复变函数与积分变换第一章

1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换及应用背景复变函数与积分变换及应用背景 ( (古今数学思想古今数学思想(Mathematical(MathematicalThought from Ancient to Modern Times)Thought from Ancient to Modern Times)的作的作者者, , 美国数学史家美国数学史家) ) 指出指出: : 从技术观点来看从技术观点来看, ,十十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论九世纪最独特的创造是单复变函数的理论. .这个这个新的数学分支统治了十九世纪新的数学分支统治了十九世纪, ,几乎象微积分的几乎象微积分

2、的直接扩展统治了十八世纪那样直接扩展统治了十八世纪那样. .这一丰饶的数学这一丰饶的数学分支分支, ,一直被称为这个世纪的数学享受一直被称为这个世纪的数学享受. .它也被欢它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一呼为抽象科学中最和谐的理论之一. .的概念的概念, 从而建立了复变函数理论从而建立了复变函数理论. 为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分数的积分. (1) 代数方程代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解. 210 x 说说: 实域中两个真理之间实域

3、中两个真理之间的的最短路程是通过复域最短路程是通过复域.(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究等问题的研究.函数理论证明了函数理论证明了应用复变应用复变(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5) 应用于计算渗流问题应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6) 应用于平面热传导问题、电应用于平面热传导问题、电(磁磁)场强度场强度. 例如：热炉中温度的计算例如：热炉中温度的计算. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从

4、而研究机翼的造型问题从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等变换应用于频谱分析和信号处理等. (8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础复变函数理论也是积分变换的重要基础. 积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域和其他许多数学、物理和工程技术领域 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，

5、在频域中的处理要方便得多象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(9)变换应用于控制问题变换应用于控制问题. 在控制问题中，传递函数是输入量的在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的变换与输出量的Laplace变换之比变换之比.(11) Z变换应用于离散控制系统变换应用于离散控制系统.(12) 小波分析的应用领域十分广泛小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等地质勘探与地震预报等等.(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和复变函数与积分变换的计算

6、可以使用为科学和工程计算设计的软件工程计算设计的软件(10)复变函数与积分变换的主要内容复变函数与积分变换的主要内容1 1 复变函数与解析函数复变函数与解析函数2 2 复变函数的积分复变函数的积分3 3 复变函数的级数复变函数的级数4 4 留数及应用留数及应用5 5 保角映射保角映射6 6 Fourier变换变换7 7 Laplace变换变换8 8 Z变换变换9 9 小波小波变换基础变换基础第一章第一章 复变函数与解析函数复变函数与解析函数1.1 1.1 复复 数数1 1 复数的概念复数的概念2 2 复数的四则运算复数的四则运算3 3 复数的表示方法复数的表示方法4 4 乘幂与方根乘幂与方根1

7、.1.1 1.1.1 复数的概念复数的概念 由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要, 人们引进了复数人们引进了复数. 例如，简单的代数方程例如，简单的代数方程210 x 在实数范围内无解在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍为了建立代数方程的普遍理论，引入等式理论，引入等式 21.i 由该等式所定义的数称为由该等式所定义的数称为1.i Re ,xz Im .yz 数数 x+iy (或或 x+yi )的的 , 并记做并记做 称形如称形如 x+iy 或或 x+yi 的表达式为复数，其中的表达式为复数，其中 x和和y是任意两个实数是任意两个实数. 把这里的把这里的x和和y分别称为复分别称为复显

8、然显然, z=x+iy 是是 x-iy的共轭复数的共轭复数, 即即 .zzz共轭复数共轭复数 复数复数 x-iy 称为复数称为复数 x+iy 的的 (其中其中x, y均为实数均为实数), 并记做并记做 . z1.1.2 1.1.2 复数的四则运算复数的四则运算注意注意 复数不能比较大小复数不能比较大小. . 设设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数是两个复数, 如果如果x1=x2, y1=y2, 则称则称z1和和z2相等相等, 记为记为z1=z2. 复数复数z1=x1+iy1和和z2=x2+iy2的加、减、乘、除的加、减、乘、除运算定义如下：运算定义如下： (1) 复数的和与差复

9、数的和与差)()(212121yyixxzz (2) 复数的积复数的积)()(2112212121yxyxiyyxxzz (3) 复数的商复数的商222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 2221zzzz 复数运算的性质复数运算的性质1221;zzzz1221.zzzz1. 交换律交换律 123123()();zzzzzz1231213().zzzzzzz2. 结合律结合律 3. 分配律分配律 12124. ;zzzz;2121zzzz 1122.zzzz 5. .zz 226. Re( )Im( ).z zzz7. 2Re( ),2 Im( ).zzzzziz123

10、123()().zzzzzz解解12341zizi (34 )( 1)( 1)( 1)iiii ( 34)(43)2i 71.22i 21 zz71.22i 例例 1.1 设设 1234 ,1,zi zi 12zz求求与与12 .zz例例 1.21,ii 21,i 32,ii ii 4221,iii , 14 ni,14iin , 124 ni43,nii 441.ni 给定一复数给定一复数z=x+iy, 在坐标平面在坐标平面XOY上存上存在惟一的点在惟一的点P(x,y)与与z=x+iy对应对应. 反之反之, 对对XOY平面上的点平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数存在惟一的复数z=x+i

11、y与它与它对应对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以因此可以用用XOY平面上的点表示复数平面上的点表示复数z.),(yx xyxyoiyxz 这时把这时把XOY平面称平面称为复平面为复平面. 有时简称为有时简称为z平面平面. 1.1.3 1.1.3 复平面与复数的表示法复平面与复数的表示法 显然显然, 实数与实数与x轴上的点一一对应轴上的点一一对应, 而而x轴以轴以外的点都对应一个虚数外的点都对应一个虚数, 纯虚数纯虚数 与与y轴轴上的点上的点(除原点除原点)对应对应. 因此因此, 称

12、称x轴为实轴轴为实轴, y轴轴为虚轴为虚轴. 0iy y 今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区别不加区别, 即即“点点z”和和“复数复数z”是同一个意思是同一个意思. 有时用有时用C 表示表示全全体复数或复平面体复数或复平面.xyxyoiyxz P 复数复数z也可以用以原点也可以用以原点为起点而以点为起点而以点P为终点的向为终点的向量表示量表示(如图如图). 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则行四边形法则. 用用 表示复数表示复数z时时, 这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上轴上的投影分别为的投影分别为x和和y.OP 把

13、向量把向量 的长度的长度r 称为复数称为复数z的的 或称为或称为z的绝对值的绝对值, 并记做并记做|z|. OPxyxyoiyxz P显然显然 22,zrxy, , .zxyxzyz 如果点如果点P不是原点不是原点(即即 ), 那么把那么把 x 轴正轴正向与向量向与向量 的夹角的夹角 q q 称为复数称为复数 z 的辐角的辐角, 记做记做Argz. 0z OP 对每个对每个 , 都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角, 因为用因为用q q0 0表示复数表示复数z的一个辐角时的一个辐角时, 0z 02 0, 1, 2,kkqqqq就是就是z的辐角的一般表达式的辐角的一般表达式. Argarg2 0,

14、1, 2,.zzkk 满足满足 的复数的复数z的的 称为主辐角称为主辐角qq(或称辐角的主值或称辐角的主值), 记做记做argz, 则则有时有时, 在进行说明后在进行说明后, 把主辐角定义为满足把主辐角定义为满足的方向角；但当的方向角；但当z=0时时, |z|=0. 02qq的辐角的辐角, 这时上式仍然成立这时上式仍然成立. 当当z=0时时, Argz没有意义没有意义, 即零向量没有确定即零向量没有确定利用直角坐标与极坐标之间的关系利用直角坐标与极坐标之间的关系 cos ,xrq q sin ,yrq q 数数z的的三角表示式三角表示式. 再利用再利用Euler公式公式 cossin ,iei

15、q qq qq q 复数复数z=x+iy 可表示为可表示为 称为复称为复(cossin ),zriq qq q 复数复数z=x+iy 又可表示为又可表示为 称为复数的称为复数的,izreq q 指数表示式指数表示式, 其中其中r=|z|, q q=Argz.当当 0z 时时, ArgArg .zz 当当 时时, izreq q .izreq q 共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质一对共轭复数一对共轭复数z和和 在在复平面的位置是关于复平面的位置是关于实轴对称的实轴对称的.zxyoiyxz iyxz 复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质1212.zzzz1212;zzzz , 2121故故

16、之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo2z1z 从几何上看从几何上看, 复数复数 z2-z1所表示的向量所表示的向量, 与以与以z1为起点、为起点、z2为终点的向量相等为终点的向量相等 (方向相同方向相同, 模模相等相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算向量的加、减运算. 1.1.4 1.1.4 乘幂与方根乘幂与方根,sin(cos1111）q qq qirz 2222(cossin.zriqqqq）)sin(cos)sin(cos22211121q qq qq qq qirirzz 121212(

17、coscossinsin)r rqqqqqqqq12121212cos()sin().zzr riqqqqqqqq设复数设复数z1和和z2的三角表示式为的三角表示式为 1212(sincoscossin),iqqqqqqqq根据乘法定义和运算法则及两角和公式根据乘法定义和运算法则及两角和公式,两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为q q2q qoxyr2r1r 2z 1z z1q q先将先将z1按逆时针方向按逆时针方向,sin(cos1111）q qq qirz 2222(cossin.zriqqqq）旋转角度旋转角度 , ,再将模再将

18、模2q q变到原来的变到原来的r2倍倍,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积12.zz 于是于是.ArgArg)(Arg2121zzzz 1 21212,z zr rzz利用数学归纳法可以证明：如果利用数学归纳法可以证明：如果 (cossin) 1,2,kkkkzriknqqqq1 21 212cos()nnnz zzrrrqqqqqq12sin().niqqqqqq特别地特别地, 如果如果12(cossin ),nzzzriq qq q (cossin).nnzrninq qq q 那么那么那么那么如果写成指数形式，即如果如果写成指数形式，即如果 1,2,kikkzr eknq

19、 q,izreq q 那么那么 12121 2,ninnz zzr rr eq qq qq q .nninzr eq q 特别地，当特别地，当|z|=r=1时时, 1 21 212cos()nnnz zzrrrqqqqqq12sin(),niqqqqqq变为变为 cossin(cossin).nininqqqqqqqq cossin(cossin)nininqqqqqqqq称为称为De Moivre公式公式. 那么那么De Moivre公式仍然成立公式仍然成立. 设设1111(cossin),zriqqqq2222(cossin),zriqqqq如果定义负整数幂为如果定义负整数幂为 1,nnz

20、z 当当 20z (即即 )时时,20r 2112211222222211zz zz zz zzrz zz112122cos()sin().rirqqqqqqqq,111q qierz .)(212121q qq q ierrzz,222q qierz 则则如果将如果将z1和和z2写成指数形式写成指数形式 , 2121zzzz .ArgArgArg2121zzzz 故故记做记做 或或 如果如果 nz1.nz(cossin ),zriqqqq),sin(cos iw 于是于是, , nr ,coscosq q nsinsin .nqq (cossin)(cossin ).nninriqqqq0r

21、 当当 时时,对给定的复数对给定的复数z, 方程方程wn=z的解的解w称为称为z的的n次方根次方根, 满足以上三式的充分必要条件是满足以上三式的充分必要条件是1,nr 2 (0,1,2,),nkkqq其中其中 表示算术根表示算术根. 于是于是 1nr nkinkrzwnn2sin2cos1q qq q(0,1,2,).k 当取当取k=0,1,2,n-1时时, 对一个取定的对一个取定的q q, , 可可得得 n个相异根如下个相异根如下 ,sincos10 ninrwnq qq q,2sin2cos11 ninrwnq qq q .)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnnq qq q由

22、三角函数的周期性由三角函数的周期性 122cossinnk nknknwrinnqqqq 12 2 cossin.nkkkriwnnqqqq 可见可见, 除除w0,w1,wn-1外外, 均是重复出现的均是重复出现的, 故故当当z=0时时, w=0就是它的就是它的n次方根次方根. 常取主辐角常取主辐角. 若用指数表示式若用指数表示式, 则当则当z=reiq q时时, 21 0, 1, 2, ,1 .iknnkwr eknq q 这这n个复数就是所要求的个复数就是所要求的n个根个根. 在上面的推导过程中在上面的推导过程中, 可取可取q q为一个定值为一个定值, 通通例例1.3 求方程求方程 w4+

23、16=0的四个根的四个根. 121442422 0,1,2,3 .kikiweek 4022 cossin2(1),44iweii 3413322 cossin2( 1),44iweii 因为因为-16=24e(2k+1) i , 所以所以w4=24e(2k+1) i . 于是于是 5425522 cossin2(1),44iweii 7437722 cossin2(1).44iweii w0, w1, w2, w3恰好是以原点为圆心、半径为恰好是以原点为圆心、半径为2的圆的圆一般情况下一般情况下, 1nnzz n个根就是以原点为中心、个根就是以原点为中心、半径为半径为 1nr的圆的内接正多边

24、的圆的内接正多边 形的形的n个顶点所表示的复数个顶点所表示的复数. |z|=2的内接正方形的四个顶点的内接正方形的四个顶点(如图如图).oxy1w2w3w0w1.2 1.2 平平 面面 点点 集集1 1 区域区域2 2 Jordan曲线、连通性曲线、连通性1.2.1 1.2.1 区域区域 1. 邻域邻域 z0是复平面内的定点是复平面内的定点, 满足不等式满足不等式|z-z0|d d 的的一切点所组成的集合一切点所组成的集合 z| |z-z0|0. z0的邻域实际上是以的邻域实际上是以z0为中为中心心, d d 为半径的圆的内部所有点组成的点集为半径的圆的内部所有点组成的点集, 简记为简记为B(

25、z0,d d).由满足不等式由满足不等式0|z-z0|0, 满足满足 3. 外点外点 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, z0是一个定点是一个定点, 若存若存在在z0的一个邻域的一个邻域, 使得在此邻域内的一切点均不属使得在此邻域内的一切点均不属于于E, 则称则称z0是是E的外点的外点. 即存在即存在 0, 满足满足 00, .B zEzzzE 4. 边界点边界点 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, z0是一个定点是一个定点, 若若z0的任何邻域内都含有属于的任何邻域内都含有属于E的点和不属于的点和不属于E的点的点, 则称则称z0是是E的边界点的边界点 . 00, .B zzzzE

26、 即对任意的即对任意的 0, 存在存在 z1, z2 B(z0, ), 满足满足 12, .zE zE 显然显然, E的内点属于的内点属于E, 而外点不属于而外点不属于E, 但边界但边界点既可能属于点既可能属于E, 也可能不属于也可能不属于E. E的边界点的全体所组成的集合称为的边界点的全体所组成的集合称为E的边界的边界, 记做记做 E. 5. 开集开集 设设G是复平面上的点集是复平面上的点集, 如果如果G 内每一点内每一点都是它的内点都是它的内点, ,则称则称G 为开集为开集. . 例例1.4 设设z0是定点是定点, r 0是常数是常数, 则则z0为中心为中心, 以以r为半径的圆的内部点为半

27、径的圆的内部点, 即满足不等式即满足不等式 |z-z0|r 的一切的一切点点z所组成的点集所组成的点集 (z0的的r邻域邻域) 是开集是开集. 当当 0 rR (r 和和 R 均是常数均是常数) 时时, 满足不等式满足不等式r |z -z0|R的一切的一切z所组成的点集也是开集所组成的点集也是开集. 但满足不等式但满足不等式 r|z-z0| R的一切点所组成的点集的一切点所组成的点集不是开集不是开集. 因为在圆周因为在圆周|z-z0|=R上的点属于集合上的点属于集合r|z-z0| R, 但这些点不是它的内点但这些点不是它的内点, 而是边界点而是边界点. 在圆周在圆周|z-z0|=r和圆周和圆周

28、|z-z0|=R上的点都是点集上的点都是点集 r |z-z0|R和和 r|z-z0| R 的边界点的边界点. 两个圆周上的点都不属于点集两个圆周上的点都不属于点集r|z-z0|R, 内圆内圆周周|z-z0|=r不属于点集不属于点集r|z-z0| R, 外圆周外圆周|z-z0|=R属于属于点集点集r z(3) 角形域角形域:;arg21 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo1.2.2 1.2.2 Jordan曲线、连通性曲线、连通性(1) 连续曲线、连续曲线、 Jordan曲线曲线( )( )( )().zz tx tiy tt

29、参数方程参数方程 x=x(t), y=y(t) ( t ) 在在XOY平面平面上表示一条曲线上表示一条曲线C. 把把XOY平面视为复平面时平面视为复平面时, 曲曲线线C的参数方程可表示为的参数方程可表示为 如果如果x=x(t), y=y(t) ( t )为连续函数时为连续函数时, 则则称曲线称曲线C为连续曲线为连续曲线. 曲线曲线C 在复平面上的参数方程不仅确定了曲线在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状的形状, 实际上还给出了曲线的方向实际上还给出了曲线的方向, 也就是说也就是说, 曲曲线是沿着线是沿着t 增加的方向变化的增加的方向变化的. 复平面上对应于复平面上对应于z( )=x( )+

30、iy( )的点称为曲线的点称为曲线C的起点的起点, 对应于对应于z( )=x( )+iy( )的点称为曲线的点称为曲线C 的的终点终点. 用用C 表示与表示与C形状相同、方向相反的曲线形状相同、方向相反的曲线. 若曲线若曲线C的起点与终点重合的起点与终点重合, 即即z( )= z( ), 则称则称C是闭曲线是闭曲线. 例如例如, z=z(t)=r(cost+isint) (0 t 2 )是一条闭曲线是一条闭曲线, 因为因为z(0)=z(2 )=r. 如果曲线如果曲线C: z=z(t) ( t ) 除起点与终点外无重除起点与终点外无重点点, ,即除即除 t1= , t2= 之外之外, 如果如果t

31、1 t2, 有有z(t1) z(t2), 则称则称曲线曲线C是简单曲线是简单曲线. 连续的简单闭曲线称为连续的简单闭曲线称为Jordan曲线曲线. 任何任何Jordan曲线曲线C将平将平面分为两个区域面分为两个区域, 即内部区即内部区域域(有界有界)与外部区域与外部区域(无界无界), C是它们的公共边界是它们的公共边界. xyo内部内部外部外部边界边界 如果如果t1 t2, 有有z(t1)=z(t2), 则称则称 z(t1)=z(t2) 是曲线是曲线z =z(t)的重点的重点. 关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 设设C 为平面上给定的一条连续曲线为平面上给定的一条连续曲线, ,如果选如果

32、选定定 C 的两个可能方向中的一个作为正向的两个可能方向中的一个作为正向, , 则称则称C为为有向曲线有向曲线. . 如果从如果从A 到到 B 作为曲线作为曲线 C 的正向的正向, 那么从那么从 B 到到 A 为为曲线曲线 C 的负向的负向, 就是就是C.xyo除特殊声明外除特殊声明外, 正向总是指从起点到终点的方向正向总是指从起点到终点的方向.CABCAB Jordan曲线曲线C有两个方向有两个方向, 当点当点z沿着沿着C 的的一个给定方向变化时一个给定方向变化时, 若若C的内部出现在点的内部出现在点z前前进方向的左侧进方向的左侧, 就规定这个方向是正的就规定这个方向是正的; 否则否则就说是

33、负的就说是负的. 如果没有特别如果没有特别说明说明, 约定约定Jordan曲线的正向为这条曲线的正向为这条曲线的方向曲线的方向.xyoPPPP 对于圆周曲线可以简单地说对于圆周曲线可以简单地说, 逆时针方向逆时针方向为曲线的正向为曲线的正向, 顺时针方向为曲线的负向顺时针方向为曲线的负向. (2) 光滑曲线光滑曲线 如果曲线如果曲线C参数方程中的参数方程中的x(t)和和y(t)都在都在 , 上存在连续的导函数上存在连续的导函数, 且对任何且对任何t , , 都有都有 220,xty t 称称C是一条是一条光滑曲线光滑曲线. 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲

34、线称为称为分段光滑曲线分段光滑曲线. .xyoxyo光滑曲线光滑曲线分段光滑曲线分段光滑曲线(3) 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 设设D是复平面上的一个区域是复平面上的一个区域, , 如果位于如果位于D内内的任何的任何Jordan曲线的内部区域也都包含于曲线的内部区域也都包含于D, ,则则称称D为单连通区域为单连通区域. .若区域若区域D不是单连通区域不是单连通区域, ,则则称它为称它为多连通区域多连通区域. .单连通域单连通域多连通域多连通域1.3 1.3 连续函数连续函数1 1 复变函数的定义复变函数的定义2 2 复变函数的极限复变函数的极限3 3 函数的连续性函数的连续性

35、1.3.11.3.1 复变函数的定义复变函数的定义 定义定义1.1 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, 若对任何若对任何z E, 都存在惟一确定的复数都存在惟一确定的复数w和和z对应对应, 称在称在 E上确定了一个单值复变函数，用上确定了一个单值复变函数，用w=f (z)表示表示. E 称为该函数的定义域称为该函数的定义域. 在上述对应中在上述对应中, 当当z E所对应的所对应的w不止一个不止一个时时, 称在称在E上确定了一个多值上确定了一个多值复变复变函数函数. 数数, 而而 Argarg2 (0, 1, 2,)wzzkk 例如例如, w=|z|是以复平面是以复平面C为定义域的单值函为

36、定义域的单值函是定义在是定义在C 0上的多值函数上的多值函数. 以后不特别申明时，所指的复变函数都是单以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数值函数. 因为因为z=x+iy和和w都是复数都是复数, 若把若把w记为记为u+iv时时, u与与v也是也是z的函数的函数, 因此也是因此也是 x 和和 y 的函数的函数. 于是于是, 可以写成可以写成 ( )( , )( , ),f zu x yiv x y 其中其中u(x,y)和和v(x,y)都是实变量的二元函数都是实变量的二元函数. 例如例如: : w=z2 是一个是一个复变函数复变函数. 令令,.zxiywuiv因为因为 于是于是函数函数w=z

37、2对对222()2,xiyxyxyi22, 2.uxyvxy应于两个二元实函数应于两个二元实函数令令 于是于是,.22zzzzxyi反之反之, 如果如果22( , )( , )2,wu x yiv x yxyxyi2222.2222zzzzzzzzwizii反函数的定义反函数的定义 设函数设函数w=f(z)的定义域为复平面上的点集的定义域为复平面上的点集D, 称复平面上的点集称复平面上的点集 ( ), Gwwf zzD为函数为函数w=f(z)的值域的值域. 对于任意的对于任意的w G, 必有必有D中一个或几个复数中一个或几个复数与之对应与之对应. 于是于是, 确定了确定了G上一个单值或多值函数

38、上一个单值或多值函数z= (w),称之为函数称之为函数w=f(z)的反函数的反函数. 定义定义1.2设复变函数设复变函数w=f(z)在在z0的某个去心的某个去心邻域内有定义邻域内有定义, A是复常数是复常数. 若对任意给定的若对任意给定的e e 0,存在存在d d 0, 使得对一切满足使得对一切满足0|z-z0|d d 的的z , 都有都有 ( )f zAe e 成立成立, 则称当则称当z趋于趋于z0时时, f(z)以以A为极限，并记做为极限，并记做 0lim( )zzf zA 或或 0( ) ().f zA zz注意注意: : 定义中定义中zz0的方式是任意的的方式是任意的. .1.3.2

39、1.3.2 复变函数的极限复变函数的极限 定义定义1.3设设 f (z)在在z0的邻域内有定义的邻域内有定义, 且且 00lim( )()zzf zf z 则称则称f(z)在在z0处连续处连续. 若若f(z)在区域在区域D内的每一点都连续，则称内的每一点都连续，则称f(z)在区域在区域D上连续上连续. 关于函数关于函数f(z)在连续曲线在连续曲线C上的连续性和闭上的连续性和闭区域区域 上的连续性上的连续性, 只要把上述定义中的只要把上述定义中的z限制限制在在C或或 上即可上即可.DD1.3.3 1.3.3 函数的连续性函数的连续性定理定理1.1设设 ( )( , )( , ),f zu x y

40、iv x y 则则 f (z) 在在 000zxiy处连续的充分必要条件是处连续的充分必要条件是 ( , ),u x y( , )v x y都在都在 00(,)xy点连续点连续. 这个定理说明复变函数这个定理说明复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 的连续性等价两个二元实函数的连续性等价两个二元实函数( , ), ( , )u x yv x y的连续性的连续性. 例例1.6设复变函数设复变函数 f (z)在点在点 z0 连续，并且连续，并且f (z0) 0, 则存在则存在 z0的某个邻域，使的某个邻域，使 f (z)在此邻域在此邻域内恒不为内恒不为0. 定理定理1.

41、2设设 ( ), ( )f zg z都在都在 0zz 点连续点连续, 则则( )( ),( ) ( )f zg zf z g z 都在都在 0zz 点连续，而点连续，而 当当0()0g z 时，时，( )( )f zg z也在也在0zz 点连续点连续. 定理定理1.3设设( ) z 在在0z处连续，处连续， 00(),zw 而而()f w在在0ww 点连续，则点连续，则 复合函数复合函数 ( )f g z在在 0zz 点连续点连续. 应用应用 或仿证明实函数类似结论的方或仿证明实函数类似结论的方法可以证明上述两个定理法可以证明上述两个定理. 由前面的结论可知由前面的结论可知, 多项式多项式 1

42、011( )nnnnP zc zc zczc 在复平面内处处连续在复平面内处处连续. 有理分式有理分式10111011( )nnnnmmmma za zazaR zb zb zbzb 在复平面内除分母为零的点之外在复平面内除分母为零的点之外, 处处连续处处连续. ,0, 1, 2, , ,iia cin 0, 1, 2, , jbjm 都是复常数都是复常数. 1.41.4 解析函数解析函数1 1 复变函数的导数复变函数的导数2 2 解析函数解析函数1.4.11.4.1 复变函数的导数复变函数的导数000( )() lim zzf zf zzz (1) 导数的定义导数的定义 定义定义1.4设设

43、是定义在区域是定义在区域D上的上的( )wf z 存在，则称存在，则称 在在 点可导点可导, 并把这个极并把这个极( )f z0zz 限值称为限值称为 在在 点的导数，记做点的导数，记做 0().fz ( )f z0zz 复变函数复变函数, z0是区域是区域D内的定点内的定点. 若极限若极限 定义中的极限式可以写为定义中的极限式可以写为 000()() lim, zf zzf zz 即当即当 在在 点可导时点可导时, ( )f z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 注意注意0(0)zzz 的方式是任意的的方式是任意的.000()()lim.zf zzf zz 此时，对

44、此时，对D内任意一点内任意一点z, 有有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用也可用 dd ( ), ddwf zzz等表示等表示 在在z点的导数点的导数. ( )f z若若 在区域在区域 D内每一点都可导内每一点都可导, 则称则称 ( )f z( )f z在区域在区域 D内可导内可导.(2) 可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数f (z)在在z0处可导，则在处可导，则在z0处一定连续处一定连续, , 但但函数函数f (z)在在z0处连续不一定在处连续不一定在z0处可导处可导. .(3) 求导公式与法则求导公式与法则(1)( )0, c 其中其中c为复常数为复常数.(

45、2)1(),nnznz 其中其中n为正整数为正整数. ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2( )( ) ( )( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)( ),()fzw (6) ( )( )( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中其中其中其中( )wf z 与与( )zw 是两个互为反函数的单值函数是两个互为反函数的单值函数, 且且( )0.w 1.4.21.4.2 解析函数解析函数定义定义1.5 设设 在区域在区域D有定义有定义. f z(1) 设

46、设 , 若存在若存在 的一个邻域，使得的一个邻域，使得 0zD 0z在此邻域内处处可导在此邻域内处处可导, 则称则称 在在 处解析处解析,( )f z0z( )f z也称也称 是是 的解析点的解析点. 0z( )f z(2) 若若 在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 ( )f z在区域在区域D内解析内解析, 或者称或者称 是区域是区域D内的内的( )f z( )f z解析函数解析函数. (3) 设设G是一个区域，若闭区域是一个区域，若闭区域 ,DG 且且 在在G内解析，则称内解析，则称 在闭区域在闭区域 上上 ( )f z( )f zD解析解析. 函数函数 在在 处解析和在

47、处解析和在 处可导意义处可导意义( )f z0z0z不同，前者指的是在不同，前者指的是在 的某一邻域内可导的某一邻域内可导, 0z但后者只要求在但后者只要求在 处可导处可导. 0z若函数若函数 在在 处不解析，则称处不解析，则称 是是 ( )f z0z0z( )f z的奇点的奇点. 若若 是是 的奇点的奇点, 但在但在 的某邻域内的某邻域内, 0z( )f z0z除除 外外, 没有其他的奇点，则称没有其他的奇点，则称 是函数是函数 0z0z( )f z的孤立奇点的孤立奇点. 根据求导法则，很容易得到下面的结论根据求导法则，很容易得到下面的结论.设函数设函数 在区域在区域D内解析内解析, 则则

48、( ), ( )f zg z( )( ), ( ) ( )f zg zf z g z 也在也在D内解析内解析. 当当 时时, 是是00, ()0zD g z0z f zg z的解析点的解析点. 特别地特别地, 多项式多项式P(z)在全平面内解析在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 1.51.5 函数可导的充要条件函数可导的充要条件 2 2 函数可导的充要条件函数可导的充要条件1 1 函数可微的概念函数可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数复变函数可微的

49、概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？可微与可导的关系？00()(), f zzf zAzz 1.5.1 1.5.1 函数可微的概念函数可微的概念定义定义1.6设函数设函数 在在 的某邻域内有定义的某邻域内有定义, ( )f z0z若存在复常数若存在复常数A, 使得使得 其中其中 则称则称 在在 点可微点可微. 0lim0,z ( )f z0z引理复变函数引理复变函数 在点在点 可导的充分必要可导的充分必要( )f z0z条件是条件是 在在 点可微，且点可微，且( )f

50、 z0z0().Afz 与一元实函数类似与一元实函数类似, 记记 000d ()()() d ,f zfzzfzz d ( )( ) d .f zfzz 称之为称之为 在在 处的微分处的微分. ( )f z0z如果函数如果函数 在区域在区域D内处处可微内处处可微, 则称则称( )f z( )f z在区域在区域D内可微内可微, 并记为并记为1.5.2 1.5.2 函数可导的充要条件函数可导的充要条件定理定理1.4复变函数复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在点在点 处可微处可微 ( 即可导即可导 ) 的充分必要的充分必要 000zxiy条件是二元函数条件是二元函数

51、在在 处都处都 ( , ), ( , )u x y v x y00(,)xy可微，并且满足可微，并且满足Cauchy-Riemann方程方程, .uvuvxyyx 此时此时 000()(,).uvfzixyxx 定理定理1.5复变函数复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在区域在区域D内解析的充分必要条件是内解析的充分必要条件是 ( , ), ( , )u x y v x y在区域在区域 D 内可微内可微, 且在且在D内满足内满足Cauchy-Riemann方程方程 , .uvvuxyxy 在区域在区域 D内内 ( ).uvuuvvvufziiiixxxyyxyy

52、例例1.7证明函数证明函数 ( )(cossin )xf zeyiy是复平面是复平面C上的解析函数，且上的解析函数，且 ( )( ).fzf z 证明显然，证明显然， ( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yey在全平面上可微，且在全平面上可微，且 cos , sin ,xxuueyeyxy sin , cos .xxvveyeyxy 在全平面处处满足在全平面处处满足Cauchy-( , ), ( , )u x y v x yRiemann方程方程, 所以所以 是复平面是复平面C上的解析上的解析( )f z函数函数, 并且并且( )(cossin )( ).xuvf

53、zieyiyf zxx Cauchy-Riemann方程在解析函数论及其方程在解析函数论及其在力学、物理学等的应用中具有根本性的意义在力学、物理学等的应用中具有根本性的意义,特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要作用作用. 和和 在全平面内处处可微，但在全平面内处处可微，但 ( , )u x y( , )v x y2 , 2 , 2 , 2 .uuvvxyyxxyxy只有在实轴只有在实轴 上满足上满足Cauchy-Riemann方程方程, 0y 所以所以 在实轴上可微在实轴上可微. 但在任何一点的邻域但在任何一点的邻域( )f z内都有不可微的点，因此

54、，内都有不可微的点，因此， 处处不解析处处不解析. ( )f z例例1.8设设 问问 22( )2,f zxyxyi( )f z在何处可微在何处可微? 是否解析是否解析? 解记解记 显然显然, 函数函数 22,2.uxy vxyxvixuzf )(, 0 yuiyv0,uvuvxyyx例例1.9 如果如果 在区域在区域D内处处为零内处处为零, , 则则( )fz f (z)在区域在区域D内为常数内为常数.证明证明 根据根据所以所以 都是常数都是常数. ( , ), ( , )u x yv x y因此因此 f (z)在区域在区域D内为常数内为常数.1.61.6 初等解析函数初等解析函数1 1 指

55、数函数指数函数2 2 对数函数对数函数3 3 幂函数幂函数4 4 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数由由1.6.1 1.6.1 指数函数指数函数( )(cossin )xf zeyiy在在z平面上解析，且平面上解析，且 当当z为实数为实数, 即即 ( )( ).fzf z 当当 y=0时时, 与通常实指数函数一致与通常实指数函数一致, 因此因此 ( )xf ze 给出下面定义给出下面定义. 定义定义1.7假设假设 则由则由 ,zxiy(cossin )xeyiy 可知可知, 函数函数定义复指数函数，记定义复指数函数，记 exp( )(cossin ),xzeyiy或简记为或简记为(cossi

56、n ).zxeeyiy显然显然Re(exp( )cos , xzey Im(exp( )sin ,xzey exp( ),xze Arg(exp( )2 (0,1, 2,). zykk 定理定理1.6 设设 为指数函数，则为指数函数，则 在全平在全平面面zeze解析，解析， 且且 ,zzee 从而从而 其中其中n正整数正整数;(1)1212,zzzzeee (),znnzee 0,ze (2)当当 时时, 其中其中 Im( )0z ( ),xf ze Re( );xz (3)ze是周期函数是周期函数, 其周期是其周期是 n非零整数非零整数, 2,Tn i (4)1ze 的充分必要条件是的充分必

57、要条件是 n为整数为整数. 2,zn i 2;zn izee 即即1.6.2 1.6.2 对数函数对数函数定义定义1.8指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数,即把满足方程即把满足方程 的函数的函数 称称 (0)wez z( )wf z 为为z的对数函数，记作的对数函数，记作 Ln .wz 令令 则由则由 , ,iwuiv zreq q (0),wez z可得可得 从而由复数的相等的定义知从而由复数的相等的定义知, ,u iviereq q , 2,uer vkqq即即 其其ln , 2,ur vkq q 中中k为整数为整数, 或或 ln, Arg .uzvz 所以所以Lnl

58、nArgln(arg2)wzzizzizk 0, 1, 2,.k 由于由于 是多值的，所以是多值的，所以 是多值函数是多值函数. ArgzLnz如果记如果记 则对数函数可写为则对数函数可写为 lnlnarg ,zziz Lnln2 0, 1, 2,.zzk ik 对应某个确定的对应某个确定的k, 称为对数函数的第称为对数函数的第k个个 个分支个分支, 对应对应 k=0 的分支，称为对数函数主支的分支，称为对数函数主支.于是于是 即是对数主支即是对数主支, 称称lnlnargzziz lnz为对数函数的主值为对数函数的主值. 对数函数各分支之间，其虚部仅差对数函数各分支之间，其虚部仅差 的的 2

59、 倍数，因此，当给定特殊分支倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定即给定 k的值的值)时时, 的值就被确定的值就被确定. Argz例如例如, 如果给定分支的虚部落在区间如果给定分支的虚部落在区间 (, ) 中，那么中，那么 即取即取 k=0 的那的那Ln(1)ln 2,4ii 个对数分支个对数分支. 如果给定分支的虚部落在区间如果给定分支的虚部落在区间 中中, ( ,3 ) 那么那么 即取即取 k=1 的那个的那个9Ln(1)ln2,4ii 对数分支对数分支. 这可在这可在 ln22 (0, 1, 2)4ikk Ln(1)ln 1Arg(1)iiiiln 2arg(1)2iii k 中取中取 k

60、=1 得到得到. 利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与商的相应公式商的相应公式 1 212Ln()LnLn ,z zzz 112122LnLnLn (,0).zzzz zz 在实函数对数中，负数不存在对数；但在在实函数对数中，负数不存在对数；但在复变数对数中，负数的对数是有意义的复变数对数中，负数的对数是有意义的. 例如例如 (21) (0, 1, 2,).ki k Ln( 1)ln1arg( 1)2ii k 定理定理1.7对数主支对数主支 lnlnargzziz 在在 区域区域