谓词逻辑PredicateLogic

1、第二章 谓词逻辑Predicate Logic前言苏格拉底三段论(Socrates syllogism)：所有人都是要死的。所有人都是要死的。苏格拉底是人。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。所以苏格拉底是要死的。 （Socrates, 古希腊哲学家古希腊哲学家,公元前公元前470前前399） (孔子孔子,中国伟大哲学家中国伟大哲学家,公元前公元前551前前479)前言在命题逻辑中，如果设：P：凡人都是要死的；Q：苏格拉底是人；R：苏格拉底是要死的。前提：P,Q，结论：R。则(PQ)R表示上述推理，这个命题公式不是重言式。前言在谓词逻辑中，如果在谓词逻辑中，如果设：设：H(x)：x是人。是人。

2、 M(x)：x是要死的。是要死的。 a：苏格拉底。苏格拉底。前提：前提：( x)(H(x) M(x)，H(a) 结论：结论：M(a)( x)(H(x)M(x)H(a)M(a) 前言 主语主语 谓语谓语 客（个）体客（个）体 谓词谓词客体可以独立存在，它可以是具体的，也可客体可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽象的。以是抽象的。而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究谓词逻辑（谓词逻辑（Predicate Logic）。）。前言比如：比如：P：张三是大学生：张三是大学生Q：李四是大

3、学生：李四是大学生以上这些命题都具备有一个共同的特征就是：以上这些命题都具备有一个共同的特征就是：x是大学生。是大学生。P(x)就可以代表这一类的命题。就可以代表这一类的命题。P(x) ： x是大学生，是大学生，a：张三，：张三， b：李四，：李四，P(a)：张三是大学生：张三是大学生P(b)：李四是大学生：李四是大学生2-1 谓词的概念与表示2-1.1 谓词的概念谓词的概念定义定义1：谓词（：谓词（predicate）在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部分。的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部分。

4、例如：例如： 他是三好学生他是三好学生 “他他”是个体，是个体，“是三好学生是三好学生”是表示个体性质的是表示个体性质的谓词谓词5大于大于3 “5”和和“3”是个体，是个体，“大于大于”是表示个体之间关系是表示个体之间关系的谓词的谓词2-1.2 谓词的表示：用大写英文字母用大写英文字母 A,B,C,D,表示谓词，表示谓词，用小写字母表示客体。用小写字母表示客体。前面的例子可表示为：前面的例子可表示为：(1) A(x): x是三好学生，是三好学生，h:他，他， A(h): 他是三好学生他是三好学生(2) G(x,y): x大于大于y， G(5,3): 5大于大于32-1.3如何利用谓词表达命题：

5、用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两个部分。比如：两个部分。比如：A(x)可以表示可以表示“x是是A”类型的命题，表达了类型的命题，表达了客体的性质，称为一元谓词客体的性质，称为一元谓词 。B(x,y) 可以表示可以表示“x小于小于y”类型的命题，表类型的命题，表达了客体之间的关系，称为二元谓词，达了客体之间的关系，称为二元谓词， 。L(x,y,z) 可以表示可以表示“点点x在在y与与z之间之间”类型类型的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓词。词。用用P(x1,x2,xn)表示表示n元谓词，在这里元谓词，在这里n

6、个个客体变元的顺序不能随意改动。客体变元的顺序不能随意改动。2-2 命题函数与量词2-2.1 命题函数命题函数一般来说，当谓词一般来说，当谓词P给定，给定， x1,x2,xn是客体是客体变元变元 ，P(x1,x2,xn) 不是一个命题，因为他的真不是一个命题，因为他的真值无法确定，要想使它成为命题，要用值无法确定，要想使它成为命题，要用n个客体常个客体常项代替项代替n个客体变元。个客体变元。 P(x1,x2,xn) 就是命题函数。就是命题函数。比如比如L(x,y)表示表示“x小于小于y”，那么，那么L(2,3)表示了表示了一个真命题一个真命题“2小于小于3”。而。而 L(5,1)表示了一个假命

7、表示了一个假命题题“5小于小于1”2-2.1 命题函数定义定义1：简单命题函数：简单命题函数(simple propositional function)：由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。比如：为简单命题函数。比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z)简单命题函数不是命题，只有当变元简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等等取特定的客体才确定了一个命题。取特定的客体才确定了一个命题。对于对于n元谓词，当元谓词，当n=0时，称为时，称为0元谓词，它元谓词，它本身就是一个命题，故命题是本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一元谓词的

8、一个特殊情况。个特殊情况。2-2.1 命题函数比如：比如：L(x,y)表示表示“x小于小于y”是二元谓词，是二元谓词，L(x,3)表示表示“x小于小于3”是一元谓词，是一元谓词，L(2,3)表表示示“2小于小于3”是是0元谓词。元谓词。因此可以将命题看成因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊元谓词的一个特殊情况。情况。 0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题都可以用命题都可以用0元谓词表示。元谓词表示。2-2.1 命题函数定义定义2：复合命题函数（：复合命题函数（compound propositional function）：）：由一个或由一个或n个简单命题函数

9、以及逻辑联个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式。结词组合而成的表达式。命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相同。义完全相同。举例说明：举例说明：P56例，例例，例2-2.1 命题函数定义定义3：谓词填式：谓词填式单独一个谓词不是完整的命题，把谓词单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。例如：例如：P(x)表示表示x3，则，则P(1)、 P(2)、 P(5)分别表示分别表示1大于大于3，2大于大于3，5大于大于3，P(1)、 P(2)、 P(5)即是谓词填式。即是谓词填式。2-2.1

10、命题函数定义定义4：谓词表达式：谓词表达式简单命题函数与逻辑联结词组合而成。简单命题函数与逻辑联结词组合而成。示例分析示例分析 P59 (1) a),b),c)设设W(x):x是工人，是工人，z:小张，则原命题表示小张，则原命题表示为：为： W(z) 设设S(x):x是田径运动员，是田径运动员， B(x):x是球类运是球类运动员，动员，h:他，则原命题表示为：他，则原命题表示为： S(h) B(h)a)设设C(x):x是聪明的，是聪明的，B(x):x是美丽的，是美丽的，a:小小莉，则原命题表示为：莉，则原命题表示为： C(a) B(a)注意：命题函数不是一个命题，只有客注意：命题函数不是一个命

11、题，只有客体变元取特定客体时，才能成为一个命题。体变元取特定客体时，才能成为一个命题。但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命题函数以下两方面有极大影响：题函数以下两方面有极大影响：(1) 命题函数是否能成为一个命题；命题函数是否能成为一个命题；(2) 命题的真值是真还是假。命题的真值是真还是假。2-2.1 命题函数个体域个体域(universe of discourse)：在命题函数中，命题变元的论述范围称在命题函数中，命题变元的论述范围称为个体域。为个体域。全总个体域：全总个体域：个体域可以是有限的，也可以是无限的，个体域可以是有限的，也可以是无限的，把

12、各种个体域综合在一起，作为论述范围的把各种个体域综合在一起，作为论述范围的域，称为全总个体域。域，称为全总个体域。2-2.2 量词例题：符号化以下命题例题：符号化以下命题所有人都要死去。所有人都要死去。有的人的年龄超过百岁。有的人的年龄超过百岁。以上给出的命题，除了有个体词和谓词以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。量词有两种：为量词。量词有两种：全称量词全称量词(universal quantifier)存在量词存在量词(existential quantifier)2-2.2 量词定义定义1全称量词全称量词(u

13、niversal quantifier)用符号用符号“ ”表示，表示，“ x”表示对个体域里的所有表示对个体域里的所有个体。个体。( x)P(x)表示对个体域里的所有个体都有属性表示对个体域里的所有个体都有属性P。表达表达“对所有的对所有的”，“每一个每一个”，“对任一个对任一个”，“凡凡”，“一切一切”等词。等词。The universal quantifier , an upside-down A, is used to build compound propositions of the form ( x)P(x), which we read as “for all x, P(x).”

14、 Other translations of are “for each,” “for every,” “for any.” The compound proposition ( x)P(x) is assigned truth value as follows:( x)P(x) is true if P(x) is true for every x in U;otherwise ( x)P(x) is false.2-2.2 量词定义2存在量词(existential quantifier)用符号“ ”表示。 x表示存在个体域里的个体。( x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。符号“

15、”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values:（x）P(x) i

16、s true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U. 2-2.2 量词唯一存在量词（唯一存在量词（unique quantifier）：）：“恰好存在一个恰好存在一个”，用符号，用符号“ !”表示。表示。2-2.2 量词现在对以上两个命题进行符号化，在进行符现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号化之前必须确定个体域。号化之前必须确定个体域。第一种情况个体域第一种情况个体域D为人类集合。为人类集合。设：设：F(x) ： x是要死的。是要死的。G(x)

17、： x活百岁以上。活百岁以上。则有则有( x) F(x) 和和 ( x) G(x)这两个命题都是真命题这两个命题都是真命题2-2.2 量词 第二种情况个体域第二种情况个体域D为全总个体域。为全总个体域。不能符号化为不能符号化为( x)F(x)和和( x)G(x)，因，因为为:( x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，表示宇宙间一切事物都要死的，这与原命题不符。这与原命题不符。( x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，这与原命题不符。岁以上，这与原命题不符。2-2.2 量词因此必须引入一个新的谓词，将人分离因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。在全总个体域的

18、情况下，以上两个命出来。在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述如下：题叙述如下：(1) 对于所有个体而言，如果它是人，则对于所有个体而言，如果它是人，则它要死去。它要死去。(2) 存在着个体，它是人并且活过百岁以存在着个体，它是人并且活过百岁以上。上。于是，再符号化时必须引入一个新的谓于是，再符号化时必须引入一个新的谓词词 M(x)：x是人。是人。称这个谓词为称这个谓词为特性谓词特性谓词。2-2.2 量词定义：特性谓词定义：特性谓词在讨论带有量词的命题函数时，必须确在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。限定客体变元变化

19、范围的谓词，称作特性谓限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。词。利用特性谓词，对以上两个命题进行符利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化号化(1) ( x)( M(x)F(x) )(2) ( x)( M(x)G(x) )使用量词时应注意的问题：在讨论有量词的命题函数时如果事先没有在讨论有量词的命题函数时如果事先没有给出个体域，那么都应以全总个体域为个给出个体域，那么都应以全总个体域为个体域。体域。对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对存在量词，特性谓词常做合取项。对存在量词，特性谓词常做合取项。举例说明：举例说明：例例1“有些人是要死的有些人是要死的”.

20、解解1：采用全体人作为个体域采用全体人作为个体域. 设设: G(x): x是要死的是要死的.原命题符号化成原命题符号化成: ( x)G(x)解解2：采用全总个体域采用全总个体域. 设设: M(x): x是人是人; G(x):x是要死的是要死的.原命题符号化成原命题符号化成: ( x)(M(x) G(x)例2 “凡人都是要死的”.解1: 采用全体人作为个体域.设: G(x): x是要死的.原命题符号化成: (x)G(x) 解2: 采用全总个体域.设: M(x): x是人; G(x):x是要死的.原命题符号化成: (x)(M(x) G(x)例例3: “存在最小的自然数存在最小的自然数”。解解1:

21、采用全体自然数作为个体域采用全体自然数作为个体域.设设: G(x,y): xy;原命题符号化成原命题符号化成: ( x)( y)G(x,y)注意量词顺序注意量词顺序:( y)( x)G(x,y): “没有最小的自然数没有最小的自然数”.解解2: 设设: F(x): x是自然数是自然数; G(x,y): xy;原命题符号化成原命题符号化成:( x)(F(x) ( y)(F(y) G(x,y)例例4: “不存在最大的自然数不存在最大的自然数”。解解: 设设: F(x): x是自然数是自然数; G(x,y): xy;原命题符号化成原命题符号化成: ( x)(F(x) ( y)(F(y)G(x,y)或

22、或: ( x)(F(x)( y)(F(y) G(x,y)例例5: “火车比汽车快火车比汽车快”。解解: 设设: F(x): x是火车是火车; G(x): x是汽车是汽车;H(x,y): x比比y快快原命题符号化成原命题符号化成: ( x)(F(x)( y)(G(y)H(x,y)或或: ( x)( y)(F(x) G(y)H(x,y)例例6: “有的汽车比火车快有的汽车比火车快”。解解: 设设: F(x): x是汽车是汽车; G(x): x是火车是火车;H(x,y): x比比y快快原命题符号化成原命题符号化成: ( x)(F(x) ( y)(G(y) H(x,y)或或: ( x)( y)(F(x) G(y) H(x,y)例例7: “有些病人相信所有的医生有些病人相信所有的医生”。解解: 设设: F(x): x是病人是病人; G(x): x是医生是医生;H(x,y): x相信相信y原命题符号化成原命题符号化成:( x)(F(x) ( y)(G(y)H(x,y)例例8: “存在唯一的对象满足性质存在唯一的对象满足性质P”。解解: 设设: P(x): x满足性质满足性质P原命题符号化成原命题符号化成:( !x)P(x)或或:设设: P(x): x满足性质满足性质P; E(x,y):x和和y是同一个个体是同一个个体原命题符号化成原命题符号