中考数学复习难题突破专题四：特殊三角形存在性问题

1、难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等 特殊三角形解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解类型 1等腰三角形存在性问题1 如图 z41，直线 y3x3 交 x 轴于点 a，交 y 轴于点 b，过 a，b 两点的抛物线交 x 轴于另一 点 c(3，0)(1) 求点 a，b 的坐标(2) 求抛物线对应的函数表达式图 z41(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 q，使abq 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 q 的坐标； 若不存在，请说明理由例题分层分析(1) 如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)

2、如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3) 根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线_，所以可设点 q 的坐标为_； abq 是等腰三角形可分为_种情况，分别是_；根据勾股定理分别列出方程即可求出点 q 的坐标解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况特别注意求出的值需检验能否构成三角形类型 2直角三角形、全等三角形存在性问题图 z422 如图 z42，已知直线 ykx6 与抛物线 yax2bxc 相交于 a，b 两点，且点 a(1，4)为 抛物

3、线的顶点，点 b 在 x 轴上(1) 求抛物线对应的函数表达式(2) 在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点 p，使pob 与poc 全等？若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 若点 q 是 y 轴上一点， abq 为直角三角形，求点 q 的坐标例题分层分析(1)已知点 a 的坐标可确定直线 ab 对应的函数表达式，进一步能求出点 b 的坐标点 a 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为_式，再代入_的坐标，依据_法可解(2)abq 为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以 _为直角顶点，进行分类讨论，找出相 关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或

4、者利用勾股定理列方程求解解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、 分类讨论和数形结合等思想解题专 题 训 练1如图 z43，点 o(0，0)，a(2，2)，若存在点 p，使apo 为等腰直角三角形，则点 p 的个数为_图 z4322019湖州 如图 z44，在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 ykx(k0)分别交反比例函数 1 9 1y 和 y 在第一象限的图象于点 a，b，过点 b 作 bdx 轴于点 d，交 y 的图象于点 c，连结 ac.若abc x x x是等腰三角形，则 k 的值是_图 z443如图 z45 所示，在平面

5、直角坐标系中，已知点 a(2，2)，点 b(2，3)试问坐标轴上是否存在 一点 p，使得abp 为直角三角形？若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由图 z4542019张家界 如图 z46，已知抛物线 c 的顶点坐标为 a(1，4)，与 y 轴的交点为 d(0，3)1(1)求 c 的解析式；1(2)若直线 l ：yxm 与 c 仅有唯一的交点，求 m 的值；1 1(3)若将抛物线 c 关于 y 轴对称的抛物线记作 c ，平行于 x 轴的直线记作 l ：yn.试结合图象回答：1 2 2当 n 为何值时，l 与 c 和 c 共有：两个交点；三个交点；四个交点；2 1 2(4)若将 c 与

6、 x 轴正半轴的交点记作 b，试在 x 轴上求点 p，使得pab 为等腰三角形2图 z465.2019攀枝花 如图 z47，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 a，b 两点，b 点坐标为(3，0)，与 y 轴交于点 c(0，3)(1) 求抛物线的解析式(2) 点 p 在 x 轴下方的抛物线上，过点 p 的直线 yxm 与直线 bc 交于点 e，与 y 轴交于点 f，求 pe ef 的最大值(3) 点 d 为抛物线对称轴上一点1 当bcd 是以 bc 为直角边的直角三角形时，求点 d 的坐标；2 若bcd 是锐角三角形，求点 d 的纵坐标的取值范围图 z476如图 z48，抛物线 yax22a

7、xc(a0)与 y 轴交于点 c(0，4)，与 x 轴交于点 a，b，点 a 的 坐标为(4，0)(1) 求该抛物线对应的函数表达式(2) 点 q 是线段 ab 上的动点，过点 q 作 qeac，交 bc 于点 e，连结 cq， cqe 的面积最大时，求 点 q 的坐标(3) 若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 p，与直线 ac 交于点 f，点 d 的坐标为(2，0)问：是否存在这样的直线 l，使得odf 是等腰三角形？若存在，请求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由图 z48参考答案类型 1等腰三角形存在性问题09a3b c， c3.例 1 【例题分层分析】(1) 令一次函数表

8、达式中的 x 或 y 为 0，即可求出图象与 y 轴或 x 轴的交点坐标(2) 求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法本题利用一般式 法或交点式法都比较简单(3) x1 (1，a)三 aqbq，abbq，aqab解：(1)直线 y3x3，当 x0 时，y3，当 y0 时，x1，点 a 的坐标为(1，0)，点 b 的坐标为(0，3)0abc， a1， (2)设抛物线对应的函数表达式为 yax2bxc，由题意，得3c， 解得b2， 抛物线对应的函数表达式为 yx22x3.(3)抛物线对应的函数表达式为 yx22x3，配方，得 y(x1)24，抛物线的对称轴为直线 x1

9、，设 q(1，a)当 aqbq 时，如图，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 d，过点 b 作 bfdq 于点 f.由勾股定理，得bq bf2qf2 （10）2（3a）2，aq ad2qd2 22a2，得 （10）2（3a）2 22a2，解得 a1，点 q 的坐标为(1，1)当 abbq 时，如图，由勾股定理，得 （10）2（a3）2 10，解得 a0 或 6，当点 q 的坐标为(1，6)时，其在直线 ab 上，a，b，q 三点共线，舍去，点 q 的坐标是(1，0)113 5111当 aqab 时，如图，由勾股定理，得 22a2 10，解得 a 6，此时点 q 的坐标是(1， 6)或(1， 6)综

10、上所述，存在符合条件的点 q，点 q 的坐标为(1，1)或(1，0)或(1， 6)或(1， 6)类型 2直角三角形、全等三角形存在性问题例 2 【例题分层分析】(1)顶点点 b 待定系数 (2)点 a，b，q解：(1)把(1，4)代入 ykx6，得 k2，直线 ab 对应的函数表达式为 y2x6.令 y0，解得 x3，点 b 的坐标是(3，0)点 a 为抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为 ya(x1)24， 把(3，0)代入，得 4a40，解得 a1，抛物线对应的函数表达式为 y(x1)24x22x3. (2)存在oboc3，opop，当pobpoc 时，pobpoc，此时 op 平分第

11、二象限，即直线 po 对应的函数表达式为 yx.设 p(m，m)，则mm22m3，解得 m1 13 1 13 m 0，舍去1 2 ，1 13 131点 p 的坐标为 ， 2 2 .(3)如图，当q ab90时，daq dob，1 1ad dq 5 dq ，即 ，od db 65 7dq ，oq ， 2 27即点 q 的坐标为0， 2；2222337 3k kk k当q ba90时，boq dob， 2ob oq 3 oq ，即 ，od ob 6 33 3 oq ，即点 q 的坐标为0， 2 2；当aq b90时，过点 a 作 aey 轴于点 e， 3则boq q ea，3 3ob oq 3 o

12、q ，即 ，q e ae 4oq 13 3oq234oq 30，oq 1 或 3， 3 3即点 q 的坐标为(0，1)或(0，3) 3 综上，点 q 的坐标为0， 或0， 2 2专题训练16或(0，1)或(0，3)2.3 7 15或7 5解析 考查反比例函数中系数 k 的几何意义及等腰三角形的性质用 b，a 两点的坐标来表示 c 点坐标，得到 bc 的长度，然后分三种情况讨论 k 值9 1 1 9 1 9 1 8 设 b(a， )，a(b， )，c(a， )，ka ，kb ，a2 ，b2 .又bdx 轴，bc .a b a a b k k a 当 abbc 时，ab （ab）2（kakb）2，

13、8 3 1 8 1k2(ab) ， 1k2( ) ，a 3kk3 77.当 acbc 时，ac1 1（ba）2（ ）2，b ak2 3 1 64k 15(1 )( )2 ，k .9 9 5k2 3 7 15当 abac 时，1 1k2，k0(舍去)综上所述，k 或 .9 7 53解：若bap90，易得 p (0，2)1若abp90，易得 p (0，3)2若bpa90，如图，以 ab 为直径画o与 x 轴、y 轴分别交于点 p ，p ，p ，p ，ab 与 x 轴交3 4 5 65552 2于点 c，过点 o作 ody 轴于 d 点5在 dop 中易知 od2，op ，则 p d225 34 ，

14、4 23 1op p dod 1，则 p (0，1)易知 p dp d，则 p (0，2)连结 op ，op ，5 5 5 5 6 6 3 4易求出 p (2 6，0)，p (2 6，0)3 4综上所述，存在点 p，使得abp 为直角三角形，坐标为 p (0，2)，p (0，3)，p (2 6，0)，1 2 3p (2 6，0)，p (0，1)，p (0，2)4 5 64解：(1)抛物线 c 的顶点坐标为 a(1，4)，1设 c 的解析式为 ya(x1)24，1把 d(0，3)代入得 3a(01)24，解得 a1，c 的解析式为 y(x1)24x22x3.1yx22x3，(2)由方程组yxm，

15、得 x23xm30，3241(m3)4m210，m214.(3)抛物线 c 的顶点坐标为(1，4)，l 与 c 和 c 共有：两个交点，这时 l 过抛物线的顶点，n4；2 2 1 2 2三个交点，这时 l 过两条抛物线的交点 d，n3；四个交点，这时 l 在抛物线的顶点与点 d 之间或2 2在点 d 的下方，3n4 或 n3.(4)根据抛物线的对称性可知，c 的解析式为 y(x1)24x22x3，与 x 轴正半轴的交点 b2的坐标为(3，0)，又 a(1，4)，ab 42424 2.1 若 apab，则 po415，这时点 p 的坐标为(5，0)；2 若 babp，若点 p 在点 b 的左侧，

16、则 opbpbo4 23，这时点 p 的坐标为(34 2，0)， 若点 p 在点 b 的右侧，则 opbpbo4 23，这时点 p 的坐标为(34 2，0)；3 若 papb，这时点 p 是线段 ab 的垂直平分线与 x 轴的交点，显然 papb4，p(1，0) 综上所述，点 p 的坐标为(5，0)或(34 2，0)或(34 2，0)或(1，0)323bc0， b4，5解：(1)由题意得 解得c3， c3，抛物线的解析式为 yx24x3.(2)由题易知 ocob3，ocb45.3 4同理可知ofe45，cef 为等腰直角三角形以 bc 为对称轴将fce 对称得到ce，作 phcf于 h 点，如

17、图，则 peefpf 2ph. 又 phy y 3y ，c p p当 y 最小时，peef 取得最大值，p抛物线的顶点坐标为(2，1)，当 y 1 时，(peef) 2(31)4 2.p max(3)由(1)知抛物线的对称轴为直线 x2，设 d(2，n)，如图.当bcd 是以 bc 为直角边的直角三角形且 d 在 c 的上方 d 位置时，由勾股定理得 cd2bc2bd2，即1(20)2(n3)2(3 2)2(32)2(0n)2，解得 n5；当bcd 是以 bc 为直角边的直角三角形且 d 在 c 的下方 d 位置时，由勾股定理得 bd2bc2cd2，即2(23)2(n0)2(3 2)2(20)

18、2(n3)2，解得 n1.综上所述，当bcd 是以 bc 为直角边的直角三角形时，d 为(2，5)或(2，1)3 3 1如图，以 bc 的中点 t( ， )为圆心， bc 为半径作t，与抛物线的对称轴 x2 交于 d 和 d ，2 2 2由直径所对的圆周角是直角得cd bcd b90，3 41 3 2设 d(2，m)为t 上一点，由 dt bc ，2 23 3 3 2得( 2)2( m)2( )2，2 2 23 17解得 m ，2 234dd 12c4，122 23 17 3 17d (2， )，d (2， )，2 2 2 2又由得 d 为(2，5)，d (2，1)，1 2若bcd 是锐角三角

19、形，则 d 点在线段 d d 或 d d 上(不与端点重合)，则点 d 的纵坐标的取值范围1 3 2 43 17 3 17是1y 或 y 5.2 2 2 208ac， a ，6解：(1)由题意，得 解得4c，1所求抛物线对应的函数表达式为 y x2x4.2(2)如图，设点 q 的坐标为(m，0)，过点 e 作 egx 轴于点 g.1由 x2x40，得 x 2，x 4， 2点 b 的坐标为(2，0)，ab6，bqm2.qeac，bqebac，eg bq eg m2 ，即 ，co ba 4 62m4eg ，31 1 s s bqco bq cqe cbq ebq1eg (m2) 2 2m4 1 2

20、 8 14 m2 m (m1) 3 3 3 3 323.2m4，当 m1 时，s 有最大值 3，此时点 q 的坐标为(1，0)cqe(3)存在在odf 中，若 dodf，a(4，0)，d(2，0)，adoddf2.又在 rtaoc 中，oaoc4，oac45，dfaoac45，12adf90，此时点 f 的坐标为(2，2) 1由 x2x42，得 x 1 5，x 1 5， 2点 p 的坐标为(1 5，2)或(1 5，2)若 fofd，如图，过点 f 作 fmx 轴于点 m，1由等腰三角形的性质得 om od1，2am3，在等腰直角三角形 amf 中，mfam3，f(1，3)1由 x2x43，2得

21、 x 1 3，x 1 3，1 2点 p 的坐标为(1 3，3)或(1 3，3)若 odof，oaoc4，且aoc90，ac4 2，点 o 到 ac 的距离为 2 2，而 ofod2，与 of2 2相矛盾，ac 上不存在点 f，使得 ofod2，不存在这样的直线 l，使得odf 是等腰三角形综上所述，存在这样的直线 l，使得odf 是等腰三角形，所求点 p 的坐标为(1 5，2)或(1 5， 2)或(1 3，3)或(1 3，3)2019-2020 学年数学中考模拟试卷一、选择题 1已知下列命题:若 ab ;若三角形的三边 a、b、c 满足 a a b2+b2+c2=ac+bc+ab,则该三角形是

22、正三角形;斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似;两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中原命 题与逆命题均为真命题的个数是 ( )a1 个 b2 个 c3 个 d4 个2欧几里得的原本记载，形如 x 2 +ax =b 2 的方程的图解法是：画 rt dabc ，使 acb =90 ，bc =a2，ac =b，再在斜边 ab 上截取bd =a2.则该方程的一个正根是（ ）a. ac 的长 b. ad 的长 c. bc 的长 d. cd 的长3甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：班级12人数5555中位数149151方差191110平均

23、字数135135某同学根据上表分析得出如下结论：甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；乙班优秀的人数多于甲班 优秀的人数（每分钟输入汉字数150 个为优秀）；甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大上 述结论正确的是（ ）a. b. c. d.4如图，小明想测量斜坡 cd 旁一棵垂直于地面 ae 的树 ab 的高度，他们先在点 c 处测得树顶 b 的仰角为60，然后在坡顶 d 测得树顶 b 的仰角为30，已知斜坡cd的长度为20m，斜坡顶点 d 到地面的垂直高度de =10m，则树 ab 的高度是（ ）ma20 3b30 3c30 d405中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识

24、。因为圆的任何一对平行切线的距 离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”。除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角 形(图 1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧。三段圆弧围成的曲边三角形。图 2 是等宽的勒洛三角形和圆。下列说法中错误的是 a勒洛三角形是轴对称图形b图 1 中，点 a 到 bc上任意一点的距离都相等c图 2 中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形 def 的中心 o 的距离都相等1d图 2 中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等6已知：点 a（2016，0）、b（0，2018），以 ab 为斜边在直线 ab 下方作等腰直角abc

25、，则点 c 的坐标 为（ ）a（2，2 ） b（2，2 ） c（1，1 ） d（1，1 ）7如图,给出下列条件：b=acd；adc=acb； abcacd 的条件个数为( )ac ab= ；ac2=adab其中能够单独判定 cd bca.1 b.2 c.3 d.48如图，等腰直角三角板的顶点a，c 分别在直线 a ，b 上若 a b ，1=35，则2 的度数为（ ）a35b15c10d59一个不透明的袋子中装有 4 个标号为 1，2，3，4 的小球，它们除标号外其余均相同，先从袋子中随机 摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从袋子中随机摸出一个小球记下标号；把第一次摸出的小球标号作 为十位数字，

26、第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是 3 的倍数的概率是（ ）a14b13c512d51610甲、乙、丙三个人玩一种游戏，每玩一局都会将三人随机分成两组积分方法举例说明：第一局甲、 乙胜出，分别获得 3 分，丙获得6 分；第二局甲胜出获得 12 分，乙、丙分别获得6 分，两局之后的积 分是：甲 15 分，乙3 分，丙12如表是三人的逐局积分统计表，计分错误开始于（ ）甲乙丙第一局第二局第三局第四局第五局第六局a第三局3152115120b第四局3333618c第五局 d第六局612241261211下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）a等边三角形 b平行四边形 c正

27、五边形 d圆12某校拟招聘一名应届毕业数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师笔试、面试成绩如表所 示，综合成绩按照笔试占 60%、面试占 40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综 合成绩为（ ）教师成绩笔试面试甲80 分76 分乙82 分74 分丙78 分78 分a78.8b78c80d78.4二、填空题13如图，在 rtabc 中，acb90，cd 是边 ab 的中线，若 cd6.5，bc12sinb 的值是_14已知反比例函数y =k -1x的图象在第二、四象限内，那么 k 的取值范围是_15如图所示，长方形 abcd 中，ab1，ad2，将长方形向上、下、左、

28、右各扩大 1 得到长方形 a b c d ，1 1 1 1依此类推，则长方形 a b d 的周长可以表示为_n n n n16已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x 是自变量)，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，且-4x1 时， y 的最大值为 9，则 a 的值为_17若式子 11x在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_18不等式组的解集是_三、解答题19我市组织开展“遵纪守规明礼，安全文明出行”为主题的“交通安全日”活动，引起了市民对交通安 全的极大关注，某学校积极响应号召，以答卷的形式对全校学生就交通安全知识的了解情况进行了调查， 并随机抽取部分学生的成绩绘制如下

29、不完整的统计图表：得分(分)60(含 60 以下) 61707180819091100频数812b132频率0.16a0.30.260.04请根据所给信息回答下列问题：(1) 这次参与调查的学生人数为(2) 频数分布表中 a ，b(3) 请补全条形统计图(4) 学校准备对成绩不高于 70 分的学生进行交通安全教育，若全校共有学生 1680 人，请你统计该校来参 加这次教育活动的学生约有多少人？20在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 mn 是装订机的底座，ab 是装订机的托板，始终与底座 平行，连接杆 de 的 d 点固定，点 e 从 a 向 b 处滑动，压柄 bc 可绕着转轴 b 旋转已

30、知压柄 bc 的长度为 15cm，bd5cm，压柄与托板的长度相等（1） 当托板与压柄夹角abc37时，如图点 e 从 a 点滑动了 2cm，求连接杆 de 的长度；（2） 当压柄 bc 从（1）中的位置旋转到与底座 ab 的夹角abc127，如图求这个过程中点 e 滑动 的距离（答案保留根号）（参考数据：sin370.6，cos370.8tan370.75）21如图，在正方形 abcd 中，e、f 分别为 bc、cd 的中点，连接 ae、bf，交点为 g 求证：aebf22先化简，再求值：5a -2-a -2 2a 2 -6 a a -2，其中，a2cos60+（3.14）01 +（ ）13

31、23如图，抛物线 yax2+bx+3 3 与 x 轴交于 a（3，0），b（9，0）两点，与 y 轴交于点 c，连接 ac，bc点 p 沿 ac 以每秒 1 个单位长度的速度由点 a 向点 c 运动，同时，点q 沿 bo 以每秒 2 个单位长度的速 度由点 b 向点 o 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接 pq，过点 q 作 qdx 轴， 与抛物线交于点 d，连接 pd 与 bc 交于点 e设点 p 的运动时间为 t 秒（t0）（1） 求抛物线的表达式；（2） 直接写出 p，d 两点的坐标（用含 t 的代数式表示，结果需化简）在点 p，q 运动的过程中，当 pqpd 时，求

32、 t 的值；（3）点 m 为线段 bc 上一点，在点 p，q 运动的过程中，当点 e 为 pd 中点时，是否存在点 m 使得 pm+12bm的值最小？若存在，请求出 pm+12bm 的最小值；若不存在，请说明理由24如图，在 abcd 中，e、f 为边 bc 上两点，bfce，aedf（1）求证：abedcf；（2）求证：四边形 abcd 是矩形25已知：a、b、c 满足 ( a - 8) 2 + b -5 +| c -3 2 |=0求：（1）a、b、c 的值；（2）试问以 a、b、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形， 请说明理由【参考答案】*一、选择题

33、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 b b a c c c c c d d 二、填空题b a1351314 k115 8n+616 -217 x018 三、解答题19(1)50；(2)0.24，15；(3)见解析；(4)估计该校来参加这次教育活动的学生约有 672 人 【解析】【分析】（1）（2）根据频率，频数，总人数之间的关系即可解决问题（3） 利用（2）中结论，画出条形图即可（4） 利用样本估计总体的思想解决问题即可【详解】(1)因为 80.1650，故这次参与调查的学生人数为 50 人故答案为 50(2)a12500.24，b500.315故答案为：0.24，

34、15 (3)条形图如图所示：(4)16802050672(人)，估计该校来参加这次教育活动的学生约有 672 人【点睛】本题考查条形统计图，用样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 20（1）连接杆 de 的长度为 3 10 cm（2）这个过程中点 e 滑动的距离为（16 74 ）cm【解析】【分析】（1）作 dhbe 于 h，在 bdh 中用三角函数算出 dh 和 bh，再求出 eh，在三角形 deh 中用勾股定理即 可求得 de；（2）作 dhab 的延长线于点 h，在 dbh 和 rtdeh 中，用三角函数分别求出 bh，dh，eb 的长，从而可求得 点 e 滑动

35、的距离【详解】（1）如图，作 dhbe 于 h，在 rtbdh 中，dhb90，bd5，abc37，dh bh= sin37， cos37， 5 5dh5sin3750.63（cm），bh5cos3750.84（cm） abbc15cm，ae2cm，ehabaebh15249（cm），de dh2+ eh2=32+92= 3 10(cm)答：连接杆 de 的长度为 3 10 cm（2）如图，作 dhab 的延长线于点 h，abc127，dbh53，bdh37，在 rtdbh 中，bh bh=bd 5sin370.6，bh3cm，dh4cm，在 rtdeh 中，eh2+dh2de2，（eb+3）

36、2+1690，eb（ 74 -3 ）（cm），点 e 滑动的距离为：15（ 74 -3 ）2（16 74 ）（cm） 答：这个过程中点 e 滑动的距离为（16 74 ）cm【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键.21证明见解析【解析】【分析】由 e，f 分别是正方形 abcd 边 bc，cd 的中点知 cfbe，证 rtabe bcf 得baecbf，根据 bae+bea90即可得cbf+bea90，据此即可得证【详解】证明：e，f 分别是正方形 abcd 边 bc，cd 的中点，cfbe，在 rtabe 和 rtbcf 中，ab =bc abe

37、=bcf，be =cfrtabertbcf（sas），baecbf，又bae+bea90，cbf+bea90，bge90，aebf【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质与全等三角形 的判定与性质22-a +3 4，-2a 5【解析】【分析】先化简分式，然后再求出 a 的值，将 a 的值代入计算即可 【详解】原式=(5 a 2 -4 2a ( a -3) - ) a -2 a -2 a -2=9 -a 2 a -2a -2 2a( a -3)-(a +3)(a -3) a -2a -2 2a( a -3)=-a +32a，a=2cos60+（3.

38、14-）0+（13）-1 1 34 3 9b =2=212+1+3=5，当 a=5 时，原式=-5 +3 4=-2 5 5【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键23（1） y =-3 2 3x 2 + x +3 3 ；（2）p 9 3-3+2t,2t ，d9-2t,9 (6t-t2)；t =1541 9 3；（3）存在，故 pm+ bm 的最小值为 2 2【解析】【分析】（1） 把 a（3，0），b（9，0）两点，代入解析式即可（2） 先求出 bc 的解析式把 p,q 代入解析式即可解答当 pqpd 时，则 dq 中点的纵坐标点 p 的纵坐标，在代入解析式即可（

39、3）根据点 e 是 pq 的中点，求出点 e 的坐标，将其代入解析式即可求出 p，作点 p 关于直线 bc 的对 称点 p，过点 p作 phx 轴、bc 于点 h、m，过点 p 作 pny 轴于点 n，再证明mcpnc（aas）， 即可解答【详解】解：（1）将 a（3，0），b（9，0）代入 yax2+bx+3 3 ，得：81a+9b+3 3 =0 9a-3b+3 3 =0 3a =-，解得： ， 2 3 3抛物线的表达式为 y3 2 3x + x+3 3 ； 9 3（2）由题意得：acoobc30，acb90，将点 b、c（0，3 3 ）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 bc 的表达式为

40、：y33x+3 3 ；点 p 的坐标为（3+123t， t），2点 q（92t，0），将点 q 的坐标代入式并整理得：点 d92t， 当 pqpd 时，则 dq 中点的纵坐标点 p 的纵坐标，4 39（6tt2）；4 33 4 3即：12 （6tt 923 ） t，2解得：t154；（3）点 p 的坐标为（3+12t， t）、点 d92t， （6tt2）， 2 9点 e 是 pq 的中点，则点 e3343 2 3t， t+ （6tt 4 92），将点 e 的坐标代入式并整理得：t26t+90，解得：t3，3 3 3即点 p（ ， ）即点 p 是 ac 的中点，2 2作点 p 关于直线 bc 的

41、对称点 p，过点 p作 phx 轴、bc 于点 h、m，过点 p 作 pny 轴于点 n，则 mh12mb，则此时，pm+12bmpm+mhph 为最小值，acb90，pcpc，pcmncp，pmcpnc90，pmcpnc（aas），mcnc12oc，om329 3oc ph， 2故 pm+129 3bm 的最小值为 2【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线24（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1） 根据平行四边形的性质得到 abdc根据全等三角形的判定定理即可得到结论（2） 根据全等三角形的性质得到bc根据平行四边形的性质得到 abcd根据矩形的判定定理即 可得到结

42、论【详解】（1）证明：四边形 abcd 是平行四边形， abdcbfce，bfefceef，becf在abe 和dcf 中， ab =dcaa =dcbb =cf，abedcf（sss）；（2）证明：abedcf，bc四边形 abcd 是平行四边形，abcdb+c180bc90四边形 abcd 是平行四边形，b90，四边形 abcd 是矩形【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键 25（1）a=2 2 ，b=5，c=3 2 ；（2）能，5 2 +5【解析】【分析】（1） 根据非负数的性质列式求解即可；（2） 根据三角形的任意两边之和大于第三边进行验证即可【详解】解：（1）根据题意得，a- 8 =0，b-5=0，c-3 2 =0，解得 a=2 2 ，b=5，c=3 2 ；（2）能2 2 +3 2 =5 2 5，能组成三角形，三角形的周长=2 2 +5+3 2 =5 2 +5【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0，三角形的三边关系2019-2020 学年数学中考模拟试卷一、选择题1如图，以两条直线 l ，l 的交点坐标为解的方程组是( )1 2a x -y =1 2 x -y =1b x -y =-1 2 x -y =-1c x -y =-1 2 x -