等差数列的前n项与(第一课时)

1、 2.2 2.2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和( (一一) )讲课人：张艳琴体会等差数列前体会等差数列前n项和公式的推导过程项和公式的推导过程熟练掌握等差数列的五个量熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另的关系，能够由其中的三个求另外两个外两个2.2 等差数列的前n项和(一)【课标要求】【核心扫描】通过实例，了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点)理解等差数列前n项和公式推导所体现的数学思想方法(重点)1212 高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从计算从1 1到到100100的自

2、然数之和的自然数之和. .那个老师认为，这些孩子算这那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了去了. .谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“:“老师，老师，我做完了我做完了.”.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯. .老老师走到他身边，只见他在笔记本上写着师走到他身边，只见他在笔记本上写着50505050，老师看了，不，老师看了，不由得暗自称赞由得暗自称赞. .为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他为了鼓励他，老师买了

3、一本数学书送给他. .思考：思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？的值呢？10099321计算：100 9998 2 1.50502)1001 (10010099321 有有200200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列：等差数列：1,2,31,2,3，等差数列的前等差数列的前n n项和公式

4、项和公式,321nSn 设共摆放了设共摆放了n n层，能构成正三角形垛的圆木料数为层，能构成正三角形垛的圆木料数为S Sn n, ,则则 这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？而高斯计算的就是当的和呢？而高斯计算的就是当n=100n=100时的和时的和. .可见日常生活可见日常生活中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题的过程中悟出求一般等差数列前的过程中悟出求一般等差数列前n n项和的方法吗？项和的方法吗？抽象概括抽象概括设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，即

5、项和，即.321nnaaaaS根据根据等差数列等差数列an的通项公式，上式可以写成的通项公式，上式可以写成,321nnaaaaS再把项的次序反过来，再把项的次序反过来，S Sn n又可以写成又可以写成,121aaaaSnnnn把，把， 等号两边分别相加，得等号两边分别相加，得)()()(2111nnnnaaaaaaS（共（共n n个）个）).(1naan于是，首项为于是，首项为a a1 1, ,末项为末项为a an n, ,项数为项数为n n的等差数列的前的等差数列的前n n项和项和.2)(1nnaanS 这个公式表明：等差数列前这个公式表明：等差数列前n n项的和等于首末两项的项的和等于首末

6、两项的和与项数乘积的一半，参见下图和与项数乘积的一半，参见下图. .1a1a1a1a1a1a1a1a1a1adddddddddddddddddddd1a2a3a4a5a1a2a3a4a5a将将a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d代入式，得代入式，得112().nn nSnad个连续正整数的和个连续正整数的和时，时，特别地，当特别地，当nda111 ,.2)1(321 nnnSn对于本节开头的问题，即转化为求满足对于本节开头的问题，即转化为求满足2002) 1(nnSn的最大自然数的最大自然数n.n.易知当易知当n=19n=19时，时，S Sn n=190;n=20=190;n

7、=20时，时，S Sn n=210.=210.所所以以n n的最大值为的最大值为19.19.此时，将堆垛此时，将堆垛1919层，剩余层，剩余1010根圆木料根圆木料. .等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式23等差数列的前 n 项和的理解(1)Snna1an2反映了“首项、末项、项数”与前 n 项和Sn的关系，一定要认清求和是从哪里开始，到哪里结束此公式用语言叙述为：等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半(2)Snna112n(n1)d 反映了“首项、项数、公差”与前 n项和 Sn的关系，表明了基本量 a1，d 在求和中的重要意义.2) 121 (125312nnnn）（

8、解解 由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得例例1 1 求前求前n n个正奇数的和个正奇数的和. .题型一与前题型一与前n项和有关的基本量的运算项和有关的基本量的运算变式训练变式训练1：课本第：课本第17页页 练习练习 2 在等差数列在等差数列an中，中，(1)a1105，an994，d7，求，求Sn；(2)a11，an512，Sn1 022，求，求d. 思路探索思路探索 将等差数列问题利用化归思想转化为将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法通法解解(1)由由ana1(n1)d，且，且a110

9、5，d7，得，得994105(n1)7，解之得，解之得n128.【例2】解之得解之得n4.又由又由ana1(n1)d，即即5121(41)d，解之得，解之得d171.规律方法规律方法一般地，等差数列的五个基本量一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即出另外两个量，即“知三求二知三求二”问题，若能巧妙地利问题，若能巧妙地利用等差数列用等差数列(或前或前n项和项和)的性质会使计算更简便的性质会使计算更简便解解: :设数列设数列an的首项的首项a1，公差，公差d，由已知，得，由已知，得【训练2】a15

10、d10，5a11254d5，得a15，d3.a8a17d57316.S882(a1a8)82(516)44.在等差数列在等差数列an中，中，a610，S55，求，求a8和和S8. 已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S1035，S22473，求，求Sn. 思路探索思路探索 可列方程组求出可列方程组求出a1和和d再求再求Sn.【例3】题型二求等差数列的前n项和解：an为等差数列，Snna1nn12d，S1010a1101012d35，S2222a1222212d473，即10a145d35，22a1231d473，解得a110，d3.Snna1nn12d10nnn123

11、32n2232n.规律方法规律方法首项首项a1和公差和公差d是等差数列的基本元素，其余的量均可与是等差数列的基本元素，其余的量均可与它们联系，故当条件与结论的联系不明显时，可先依据题目条件，列它们联系，故当条件与结论的联系不明显时，可先依据题目条件，列方程组，先求出方程组，先求出a1和和d，再解决其他问题，这是求，再解决其他问题，这是求Sn的基本方法的基本方法等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S1284，S20460，求，求S28.【训练3】解设an的公差为 d，则 Snna1nn12d.由已知条件，得12a112112d84，20a120192d460，整理得2a111d

12、14，2a119d46，解得a115，d4，Sn15nnn1242n217n，S28228217281 092. 例例4 4 在我国古代，在我国古代，9 9是数字之极，代表尊贵之意，所以是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与中国古代皇家建筑中包含许多与9 9相关的设计相关的设计. .例如，北京例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有一块天心石，围绕它的第一圈有9 9块石板，从第二圈开始，块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多每一圈比前一圈多9 9块，共有块，共有9 9圈圈. .

13、请问：请问：题型三等差数列的前题型三等差数列的前n项和的实际应用项和的实际应用 （1 1）第）第9 9圈共有多少块石板？圈共有多少块石板？ （2 2）前）前9 9圈一共有多少块石板？圈一共有多少块石板？ 解解 （1 1）设从第）设从第1 1圈到第圈到第9 9圈石板数所成数列为圈石板数所成数列为 a an n,由由题意可知题意可知 a an n 是等差数列，其中是等差数列，其中a a1 1=9=9，d=9,n=9.d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第由等差数列的通项公式，得第9 9圈有石板圈有石板.819) 19(91)(919（块）daa（2 2）由等差数列的前）由等差数列的前n n项和

14、公式，得前项和公式，得前9 9圈一共有石板圈一共有石板).(4059289992) 19(9919块daS答答 第第9 9圈有圈有8181块石板，前块石板，前9 9圈一共有圈一共有405405块石板块石板. .1. 1. 根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n. .;10,95,5)1(1naan1010(595)500.2S;50,2,100)2(1nda5050501)50 100( 2)2 550.2 S（2.2.一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V V形架的最下面一层放形架的最下面一层放1 1支铅笔，往上支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120120支支. . 这个这个V V形架上共放着多少支铅笔？形架上共放着多少支铅笔？解：解：由题意可知，这个由题意可知，这个V V形架上共放着形架上共放着120120层铅笔，且自下而层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为上各层的铅笔