第3课时 反比例函数的应用

1、第3课时 反比例函数的应用【知识与技能】1.综合运用一次函数、反比例函数的知识解决有关问题.2.掌握反比例函数中比例系数k的几何意义.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.一、情景导入，初步认知1.正比例函数有哪些性质？2.一次函数有哪些性质？3.二次函数有哪些性质？4.反比例函数有哪些性质？

2、【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为,其中，k1,k2是常数，且均不为0.由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.函数图象如下图：【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数的图象上取两点P（1，6），Q（6，1），过点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形

3、面积为S1= ；过点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数（k0）中比例系数k的几何意义：过双曲线（k0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知，深化理解1.已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且ABC的面积是3，则k的值是（ C ）A.3 B.-3 C.6 D.-6【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐

4、标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|.解：根据题意可知：SAOB|k|3，又反比例函数的图象位于第一象限，k0，则k6.故选C.2.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则AOB的面积为（ A ）A. B.2 C.3 D.1【分析】分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BCy轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、AOE、BOC的面积，进而可得出结论.解：分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BCy轴，点C为垂足.由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形O

5、EAC=6，SAOE=3，SBOC=，SAOB=S四边形OEAC-SAOE-SBOC=6-3-=.故选A.3.已知直线yxb经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(2，m)和C，求k、b的值.解：点A(3,0)在直线yxb上，所以03b，b3.一次函数的解析式为：yx3.又因为点B(2，m)也在直线yx3上，所以m235，即B(2,5).而点B(2,5)又在反比例函数上，所以k-2(-5)10.4.已知反比例函数的图象与一次函数yk2x1的图象交于A(2,1).(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.【分析】（1）因为点A在反比例函

6、数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.（2）把点A关于坐标原点的对称点A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A是否在这两个函数图象上.解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1212.12k21，k21.所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：yx1.（2）点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A(2,1).把A点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=-1，所以点A在反比例函数图象上.把A点的横坐标代入一次函数解析式得，y-21-3，所以点A不在一次函数图象上.5.已知一次函数ykxb的图象经过点A(0,1)和点B(a,3a

7、),a0，且点B在反比例函数的的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象.(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在1y3范围内时，相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小.【分析】(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值.(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.解：(1)反比例函数的图象过点B(a,3a)，-3a=-，a1，因

8、为a0，所以a1.B(1,3).（2）又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(-1,3).即：一次函数的解析式为y2x1.一次函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y的值在1y3范围内时，相应的x的值为：1x1.(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m1m，所以y1y2.或解：当x1m时，y1-2m1；当x2m1时，y2-2(m1)1-2m1所以y1y2(2m1)(2m1)20，即y1y2.6.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.【分析】(

9、1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式.(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.解：(1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(2,1)，m212.所以反比例函数的解析式为：.又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=.即B(1,2).因为一次函数图象过点A、B.所以一次函数解析式为：yx1.(2)观察图象可知，当x2或0x1时，一次函数的值大于反比例函数值.【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收