L 角角最最小小。系系统统的的相相的的两两个个系系统统，最最小小相相位位具具有有相相同同的的 L)3(3非最小相位系统的频率特性：非最小相位系统的频率特性： ),()1( 和和必必须须分分别别画画出出 L mn 90 且且,901801

36、1 Ts如如： 901801s ,90011 Ts 9001s （2）绘制其极坐标图时，起点不再按前面规定的那样）绘制其极坐标图时，起点不再按前面规定的那样 判判断断：根根据据时时起起点点在在什什么么地地方方，再再先先判判断断相相位位系系统统，这这时时应应确确定定方方位位。那那是是指指最最小小根根据据 0 ，如如：1 TssKGk),j0K-0，起起点点在在（若若 应应在在正正虚虚轴轴无无穷穷远远处处。，应应在在负负转转故故现现在在0901 j01k 系系统统。所所以以它它也也是是非非最最小小相相位位，也也没没有有给给出出最最小小相相位位由由时时从从在在由由于于延延时时环环节节的的 00 （3

37、）7854 奈奎斯特判据奈奎斯特判据54 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 奈氏稳定判据可以根据系统的开环频率特性，奈氏稳定判据可以根据系统的开环频率特性，判断闭环系统的稳定性，依据是复变函数论的映射判断闭环系统的稳定性，依据是复变函数论的映射定理，又称幅角定理。定理，又称幅角定理。一、幅角定理：一、幅角定理：，设设QPHNMG , mnNMNQMPGKkk 则则bkkkNPMMNPMGG 1 kbkkkkkkNNNMNNMGsF 11设设辅辅助助函函数数7954 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 为为开开环环特特征征式式，其其中中sNk 为为闭闭环环特特征征式式。sNb 的的特特点点：sF 开开环环极极点点

38、，的的极极点点、 sF1 的零的零sF闭环极点；闭环极点；点点 。只只差差常常数数与与、1)(3sGsF ；的的零零极极点点个个数数相相等等、mnsF 2幅角定理（续）幅角定理（续）Gk(s)F(s)00-18054 奈奎斯特判据奈奎斯特判据的任一点，的任一点， 之外之外 为为复复变变函函数数，jvusF 根据复变函数理论知，根据复变函数理论知， 若对于若对于s平面下除了有限奇点平面下除了有限奇点 （不解析的点）（不解析的点） 为为解解析析函函数数，sF即单值、连续即单值、连续 的正则的正则 函数，那么对于函数，那么对于s平面上的每平面上的每一点，一点，在在F(s)平面上平面上 必有一个对应的

39、映射点。因此，若在必有一个对应的映射点。因此，若在s平面上画一平面上画一条闭封曲线，并使其不通过条闭封曲线，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。平面上必有一条对应的映射曲线。 的的函函数数，是是ssF js 取取幅角定理（续）幅角定理（续）8154 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 F(s)在在s平面上的零点对应平面上的零点对应F(s)平面上的原点平面上的原点（零点使（零点使F(s)0，即原点），而，即原点），而F(s)在在s平面上的平面上的极点对应极点对应F(s)平面上的无穷远处。平面上的无穷远处。s0szs0sp幅角定理（续）幅角定理（续）82

40、54 奈奎斯特判据奈奎斯特判据0F(s)无穷远处无穷远处 当当s绕绕F(s)的零点的零点z顺时顺时 针旋转一周时，对应在针旋转一周时，对应在 F(s) 平面上绕原点顺时平面上绕原点顺时 针旋转针旋转 一周；当一周；当s绕绕F(s) 的极点的极点p 顺时针旋转一顺时针旋转一 周时，对应在周时，对应在F(s)平面平面 上绕无穷远处顺时针旋上绕无穷远处顺时针旋 转一周，而对于原点则转一周，而对于原点则 为逆时针旋转一周。为逆时针旋转一周。幅角定理（续）幅角定理（续）8354 奈奎斯特判据奈奎斯特判据幅角定理（续）幅角定理（续）幅角定理：设幅角定理：设s平面上不通过平面上不通过F(s)任何奇点的封任何

41、奇点的封闭曲线闭曲线包围包围s平面上平面上F(s)的的z个零点和个零点和p个极点。个极点。 当当s以顺时针方向沿着封闭曲线以顺时针方向沿着封闭曲线移动一周时，移动一周时， 则在则在F(s)平面上相对应于封闭曲线平面上相对应于封闭曲线的映射函数的映射函数 2121jj s sF8454 奈奎斯特判据奈奎斯特判据上已推出：上已推出： F(s)的零点的零点=闭环极点，而系统稳定的闭环极点，而系统稳定的充要条件是特征根即充要条件是特征根即F(s)的的零点都位于零点都位于s左半平面上。左半平面上。因此，需要检验因此，需要检验F(s)是否具有位于是否具有位于s右半平面的零点。右半平面的零点。为此，选择一条

42、包围整个右半平面的按顺时针方向为此，选择一条包围整个右半平面的按顺时针方向运动的封闭曲线，称为奈氏回线：运动的封闭曲线，称为奈氏回线：幅角定理（续）幅角定理（续）将以顺时针方向围绕原点旋转将以顺时针方向围绕原点旋转N圈：圈：N=z-p（或以（或以逆时针方向转逆时针方向转N圈：圈：N=p-z）。）。 01 轴轴：、正正 j8554 奈奎斯特判据奈奎斯特判据jRe j j0js圆圆：、半半径径为为的的右右无无穷穷大大半半2 009090Re Rsj03 轴轴：、负负 j此曲线肯定包围此曲线肯定包围F(s)在在s右半平面的所有零点。右半平面的所有零点。设设F(s)在右半在右半s平面有平面有z个零点和

43、个零点和p个极点。个极点。幅角定理（续）幅角定理（续）8654 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 1 sFGk但但 系统稳定的条件是系统稳定的条件是z=0，则有：若在，则有：若在s平面上，平面上，s沿奈氏回线顺时针移动一周时，在沿奈氏回线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的平面上的围绕原点顺时针转围绕原点顺时针转N=-P圈（即逆时针转圈（即逆时针转p周），则周），则系统稳定，否则系统不稳定。系统稳定，否则系统不稳定。 所以所以F(s)的的曲线绕原点运动相当于曲线绕原点运动相当于 的的封封闭闭 jGk点点运运动动，曲曲线线绕绕)(j0-1 。只只差差常常数数与与因因为为1sGs)(Fk幅角定理（续）幅角

44、定理（续）根据映射定理，当沿着奈式回线移动一周时在根据映射定理，当沿着奈式回线移动一周时在F(s)平平面上的映射曲线面上的映射曲线 1 jGk 将按顺时针方向绕原将按顺时针方向绕原点转点转N=z-p圈。圈。 根据映射定理，当沿着奈氏回线移动一周时在根据映射定理，当沿着奈氏回线移动一周时在F(s)平平面上的映射曲线面上的映射曲线8754 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 曲曲线线。的的时时的的封封闭闭曲曲线线即即为为 jGGHGkk 因为对应于奈氏回线中：因为对应于奈氏回线中： ； 0)1 ；0)3 ，半半径径只只有有 R)2 ，sGsFk 1 。而而mnsassbssGnnmmk 1111 。，（即即

45、为为原原点点），则则10sFsGk幅角定理（续）幅角定理（续）8854 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 上上面面已已推推出出又又F(s)的极点的极点=开环极点，开环极点， N=z - p中中的的p也就是开环极点在也就是开环极点在s右半平面上的个数。右半平面上的个数。 若若s在在s平面上沿着奈氏回线顺时针移动一周，在平面上沿着奈氏回线顺时针移动一周，在F(s)平面上的平面上的 jGk 1 曲线绕原点顺时针转曲线绕原点顺时针转N=-P圈圈 ， 右右在在且且ssGk 半平面的极点恰好为半平面的极点恰好为p，则系统稳定则系统稳定二、奈氏判据二、奈氏判据 则闭环系则闭环系统稳定的充要条件是：在统稳定的充要条件

46、是：在 ，右右半半平平面面的的极极点点数数为为在在设设pssGk sGk平面上的平面上的 幅角定理（续）幅角定理（续）8954 奈奎斯特判据奈奎斯特判据奈氏判据奈氏判据 周周。）点点转转，针针绕绕（时时，将将逆逆时时从从曲曲线线及及其其镜镜像像当当pjjGk01- 故故稳稳定定的的充充要要条条件件是是：则则若若开开环环本本身身稳稳定定, 0,)1( p 不不稳稳定定。点点，否否则则，曲曲线线及及其其镜镜像像不不包包围围（)01kjjG 若闭环不稳，则闭环系统在若闭环不稳，则闭环系统在s右半平面的根数为：右半平面的根数为： z =p +NN为顺时针为顺时针 或或 z =p -NN为逆时针。为逆时

47、针。9054 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ， niimjjkpsszsKsG11)( 重重极极点点，在在原原点点具具有有则则 sGk而而F(s)的极点的极点=G K(s)的极点。的极点。 在在原原点点具具有有)(sF重重极极点点。而奈氏回线是经过原点的，但幅角定理要求封闭曲而奈氏回线是经过原点的，但幅角定理要求封闭曲线不能经过线不能经过F(s)的奇点（但极点正好是奇点）的奇点（但极点正好是奇点）,故不故不能直接应用前述奈氏回线。这时可略改奈氏回线能直接应用前述奈氏回线。这时可略改奈氏回线,既既不经过原点又能包围整个右半不经过原点又能包围整个右半s平面：平面： 三、开环传递函数有积分环节时奈氏判据

48、的应用三、开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用 9154 奈奎斯特判据奈奎斯特判据开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用 jR（4）（3）（2）（1）的的右右半半圆圆：为为无无穷穷小小以以原原点点为为圆圆心心做做一一半半径径 0)1 0)3 009090Re)2 Rsj 0090900)4 jes 00 9254 奈奎斯特判据奈奎斯特判据开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用 在有积分环节的系统中：在有积分环节的系统中： ；时时，0)1 jGk ；时，时，0 jGk 平面上就是原点。平面上就是原点。映射在映射在sGk

49、 无穷远处；无穷远处；时，时， jGk0)2 无无穷穷远远处处；时时， jGk0 sGk映映射射在在 00 平面上就是沿着半径为平面上就是沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从无穷大的圆弧按顺时针方向从 。2020 54 奈奎斯特判据奈奎斯特判据开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用 000000jjj000 一一个个大大圆圆弧弧，从从曲曲线线及及其其镜镜像像曲曲线线上上补补在在 jGk 穷穷大大、顺顺时时针针补补一一个个半半径径为为无无镜镜像像曲曲线线起起点点 0 2 1 3 9454 奈奎斯特判据奈奎斯特判据开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用开环传递

50、函数有积分环节时奈氏判据的应用 0010 。，试判断其闭环稳定性，试判断其闭环稳定性曲线如图所示曲线如图所示某系统的某系统的0, pjGk 例例1、解：先画镜像曲线，再补大圆弧，解：先画镜像曲线，再补大圆弧， 000从从不包围不包围(-1, j0)点，或逆时点，或逆时针一圈，顺时针一圈针一圈，顺时针一圈,故闭环稳定。故闭环稳定。 据据判判稳稳条条件件不不变变。的的大大圆圆弧弧，再再用用奈奈氏氏判判转转角角为为 1 9554 奈奎斯特判据奈奎斯特判据开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用 1j000 曲曲线线如如图图所所示示，某某系系统统的的 jGk，试试判

51、判断断闭闭环环稳稳定定性性。0, 2 p 例例2、解：先画镜像曲线，再补大圆弧，解：先画镜像曲线，再补大圆弧， 000 顺时针包围顺时针包围(-1, j0)点点2周，故闭环系统周，故闭环系统不稳定，且有两个不稳定，且有两个右根。右根。9654 奈奎斯特判据奈奎斯特判据四、几点说明四、几点说明 js 即即开开环环系系统统临临界界稳稳定定；轴轴上上有有极极点点在在、若若,j1 sGk这时应将奈氏回线作相这时应将奈氏回线作相应改变，在应改变，在j轴上的极轴上的极点处作半径为无穷小的点处作半径为无穷小的右半圆右半圆(转角为转角为 )，奈，奈氏判据仍可用氏判据仍可用9754 奈奎斯特判据奈奎斯特判据重点

52、说明重点说明例例3、已知单位反馈系统的开环传函为：已知单位反馈系统的开环传函为： 性性。试试判判断断系系统统的的闭闭环环稳稳定定,141102 ssssGk解：开环系统有虚根：解：开环系统有虚根：01102214 . 3 pssjs， 0090lim jGk 0360lim jGk9854 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ，其其幅幅值值为为 jGk2lim，相相角角为为0104 .153290 tg ，即即024 .153lim jGk 。且且00024 .3331804 .153lim jGk先画出开环幅相特性及其镜像，先画出开环幅相特性及其镜像， ,180220的的无无穷穷大大圆圆弧弧顺顺时时针

53、针补补再再从从 补补顺顺从从 00 ，的的半半径径为为无无穷穷大大的的圆圆弧弧时时针针转转0180 重点说明重点说明9922 2 2 00重点说明重点说明10054 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ）点点，说说明明闭闭环环系系统统，曲曲线线穿穿过过（、若若012jjGk 临界稳定，在临界稳定，在j轴上有闭环极点，也属于不稳定。轴上有闭环极点，也属于不稳定。 曲线判稳时，曲线判稳时，、通常用极坐标的、通常用极坐标的 jGk3 0 只只画画（逆逆时时针针）。（顺顺时时针针）或或曲曲线线，则则判判稳稳中中22zpNpzN 因为因为p=0，由开环幅相特性及其镜像可见，顺时，由开环幅相特性及其镜像可见，顺时

54、针包围（针包围（-1，j0）点）点2周，故闭环不稳，且闭环右周，故闭环不稳，且闭环右 根个数为根个数为z=N=2个。个。重点说明重点说明10154 奈奎斯特判据奈奎斯特判据11(a)(b)例如：例如： 曲曲线线包包围围， jGpk2 a)( 点点顺顺时时针针一一周周，0, 1 j 所所以以闭闭环环不不稳稳。 稳稳定定。点点，所所以以闭闭环环，曲曲线线不不包包围围，)j01(0 b)( jGpk重点说明重点说明10254 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 的的大大圆圆弧弧，有有积积分分环环节节，补补画画一一半半此此时时若若sGk2 再判断，即负转再判断，即负转例如：例如： 20)( ，pa闭闭环环不不稳

55、稳。的的大大圆圆弧弧，从从正正实实轴轴上上开开始始补补画画 220 p2 1 0(a)(a)重点说明重点说明10354 奈奎斯特判据奈奎斯特判据p=1221 0(b)(b)大大圆圆弧弧，应应从从负负实实轴轴上上开开始始补补画画，018021)b( p 圈圈，闭闭环环不不稳稳。点点曲曲线线顺顺时时针针包包围围5 . 10, 1 j 注意：注意：若若p=0及双数，及双数，则从正实轴开始补，若则从正实轴开始补，若p 为为单数，则从负实轴开始补。单数，则从负实轴开始补。 )018000(00而不是而不是时，时，因为非最小相位环节在因为非最小相位环节在 重点说明重点说明10454 奈奎斯特判据奈奎斯特判

56、据另外，上述方法在不稳时同样可确定右根个数，另外，上述方法在不稳时同样可确定右根个数，如上例：如上例：个个；）（21222a NNpz个个；）（45 . 1212b Npz顺顺时时针针，所所以以不不稳稳时时，右右根根个个数数Npz2 逆逆时时针针。Npz2 五、根据伯德图判断系统的稳定性：五、根据伯德图判断系统的稳定性： ）点点的的包包围围情情况况，曲曲线线对对（实实用用中中j01 jGk重点说明重点说明 轴轴的的情情况况来来讨讨论论。曲曲线线的的正正、负负穿穿越越负负实实还还可可用用 jGk10554 奈奎斯特判据奈奎斯特判据根据伯德图判断系统的稳定性根据伯德图判断系统的稳定性正负1j#2#

57、10例例：1#、2#系统，当系统，当 p=0时都稳定。看出：时都稳定。看出：1#不穿越不穿越 (-，-1)实轴，实轴，2#穿越两次。由于判稳是逆时针穿越两次。由于判稳是逆时针 包围（包围（-1，j0）点，所以从上往下为正穿越，从）点，所以从上往下为正穿越，从 下往上为负穿越下往上为负穿越.。 10654 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ，右右半半平平面面的的极极点点数数为为在在设设pssGk闭闭环环系系统统稳稳定定时时，的的充充要要条条件件是是：当当 0 曲曲线线在在 jGk。差为差为）段的正负穿越次数只）段的正负穿越次数只，实轴（实轴（21p p=0，正、负穿越次数相等或不穿越，正、负穿越次数相等

58、或不穿越 。 段段穿穿越越，在在由由此此可可见见)1(: jGk 1 A即即在在，的的范范围围内内对对负负实实轴轴穿穿越越 线线穿穿越越，对对即即 - 的的范范围围内内，即即在在1 jGk 线的正线的正对对 jGk,2p负负穿穿越越次次数数之之差差为为 相相用用在在波波德德图图中中1 jGk。当当于于0)(L 根据伯德图判断系统的稳定性根据伯德图判断系统的稳定性10754 奈奎斯特判据奈奎斯特判据LdbL0负正根据伯德图判断系统的稳定性根据伯德图判断系统的稳定性 , pssGk右右半半平平面面的的极极点点数数为为在在设设的充要条件是：在的充要条件是：在L()0的范围内，的范围内， 。穿越次数之

59、差为穿越次数之差为线的正负线的正负对对2p 正穿越正穿越从下向上；从下向上；负穿越负穿越从上向下。从上向下。闭环系统稳定闭环系统稳定10854 奈奎斯特判据奈奎斯特判据因为在控制工程中常遇到的是最小相位系统，则闭因为在控制工程中常遇到的是最小相位系统，则闭 环稳定的充要条件简述为：环稳定的充要条件简述为： 线线。不不穿穿越越内内穿穿越越；在在内内不不，在在点点曲曲线线不不包包围围 -)(0)L(1)- (,)j0, 1( jGk(1) ,180,0 时时1 A频频率率。穿穿越越剪剪切切频频率率或或截截止止频频率率或或此此时时的的 c (2)根据伯德图判断系统的稳定性根据伯德图判断系统的稳定性1

60、0954 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 )0)(L(, 1)(A,180gg0 交交接接频频率率。称称为为相相位位此此时时的的时时(3)jc gAgc1用频率特性判稳的步骤：用频率特性判稳的步骤： 。，确确定定求求 psGk1、根据伯德图判断系统的稳定性根据伯德图判断系统的稳定性11054 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 曲曲线线。极极坐坐标标曲曲线线或或绘绘制制)(),(LjGk 2、 图图所所示示。角角。如如右右处处补补画画曲曲线线的的在在无无穷穷大大圆圆弧弧或或的的处处补补画画负负转转曲曲线线的的在在根根据据20)(20 jGk3、用奈氏判据判稳。用奈氏判据判稳。4、00 0p 根据伯德图判断系统