将军饮马问题

1、第一讲将军饮马问题_J学习要点与方法点拨一、主要内容 （1 ）将军饮马问题的概念。（2） 将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。（3） 将军饮马问题与勾股定理。二、 本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。模块精讲、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的冋题：如图，有一位将军从位于A

2、点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果 A点和B点在河MN的不同侧呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。 _例1，如图，一匹马从 S点出发，

3、先去河 0P边喝水，再去草地 0Q吃草，然后再回到 S点。该例1图例2图二、将军饮马与坐标系例2,已知A(2,3)、B(3,2) , M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求 AN+NM+B的最小值，并求出此时 M N的坐标。思路：作对称两段折线 T作一次对称 T转化折线三段折线T作两次对称T转化折线连线段T最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5)、M(O,m)、N(0,m+1)，求 BM+MN+A的最小值，并求此时对应的m的值。运用平移的性质例4,已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点 C,是|AC-BC|最大，求出点 C的坐标和这个最大值。构造三角形，运用三

4、角形的边长关系三、将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。首先明白几个概念， 动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1.怎么对称，作谁的对称？简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？ 一般而言都是动点所在直线。2.对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念:定点的对称点也是一个定点。

5、3.所求点怎么确定？首先一定要明白， 所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们 所画直线和已知直线的交点。4.将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓 展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！ 或者说边长和角度的对称才是最关键 。四、将军饮马与勾股定理例5,如图，将军的军营在 A处，与河岸的距离 0A=4km将军的家在 B处。且QA=7km QB=8km 他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。0小河例7 ,Z AOB = 4

6、5 P是/ AOB内一点，PO = 10, Q R分别是 OA OB上的动点，求 PQF周 长的最小值。五、三角形、正方形中的将军饮马例8，如图，在等边厶 ABC中，AB=6, AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点，且 AE=2求EM+EC勺最小值。例8图例9图例9，如图，在锐角厶ABC中，AB=42, z/ BAC= 45,Z BAC的平分线交 BC于点D, M N分别是AD和 AB上的动点，贝UBM+M的最小值是。例10,如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上 ,且DM= 2, N是AC上的一动点， DW MN的 最小值为。例10图例11图例11,在边长为2 cm的正方

7、形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB PQ则厶PBQ周长的最小值为 _cm例12, 次函数y = kx + b 的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0), B (0, 4).(1) 求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设 OA AB的中点分别为 C D, P为OB上一动点，求PC+ PD的最小值, 并求取得最小值时 P点坐标.y和例13,如图，在坐标系 xOy中，有一条河，河岸分别为x轴和直线MN直线MN与y轴的 P交点为A(0,2) , P、Q两地位于河的两岸，且P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥，(桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q两

8、地，求MABN桥的端点 B C的坐标，使得从 P地到Q地的路程最短。O C例6，如图，/ POQ= 20, A为OQ上的点，B为OP上的点，且 OA=1, OB=2在OB上取点 A1 ,在OQ上取点 A,求AA + A1A2 + A2B的最小值。总结：将军饮马问题轴对称问题最短距离问题(轴对称是工具，最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。学习效果能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的

9、“点”、“线”，把最短路径 问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的 异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑 推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思 想.课后巩固习题1，已知A(-1,4) ，B(1,1)，在x轴上找一点 C,使AC+BC最小。贝U C点的坐标是 _，AC+BC的最小值是_。2，已知A(-1,3) , B(-3,1) , M是x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当 AN+NM+M最小时，M的坐标 是, N的坐标是_。3，已知 A(-4,4)

10、 , B(-1,-3) , M(0,m) , N(0,m+1)，当 BM+MN+A最小时，点 M的坐标是 _，最小值是_。4，已知A(-4,5) , B(2,-2)，在x轴上找一点 C,则当|AC-BC|最大时，点C的坐标是 _，最大值是 _。5，如图，点A,B位于直线I的同侧，到直线I的距离AC = 10 , BD = 30,且CD = 30 ,在直线I上找 到一点 M 是AM+BMt短，则最短距离是 _。BA直线lO题5图题6图6，如图，/ AOB= 45,点P在/ AOB内，且 OP= 3，点M,N分别为射线 OA 0B上的动点，则 PMN 的周长的最小值为 _。7,如图，/ AOB =

11、 40。，点 P，Q都在/ AOB内，/ AOP = / BOQ = 10,且 OP = OQ = 6，作点 P题7图题8图8，如图，/ AOB = 60。，点 P, Q都在/ AOB内，/ AOP = / BOQ = 15，且 OP = 8 , OQ = 6。在射 线OA OB上分别存在点 M N,是PM+MN+N的值最小，则最小值是 _。9，如图， ABC中，AB=2,Z BAC=3C，若在 AG AB上各取一点 M N,使BM+MN勺值最小，则这个 最小值是多少？题9图例10图10,如图所示，正方形ABCD勺面积为12,A ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线 AC上有一点P,使PM PE的和最小，则这个最小值为11,如图，若四边形 ABCD是菱形，AB=10cm,/ ABC=45 , E为边BC上的一个动点，P为BD 上的一个动点，求PC+PE的最小值.12,如图，在锐角厶 和AB上的动点，作出满足ABC 中，AB = 4，/ BAC = 45 BM + MN最小时的C，/ B