线性代数(人大版)第11讲

1、线性代数第11讲3.2 n维向量空间为了深入讨论线性方程组的问题, 我们来介绍n维向量空间的相关概念.一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组, 其每一列都是由m个数组成的有序数组. 在研究其它问题时也常遇到有序数组. 例如平面上一点的坐标和空间中一点的坐标分别是二元和三元有序数组(x,y),(x,y,z). 又如把组成社会生产的各部门的产品或劳务的数量, 按一定次序排列起来, 就得到国民经济各部门或劳务的有序数组.定义定义3.1 n个实数组成的有序数组称为n维向量. 一般用a a,b b,g g等希腊字母表示, 有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.a a=(a1,a2

2、,an)称为n维行向量行向量. 其中ai称为向量a a的第i个分量分量;12nbbb称为n维列向量列向量. bi是其第i个分量.要把列(行)向量写成行(列)向量可用转置记号, 例如12nbbb可写成 b b=(b1,b2,bn)T矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA中的每一行(ai1, ai2, , ain)(i=1,2,m)都是 n 维行向量, 每一列12(1,2, )jjmjaajna都是 m 维列向量. 两个n维向量当且仅当它们各对应分量相等时, 才是相等相等的. 即如果a a=(a1,a2,an), b b=(b1,b2,bn)当且仅当ai=bi (i=1, 2

3、, , n)时, a a=b b.所有分量均为零的向量称为零向量零向量, 记为o=(0, 0, , 0)n维向量a a=(a1,a2,an)的各分量的相反数组成的n维向量, 称为a a的负向量负向量, 记为-a a, 即-a a=(-a1,-a2,-an).定义定义3.2 两个n维向量a a=(a1,a2,an)与b b=(b1,b2,bn)的各对应分量之和所组成的向量, 称为向量a a与向量b b的和和, 记为a a+b b. 即a a+b b=(a1+b1,a2+b2,an+bn).由向量加法及负向量的定义, 可定义向量向量减法减法: a a-b b=a a+(-b b)=(a1,a2,a

4、n)+(-b1,-b2,-bn)=(a1-b1,a2-b2,an-bn)定义定义3.3 n维向量a a=(a1,a2,an)的各个分量都乘以k(k为一实数)所组成的向量, 称为数k与向量a a的乘积乘积, 记作ka a, 即ka a=(ka1,ka2,kan).向量的加, 减及数乘运算统称为向量的线线性运算性运算.定义定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn, 我们称Rn为实n维向量空间, 它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算, 并且这两种运算满足以下8条规律:(1) a a+b b=b b+a a(2) a a+(b b+g g)=(a a+b b)+g g(3) a a+o=a a(4

5、) a a+(-a a)=o(5) (k+l)a a=ka a+la a(6) k(a a+b b)=ka a+kb b(7) (kl)a a=k(la a)(8) 1a a=a a其中a a,b b,g g都是n维向量, k,l为实数例例. 设125(2, 4,1, 1),( 3, 1,2,),2- -, 如果向量b b满足 3a a1-2(b b+a a2)=o, 求b b. 解解: 由题设条件, 有 3a a1-2b b-2a a2=o 所以 212113(23)22 - - 53( 3, 1,2,)(2, 4,1, 1)221(6, 5,1)2 - - 3.3 向量间的线性关系(一)

6、线性组合线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系x1a a1+x2a a2+xna an=b b称为方程组(3.1)的向量形式.其中1122(1,2, )jjjmjmababjnab都是m维向量.于是, 线性方程组(3.1)是否有解, 就相当于是否存在一组数: x1=k1, x2=k2, , xn=kn, 使线性关系式k1a a1+k2a a2+kna an=b b成立. 即常数列向量b b是否可以表示成上述系数列向量组a a1,a a2,a an的线性关系式. 如果可以, 则方程组有解; 否则, 方程组无解. b b可以表示成上述关系式时, 称向量b b是向量组a a1,

7、a a2,a an的线性组合线性组合, 或者称b b可由向量组a a1,a a2,a an线性表示线性表示.定义定义3.5 对于给定向量b b, a a1,a a2,a as,如果存在一组数k1,k2,ks, 使关系式b b=k1a a1+k2a a2+ksa as(3.10)成立, 则称称向量b b是向量组a a1,a a2,a an的线性组合线性组合, 或者称b b可由向量组a a1,a a2,a an线性表示线性表示.例如, b b=(2,-1,1), a a1=(1,0,0), a a2=(0,1,0), a a3=(0,0,1), 显然b b=2a a1-a a2+a a3. 即b

8、b是a a1,a a2,a a3的线性组合, 或者说b b可由a a1,a a2,a a3线性表示.定定理理 3.3 设向量12,mbbb向量12jjimjaaa(j=1, 2, , n), 则向量b b可由向量组a a1,a a2,a an线性表示的充分必要条件是以a a1,a a2,a an为列向量的矩阵与以a a1,a a2,a an,b b为列向量的矩阵有相同的秩. 证证: 线性方程组x1a a1+x2a a2+xna an=b b有解的充分必要条件是: 系数矩阵与增广矩阵的秩相同. 这就是说b b可由a a1, a a2 , , a an线性表示的充分必要条件是: 以a a1, a

9、a2, , a an为列向量的矩阵与以a a1,a a2,a an,b b为列向量的矩阵有相同的秩.定理定理 3.3 也可以叙述为: 对于向量b b和向量组a a1,a a2,a an, 其中b b=(b1,b2,bm), a aj=(a1j, a2j, , amj) (j=1, 2, , n). 向量b b可由向量组a a1,a a2,a an线性表示的充分必要条件是以12,TTTn为列向量的矩阵与以12,TTTTn为列向量的矩阵有相同的秩. 例例1. 任何一个n维向量a a=(a1,a2,an)都是n维向量组e e1=(1,0,0), e e2=(0, 1, 0, , 0), , e en

10、=(0, 0, , 0, 1)的线性组合.因为 a a=a1e e1+a2e e2+ane ene e1,e e2,e en称为Rn的初始单位向量组.例例2. 零向量是任何一组向量的线性组合.因为o=0a a1+0a a2+0a as例例3. 向量组a a1,a a2,a as中的任一向量a aj(1js)都是此向量组的线性组合.因为a aj=0a a1+1a aj+0a as.例例4. 判断向量b b1=(4,3,-1,11)与b b2=(4,3,0,11)是否各为向量组a a1=(1, 2, -1, 5), a a2=(2, -1, 1, 1)的线性组合. 若是, 写出表达式.解解: 设

11、k1a a1+k2a a2=b b, 对矩阵121(,)TTT施以初等行变换: 121124124213055(,)1110335111099TTT-121124124055011(,)033000099000102011000000TTT-因此b b1可由a a1,a a2线性表示, 且由上面的初等变换可知k1=2, k2=1使b b1=2a a1+a a2.121124102213011(,)1110005111000TTT-秩121(,)TTTb b秩12(,)TT=2. 类似地, 对矩阵122(,)TTT施以行初等变换: 12412412421305501111003400151110

12、99000- 秩122(,)TTT=3, 而秩12(,)TT=2. 因此b b2不能由a a1,a a2线性表示. (二二) 线性相关与线性无关线性相关与线性无关齐次线性方程组(3.9)可以写成零向量与系数列向量的如下的线性关系式x1a a1+x2a a2+xna an=o它称为齐次线性方程组(3.9)的向量形式.其中1200(1,2, )0jjjmjaajna o都是m维列向量.因为零向量是任意向量组的线性组合, 所以齐次线性方程组一定有零解. 即0a a1+0a a2+0a as=o总是成立的. 问题是齐次线性方程组(3.9)除零解外是否还有非零解, 即是否存在一组不全为零的数k1,k2,

13、kn使关系式k1a a1+k2a a2+kna an=o成立.例如, 齐次线性方程组 1212320640 xxxx- 除零解 x1=0,x2=0 外, 还有非零解, 如 x1=2, x2=3. 因此, 系数列向量组1232,64-与零向量00 之间, 除有关系0a a1+0a a2=o之外, 还有关系式2a a1+3a a2=o等关系. 而齐次线性方程组 1212020 xxxx- 仅有零解, 即系数列向量组112 , 211-与零向量00 之间, 仅有关系式0b b1+0b b2=o. 定义定义3.6 对于向量组a a1,a a2,a as, 如果存在一组不全为零的数k1,k2,ks使关系

14、式k1a a1+k2a a2+ksa as=o(3.11)成立, 则称向量组a a1,a a2,a as线性相关线性相关; 如果(3.11)当且仅当k1=k2=ks=0时成立, 则称向量组a a1,a a2,a as线性无关线性无关.前面例中1232,64-线性相关. 而112 与211-线性无关. 定理定理3.4 对于m维列向量组a a1,a a2,a an, 其中12(1,2, )jjjmjaajna则a a1,a a2,a an线性相关的充分必要条件是: 以为a a1,a a2,a an列向量的矩阵的秩小于向量的个数n.定理 3.4 也可以叙述为: 对于 m 维行向量组a a1,a a2

15、,a an, 其中a aj=(a1j,a2j,amj)(j=1,2, , n), 则a a1,a a2,a an线性相关的充分必要条件是, 以12,TTTn为列向量的矩阵的秩小于向量的个数 n. 证证: 齐次线性方程组k1a a1+k2a a2+kna an=o有非零解的充分必要条件是: 系数矩阵的秩小于未知数的个数n, 由此定理得证.此定理的另一说法是: m维列向量组线性无关的充分必要条件是: 以为a a1,a a2,a an列向量的矩阵的秩等于向量的个数n.对于行向量组显然也成立.推论推论1 设n个n维向量a aj=(a1j,a2j,anj) (j=1, 2,n), 则向量组a a1,a

16、a2,a an线性相关的充分必要条件是1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa或者说, 设n个n维向量a aj=(a1j,a2j,anj) (j=1, 2,n), 则向量组a a1,a a2,a an线性无关的充分必要条件是1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa实际上, 根据定理 3.4, n 维向量组a a1, a a2, , a an线性无关的充分必要条件是矩阵12(,)TTTn满秩. 即1121112222120nnnnnnaaaaaaaaa, 亦即1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 推论推论2 当向量组中所含向量的个数大于向量的维

17、数时, 此向量组线性相关.证证: 设a aj=(a1j,a2j,amj) (j=1, 2,n), 齐次线性方程组 k1a a1+k2a a2+kna an=o 由于mn, 故有非零解, 由此得证.例例1. 证明Rn中的初始单位向量组e e1,e e2,e en线性无关.因为|In|=10, 故线性无关.例例2. 一个零向量线性相关; 而一个非零向量线性无关.因为当a a=o时, 对任意k0, 都有ka a=o成立, 而当a ao时, 当且仅当k=0时ka a=o才成立.例例3. 判断向量组a a1=(1,2,-1,5),a a2=(2,-1, 1, 1), a a3=(4,3,-1,11)是否线性相关.解解: 对矩阵123(,)TTT施以初等变换化为阶梯矩阵: 1241241242130550111110330005111099000-秩123(,)TTT=23, 所以向量组a a1,a a2,a a3线性相关. 例例4. 判断向量组a a1=(1,2,0,1), a a2=(1,3,0, -1), a a3=(-1,-1,1,0)是否线性相关.解解: 111231001110-中有三阶子式11123110001- , 即这个矩阵的秩为 3, 恰等于向量组中向量的个数, 故向量组a a1,a a2,a a3线性无关. 例例5. 证明