第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述

1、 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述8.1 矩阵分式描述矩阵分式描述8.2 矩阵分式描述的真性和严真性矩阵分式描述的真性和严真性8.3 由非真矩阵分式描述中导出严格真矩由非真矩阵分式描述中导出严格真矩阵分式描述阵分式描述8.4 不可简约矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述8.5 确定不可简约矩阵分式描述的算法确定不可简约矩阵分式描述的算法8.6 规范矩阵分式描述规范矩阵分式描述 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.1矩阵分式描述（MFD） 右右MFD和左和左MFD（MatrixFractionDescription） 给定给定q p(q为为输出，输出，p为输

2、入为输入)的具有有理分式矩阵形式的具有有理分式矩阵形式的传递函数矩阵的传递函数矩阵G(s)，则一定存在，则一定存在qp和和pp的多项式矩的多项式矩阵阵N(s) 和和D(s) ，以及，以及qq和和qp的的多项式矩阵的的多项式矩阵A(s)和和B(s)，成立：，成立： G(s)=N(s) D-1(s) 和和 G(s)= A-1(s) B(s) 称称N(s) D-1(s)为为G(s)的一个右的一个右MFD，称，称A-1(s) B(s)为为G(s)的的一个左一个左MFD。 找列最小公分母可定出右找列最小公分母可定出右MFD，找行最小公分母可定出左，找行最小公分母可定出左MFD。（见例题。（见例题P. 4

3、42)MFD的特性：的特性： 规定右规定右MFD的次数的次数deg det D(s) 规定左规定左MFD的次数的次数deg det A(s) 对给定的对给定的G(s)，右，右MFD和左和左MFD不是唯一的，不是唯一的，不同的不同的MFD有不同的次数。有不同的次数。 若若N(s) D-1(s)为为G(s)的一个右的一个右MFD，W(s)为任一相为任一相应维数的非奇异多项式矩阵，并定义应维数的非奇异多项式矩阵，并定义: N(S)=N(s)W-1(S) , D(S)=D(S)W-1(s) 则则N(S)D-1(S)也必是也必是G(s)的一个右的一个右MFD且成立且成立: deg detD(S)deg

4、det D(s) 若若N(s)D-1(S)为为G(s)的一个右的一个右MFD，而，而V(s)为任一为任一单模阵，且选取单模阵，且选取N(S)=N(s)V(S) , D(S)=D(S)V(s)，则，则N(S)D-1(S)也为也为G(s)的一个右的一个右MFD，且其阶次和，且其阶次和 N(s) D-1(s)相同，即：相同，即： deg det D(s)=deg det D(s) 给定传递函数给定传递函数 矩阵矩阵G(s)的所有的所有MFD中，中，一定存在一个次数为最小一定存在一个次数为最小 的的MFD ,称之称之为最小为最小 阶阶MFD,最小最小 阶阶MFD也不是唯一也不是唯一的。的。 若若N(s

5、) D-1(s)为为G(s)的一个非最小阶的一个非最小阶MFD，则通过提出，则通过提出 N(s)和和D(s)的一个最的一个最大右公因子大右公因子(gcrd)，就可得到，就可得到G(s)的最的最小阶小阶MFD。 用真性严真性和不可简约性表征用真性严真性和不可简约性表征左右左右 MFD结构特征。结构特征。由于左右由于左右 MFD的某种对偶性，右的某种对偶性，右MFD的性质对左的性质对左MFD也对偶的成立，以下主也对偶的成立，以下主要针对右要针对右MFD 进行。进行。8.2 矩阵分式描述的真性和严真性矩阵分式描述的真性和严真性 真性和严真性：真性和严真性： 一个一个MFD代表的传递函数矩阵代表的传递

6、函数矩阵G（）（）nij(s)/ dij(s) ，如果，如果deg ni j(s)=deg di j(s), i, j 则则MFD是真的。是真的。 如果如果 deg ni j(s) deg dij (s)当当dii(s)1时则时则dij (s)0AH(s)的形式为的形式为 结论：结论：给定传递函数矩阵给定传递函数矩阵G(s)，G(s)的所有不可简约右的所有不可简约右MFD，均具有相同的列，均具有相同的列埃尔米特形规范矩阵分式描述埃尔米特形规范矩阵分式描述NH(s) DH-1(s) ；G(s) 的所有不可简约左的所有不可简约左MFD，均具有相同的，均具有相同的行埃尔米特形规范矩阵分式描述行埃尔米特形规范矩阵分式描述A- 1H(s)BH(s)。)()()()()()()(22211211sasasasasasasAqqqqH波波夫形波波夫形MFD（见P422满足一系列条件的矩阵） 给定给定qp的给定传递函数矩阵的给定传递函数矩阵G(s)，如果如果DE(s)具有波波夫形，则称具有波波夫形，则称NE(s)D-1E(s)为它的波波夫形右为它的波波夫形右MFD。如果如果AE(s)具有波波夫形，则称具有波波夫形，则称A-1E(s)BE(s)为它的波波夫形左为它的波波夫形左MFD。 结论：结论：给定传递函数矩阵给定传递函数矩阵G(s)，所有的不可简约，所有