【精品推荐】2010届广东惠州田家炳中学绝密学案9解几七直线和圆

1、直线和圆1、直线的倾斜角：(1) 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线I，如果把x轴绕着交点按逆时针方向 转到和直线I重合时所转的最小正角 记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。当直线 I与x轴重合或平 行时，规定倾斜角为 0；(2) 倾斜角的范围 0,。2亍宁,那么m值的范围是如(1)直线xcosJ3y 2 0的倾斜角的范围是；(2)过点P( .、3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围2、直线的斜率：(1) 定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k = tan (工 90 );倾斜角为90的直线没有斜率；(2) 斜率公式：经过两点P1(x1,y1

2、)P2(x2,y2)的直线的斜率为k空x?;(3)直线的x-i x2一 r一方向向量a (1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？(4)应用：证明三点共线：kAB kBC。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的 条件；(2)实数 x, y满足 3x 2y 50 (1x 3)，则*的最大值、最小值分别为 x3、直线的方程：(1) 点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为y y0 k(x x0),它不包括垂直于x轴 的直线。(2) 斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y kx b ,它不包括垂直于x轴 的直线。y yx x(3)两点式：已知直线经过(x

3、1,y1)、P,(x2,y2)两点，则直线方程为1匕，它不包y2 y1x X1括垂直于坐标轴的直线。(4) 截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a, b ,则直线方程为 1 ,它不包括垂直于坐标a b轴的直线和过原点的直线。(5) 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0 (A,B不同时为0)的形式。如(1)经过点(2, 1)且方向向量为 v=( 1八3)的直线的点斜式方程是 ；(2) 直线(m 2)x (2m 1)y (3m 4) 0 ,不管m怎样变化恒过点 ；(3) 若曲线y a|x|与y x a(a 0)有两个公共点，则a的取值范围是 (4)过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等

4、的直线共有条4. 设直线方程的一些常用技巧(1) 知直线纵截距b，常设其方程为y kx b ；(2) 知直线横截距X。，常设其方程为x my x(它不适用于斜率为(3) 知直线过点(x,y)，当斜率k存在时，常设其方程为 则其方程为x xo ；(4) 与直线I : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax(5) 与直线I : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bxk(x0的直线)；x) y，当斜率k不存在时,ByAyC1C10 ；0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：Ax。By。C ；;(2 )两平行线l1:

5、 Ax ByC1 0,l2 : Ax By C20间的距离为dC1 C2A2 B2(1 )点P(Xo,y)到直线Ax By C 0的距离d6、直线l1 :Ax B1 y G0与直线l2:A2XB?yC20的位置关系：(1)平行A b2 a2 b10 (斜率)且B1C2 B2C1 0 (在y轴上截距)；(2)相交A b2 a2 b10 ；(3)重合A b2 a2 B10且 B1C2B2C10。提醒：(1)AB1C1A1B1、A、旦-仅是两直线平行、相交、AB2C2A2b2A2B2C2重合的充分不必要条件！为什么？有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的a,a2 b1 b20。如(1)设3y 2

6、m 0 ,当 m =时 l1 / l2 ；时l1与l2相交；当 m =时l1与l2重合；(2) 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时， 两条直线都是指不重合的两条直线；(3) 直线 |1 : A-ix B y G 0 与直线 l2 : A2x B2y C2 0 垂直 直线 l1: x my 60 和 l2 : (m 2)x当 m =时 l1 l2 ；当 m(3)(4)bx已知直线l的方程为3x 4y 120，则与I平行，且过点(一1, 3)的直线方程是两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数 a的取值范围是_；设a,b,c分别是 ABC中/ A、/ B、/ C所对边的边

7、长，则直线xsi nA ay c 0与ysi nB si nC 0的位置关系是7、对称(中心对称和轴对称)问题一一代入法：如(1)已知点M (a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y 0 对称，则点Q的坐标为；(2)已知直线h与I?的夹角平分线为 y x，若l1的方程为ax by c 0(ab 0)，那么J的方程是(3) 点A(4,5 )关于直线 I的对称点为E (-2,7),则|的方程是 ；(4) 已知一束光线通过点A(3,5)，经直线I :3x 4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是 ；(5)已知 ABC顶点A(3

8、 ,1 ),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0，/ B的平分线所在的方程为x 4y+10=0 ,求BC边所在的直线方程；&圆的方程：圆的标准方程：2x ayb 2 r2。圆的一般方程：22x y DxEy F 0(D2+ E2 4F 0),提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。特别提醒：只有当D2+ E24F 0时，方程x2半径为_E2 4F的圆2(二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey FB 0 且 D2 E2 4AF 0 )；A x1, y1 , B x2, y2为直径端点的圆方程 xy2 Dx Ey F 0才表示圆心为(卫，左),2 20表

9、示圆的充要条件是什么?(A C 0,且Xix x2y yi y y20如(1 )圆C与圆(x 1)2 y2 1关于直线yx对称，则圆C的方程为(2)圆心在直线2x y3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是(3)如果直线|将圆：x2+y2_2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么I的斜率的取值范围是;(4)方程x2+y 2 x+y+k=0表示一个圆，则实数 k的取值范围为9、点与圆的位置关系：已知点Mx-a 2 y b 2CMCM冷小及圆C:b 2 r2；(2)2r ； (3)点M在圆C上0 , (1)点在圆C点M在圆yb 2x02arb 2如点 P(5a+1,12a)在圆(x y。x2r 。

10、y。1 )2 + y2=1的内部，则a的取值范围是10、直线与圆的位置关系:直线I : Ax By C 0和圆C： xr 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断: (1 )代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)0 相切；(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)d r 相离；d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如(1)圆2x2 2y21与直线xsinCM2xa2 r2相交;相离;:设圆心到直线的距离为 d，则d相交;八0(R，； k，k Z)的位置关系为(2)若直线ax by 30与圆x2 y2 4x 10切于点P( 1,2)，则a

11、b的值2 2(3)直线x 2y 0被曲线x y 6x 2y 150所截得的弦长等于(4) 一束光线从点A( 1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是I I 2 2(5)已知圆C: x (y 1)5，直线L: mx y 1 m 0。求证：对 m R，直线L与圆C总有两个不同的交点；设 L与圆C交于A、B两点，若 AB J17，求L的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程11、 圆与圆的位置关系 (用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为 0仆02, 半径分别为r),r2，则(1 )当OO2 A r2时，两圆外离；(2)当OO

12、2 A r2时，两圆外切；(3) 当* 沪。？ A a时，两圆相交；(4)当Q1O2 A a |时，两圆内切；(5)当0 Q1O2 * $ |时，两圆内含。12、圆的切线与弦长：(1)切线： 过圆x2 y2 R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx。 yy。 R2 ,过圆(x a)2 (y b)2 R2上一点P(x0, y0)圆的切线方程是：2(x a)(x0 a) (y a)(y a) R ,一般地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)； 从圆外一点引圆的切线一定有两条，2 2设A为圆(x 1) y 1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为 ；1(2

13、)弦长问题：常用弦心距d，弦长一半-a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：22,2 / 1 、2r d ( a)；213. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!已知圆满足：截 y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 : 1，圆心到直线:; 5l:x-2y=0的距离为，求该圆的方程5| AB |求动弦AB的中点P的轨迹方程课本题 P75练习2 , 3; P77练习2, 3; P79练习2, 3; P80习题7 , 8, 2, 3; P87 习题 4, 6, 7; P92 练习 3;

14、 P96练习 2, 3; P96 习题 14, 15, 习题 6, 7, 9, 10 P106 练习 3高考题1.（全国一 10）若直线,4, 5; P107练习 2; P108 习题 5,x1 通过点 M (cos ,sinA.B. a2b2C A A 1a2 b26 7,则（D.9; P84练习3, 4; P87练习16 , 17, 18 P102 练习 5, 6;8；12a如图，已知O M : x2+（y 2）2= 1, Q是x轴上的动点，QA , QB分别切O M于A , B两点，如果4.2，求直线MQ的方程;3yx,2.（全国二5）设变量x, y满足约束条件:x 2y 2.3.（全国

15、二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为x y 1 0,4. （北京卷5）若实数x, y满足x y 0,则z 3x 2y的最小值是x 1,12.（陕西卷10）已知实数x, y满足 y 2x 1,如果目标函数z x y的最小值为 1,则实数m x y w m.等于2 213.（重庆卷3）圆O： x + y2 22x 0 和圆 Q： x + y 4y0的位置关系是相交14.（辽宁卷3）圆x2y21与直线y kx 2没有公共点的充要条件是15.（天津卷15）已知圆C的圆心与点P（ 2,1）关于直线y x 1对称直线3x 4y 110与圆C相交于代B两点，且 AB 6，则圆C的方程为2 216. （四川卷14）已知直线l:xy40与圆C： x 1 y 12，则C上各点到I的距离的最小值为。17. （重庆卷15）直线I与圆X + y + 2x 4y a 0 （a3）相交于两点A, B,弦AB的中点为（0,1）,则直线I的方程为.18. （广东卷11）经过圆x2 2x y2 0的圆心C，且与