1.3_三角函数的有关计算-解直角三角形

1、 3.三角函数的有关计算三角函数的有关计算沈阳南昌中学九年级九年级数学九年级数学(下下)第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系CABRtABC中除直角之外的五要素中除直角之外的五要素: 三条边三条边:AB,AC,BC;两个锐角两个锐角:A ,B（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系 AB90（3）边角之间的关系）边角之间的关系（1）三边之间的关系）三边之间的关系 222cba（勾股定理）（勾股定理）ABabcCAsinAcosAtanBsinBcosBtancaA斜边的对边cbA斜边的邻边baAA的邻边的对边cbB斜边的对边caB斜边的邻边abBB的邻边的对边特殊角的三角函数

2、值表特殊角的三角函数值表三角函数锐角正弦sin余弦cos正切tan3004506002123332222123213由锐角的三角函数值反求锐角21Asin 21Acos 33Atan 03023Asin 06022Acos 0303Atan 22Asin 23Acos 1Atan 060045045030060045AAA1 . 如图，在如图，在RtABC中，中，C 90， 求求B.，6,2BCACABC26解：在解：在RtABC中，中，tanB=3362BCACB=30302.如图,身高1.7m的小明用一个两锐角分别是30和60 的三角尺测量一棵树的高度.已知他与树之间的距离为5m,那么这棵

3、树大约有多高?（精确0.1m）解解:在在RtACD中，中，CAD30tan30ADCDCDADtan30335335 CE1.7+ 4.6(m)335棵树大棵树大约约4.6m.ABC3 .如图，如图，ABC中，中，B=45，C=30，AB=2，求，求AC的长的长.解：过解：过A作作ADBC于于D， 在在Rt ABD中中,B=45,AB=2， 222D45302AD=ABsinBsinB =ABAD在在RtACD中，中，C=302=2sin45=2AC=2AD =22解：在解：在RtACD中中,BDA45CD=AD AD2 +2知识的运用怎样做？w体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的

4、峰顶.4.4.如图如图,D,D9090,B=30,B=30,ACD=45,ACD=45, ,BC=4cm,BC=4cm,求求AD.AD.ABC45304DBD= AD在在RtABD中，中，B30tan30=BDAD3BDCD=BC, 即即 ADAD433xx3x建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为60,观察底部观察底部B的仰角的仰角为为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD40(课本课本17页页)5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队

5、在一些主要路口设立了交通路况显示牌状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆（如图）已知立杆AB高度是高度是3m，从侧面，从侧面D点测点测得显示牌顶端得显示牌顶端C点和底端点和底端B点的仰角分别是点的仰角分别是60和和45求路况显示牌求路况显示牌BC的高度的高度 2010年长沙年长沙CAAD3 3解：解：在在RtADB中，中，BDA45，AB3 DA3CA= 在在RtADC中，中，CDA60tan60=BC=CABA=( 3)米米 3 3答：路况显示牌答：路况显示牌BC的高度是的高度是( 3)米米 3 36.一个人先爬了一段一个人先爬了一段45o的山坡的山坡300m后，又爬后

6、，又爬了一段了一段60o的山坡的山坡200m，恰好到达山顶。你能，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？计算出山的高度吗？ABCD300m200mFE解：过解：过B作作BECD于于E，BFAD于于F.在在RtABF中，中，A45BFABsin45=1502在在RtABF中中,CBE60 CEBCsin60=1003山高山高(150 100 )m237.热气球的探测器显示热气球的探测器显示,从从热气球看一栋高楼顶部的热气球看一栋高楼顶部的仰角为仰角为30,看这栋高楼底看这栋高楼底部的俯角为部的俯角为60,热气球与热气球与高楼的水平距离为高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高这栋高楼有多高?=30

7、=60120ABCD解；在解；在RtABD中，中，BAD30 BDADtan30=403在在RtACD中中,CAD60 CDADtan60=603山高山高100 m3BCBD+CD10038.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得点测得小岛小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？危险？BA

8、 ADF601230解：过解：过A作作AFBD于于F.设设AFx海里海里在在RtABF中中,BAF60 x=6 8在在RtADF中，中，DAF30DF=AFtan30= x33BFDF=BD ，即，即3312x33x3 没有触礁的危险没有触礁的危险BF=AFtan60 xxCABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造常通

9、过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解.温馨提示温馨提示D在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abc(必有一边必有一边)caBcbBcaBcaAcbAcaAtan,cos,sintan,cos,sin感悟：感悟：利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的

10、知识解决实际问题解决实际问题 的一般步骤的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.(有有“弦弦”用用“弦弦”; 无无“弦弦”用用“切切”)已知斜边求直边，已知斜边求直边，已知直边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知两边求一角，已知直边求斜边，已知直边求斜边，计算方

11、法要选择，计算方法要选择，正弦余弦很方便正弦余弦很方便；运用正切理当然运用正切理当然；函数关系要选好；函数关系要选好；勾股定理最方便；勾股定理最方便；用除还需正余弦用除还需正余弦；能用乘法不用除能用乘法不用除. .优选关系式优选关系式CABabc 9. 9.如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏西北偏西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，正东方向，且相距且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察站与观察站A A相距相距10 10 海里，海里，请你测算灯塔请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A

12、 A的什么方向？的什么方向？2北A A B BC C10210F 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？解：过点解：过点C C作作CD AB,CD AB,垂足为垂足为D D北A A B BC CD D21052210F灯塔灯塔B在观察站在观察站A北偏西北偏西45的方向

13、的方向 B=45sinB =CBCDCD=BCsinB=10sin45=10 =22在在RtDAC中，中， sin DAC=ACCD2102521 DAC=30CAF=BAF -DAC=45-30=154545灯塔灯塔C处在观察站处在观察站A的北偏西的北偏西15的方向的方向25 如图，在小岛上有一观察站如图，在小岛上有一观察站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C

14、处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？北A BC解：过点解：过点A A作作AEBCAEBC，垂足为，垂足为E,E,E21021010设CE=x在在RtRtBAEBAE中，中，BAE=45BAE=45AE=BE=10+xAE=BE=10+x在在RtRtCAECAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2x2+(10+x)2=(10)22即：x2+10 x-50=0355, 35521xx(舍去)355灯塔灯塔C C处在观察站处在观察站A A的北偏西的北偏西1515 的方向的方向sin CAE=ACCE210355CAE15451.在在Rt ABC中，中，C90，已知

15、，已知a， A的值，则的值，则c的值为的值为 A. atanA B. asinA C. D. （ ）2.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知 ，BC6， 则则AC ，AB .3.在在RtABC中，中，C90，根据下列条件解直角三角形；，根据下列条件解直角三角形； (1) A45, a= 3; (2) c=8,b=4;AacossinaA3tan4A 思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？元素呢？D810一个直角三角形中，若一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素（其中必须

16、有一个元素是边），则这样的元素是边），则这样的直角三角形可解直角三角形可解. .在山脚在山脚C处测得山顶处测得山顶A的仰角为的仰角为45问题如下问题如下: 沿着水平地面向前沿着水平地面向前300米到达米到达D点在点在D点测得山点测得山顶顶A的仰角为的仰角为600 , 求山高求山高AB.DABC45602009沈阳中考沈阳中考16如图，市政府准备修建一座高如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天的过街天桥，已知天桥的坡面桥，已知天桥的坡面AC与地面与地面BC的夹角的夹角ACB的正的正弦值为弦值为 ，则坡面，则坡面AC的长度为的长度为 m 2008沈阳中考沈阳中考14如图所示，某河堤的横断面是梯

17、形如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BCAD，迎水坡，迎水坡AB长长13米，且米，且tanBAE ，则，则河堤的高河堤的高BE为为 米米 BCDEA51253要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端的顶端,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角一般要满足一般要满足50 75.现有一个长现有一个长6m的梯子的梯子.问问:(1)使用这个梯子最高可以安全使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房攀上多高的平房?(精确到精确到0.1m)这个问题归结为这个问题归结为: 在在RtABC中中,已知已知A= 75,斜边斜边AB=6,求求BC的长的长角角越大越大,攀上的高度

18、就越高攀上的高度就越高.ACB075sinABBC 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端的顶端,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角一般要满足一般要满足50 75.现有一个长现有一个长6m的梯子的梯子.问问:(2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m时时,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角等于多等于多少少(精确到精确到1)?这时人这时人能否安能否安全全使用这个梯子使用这个梯子?这个问题归结为这个问题归结为: 在在RtABC中中,已知已知AC=2.4m,斜边斜边AB=6, ,求锐求锐角角的度数的度数? ACB角角是否在是否在50 75内内066

19、4 . 0ABACcos 例例1.如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电，在离电线杆线杆22.7米的米的C处，用高处，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测测得电线杆顶端得电线杆顶端B的仰角的仰角a22，求电线杆求电线杆AB的高（精确到的高（精确到0.1米）米）图19.4.4 1.2022.7仰角和俯角仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. .例例1.如图，为

20、了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电，在离电线杆线杆22.7米的米的C处，用高处，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测测得电线杆顶端得电线杆顶端B的仰角的仰角a22，求电线杆求电线杆AB的高（精确到的高（精确到0.1米）米）图19.4.4 1.2022.722E例例2:热气球的探测器热气球的探测器显示显示,从热气球看一栋从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为60,热气球热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多这栋高楼有多高高?=30=60120ABCD建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为50,观察底部观察底部B的仰角的仰角为为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD40(课本课本93页页)例例3. 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距方向，距离灯塔离灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向