第十章 变形及刚度计算

1、2第十章第十章 变形与刚度计算变形与刚度计算10-1 轴向拉伸与压缩的变形轴向拉伸与压缩的变形10-2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算10-3 弯曲变形与刚度计算弯曲变形与刚度计算10-4 能量法简介能量法简介10-5 简单静不定问题的求解简单静不定问题的求解32-6 轴向拉伸与压缩的变形轴向拉伸与压缩的变形一一 纵向变形纵向变形FFbhh1b1ll1E为弹性摸量为弹性摸量1lll ll l l E lE NFA NF lEA EA为抗拉刚度为抗拉刚度4FFbhh1b1ll1二二 横向变形横向变形 bbb 1bbb bb 泊松比泊松比: : 横向应变横向应变: :钢材的钢材的E

2、约为约为200 GPa， 约为约为0.250.335i) )多力杆多力杆：1nN iiiiFllEA( )( )NlFx dxlEA xii)ii)对于对于N沿杆长连续变化的情况沿杆长连续变化的情况， 即即FN=FN(x)：NFllE A 的应用推广的应用推广：20kN60kN40kN200200FNx40kN20kNFNxFN (x)6讨论题讨论题 在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘帖两个应变片在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘帖两个应变片 1 1和和 2，在在F力作用下，若测得力作用下，若测得 1 1120120106， 2=40106 ，则该试件，则该试件材料的泊松比是材料的泊松比是 。

3、 1 2FF(A) 33；(B) 33；(C) 1/31/3； (D) 1/31/3；C72F3FFl / 2l / 2EA2EA讨论题讨论题 图示阶梯形杆总变形图示阶梯形杆总变形l= 。 ( ) 0A( )2FlBEA( )FlCEA3( )2FlDEAA8讨论题讨论题. 抗拉（压）刚度为抗拉（压）刚度为EA的等直杆受力如图所示，试问：的等直杆受力如图所示，试问： EALPEALPL2211 （1）总伸长是否为总伸长是否为 ？如有错误，正确的算式是什么？如有错误，正确的算式是什么？P2P1L2L11122NNFLFLLEAEA EALPEALPP22121)( FNxP1 - P2P29 例

4、例10-1、阶梯杆所受载荷及尺寸如图示，、阶梯杆所受载荷及尺寸如图示，E=200GPa, =170MPa。试求：杆的总变形量。试求：杆的总变形量。FNx20kN40kN40kN60kN20kN200200A1=200mm2A2 =250mm2 解：轴力图如图所示解：轴力图如图所示12202000.1200200kNmmlmmGPamm 120 06lll.mm kNmmlmmGPamm 22402000.1620025010解：解：1) 计算轴向应变计算轴向应变2) 计算横截面应力计算横截面应力 已知已知： d1=15.3mm, L=54mm, E=200GPa, 试计算横截面上的正应力及横向

5、变形量。试计算横截面上的正应力及横向变形量。0 04L.mm 0.3 例题例题10-2、,3) 计算横向应变计算横向应变 4) 计算横向变形计算横向变形d压紧力：压紧力：LL 0 0454. 6741 10 E 148 2().MPa 6222 10 1d 0 0034().mm F A 54 5 . kN 1110-2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算1 1、变形计算变形计算dd x 或或PTddxGI 由右图可知由右图可知，表示相距为表示相距为dx的两的两d个横截面之间的相对扭转角。个横截面之间的相对扭转角。表示的是扭转角沿长度方向的变化率表示的是扭转角沿长度方向的变化率ddx

6、PTGI 12距离为距离为L的两个横截面之间的相对转角则为：的两个横截面之间的相对转角则为：L0PTdxGI 若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆(单位单位：rad)niii 1iPiT LG I (单位单位：rad)PTLGI 相对扭转角相对扭转角 GIP 称作抗扭刚度称作抗扭刚度 132 2、刚度计算刚度计算maxmaxmax PdTdxGI(rad/m)maxmax180 PTGI(/m)或或注意区分两截面之间的相对扭转角与单位长度扭转角注意区分两截面之间的相对

7、扭转角与单位长度扭转角14例例10103 3 d=110mm，若各轮之间距离均为若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa， =0.5/m，(1)(1)试校核轴的刚度；试校核轴的刚度；(2)(2)计计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。角。 解：解：max Tmax=9560N.m1 1、 刚度计算刚度计算maxPTGI180 0.48 所以刚度符合要求。所以刚度符合要求。MA=15.9kN.m MB=MC=4.78kN.m152 2、变形计算、变形计算计算变形时，扭矩计算变形时，扭矩T 应取代数值应取代数值。BC BCT18

8、0 0 477. BCl PG I 1800 954CACACAPTl.G I 1800 635ADADADPTl.G I 轴两端截面之间的相对扭转角为：轴两端截面之间的相对扭转角为：BD BCCAAD0 805. 16ABFC500300f f 2020510例例10-4、已知、已知F=60kN，E=200GPa，G=0.4E，不考虑，不考虑AB杆的变形，杆的变形，求求B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：解：Bw 300AC PTLGI 32 05 10.m 300 17 1、挠度、挠度一、基本概念一、基本概念横截面形心横截面形心 C (即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于 x 轴方

9、向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的挠度。用称为该截面的挠度。用w表示。表示。挠度：向上为正挠度：向上为正,向下为负向下为负.AB w xBw挠度挠度CC10-3 弯曲变形与刚度计算弯曲变形与刚度计算182、转角、转角AB w xCCw挠度挠度B转角转角 横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。 用用 表示表示自自x 转至切线方向转至切线方向,逆时针转为正逆时针转为正,顺时针转为负。顺时针转为负。19AB w xCCw挠度挠度B转角转角 3 3、挠曲线、挠曲线挠曲线挠曲线式中式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该

10、点的挠度。为该点的挠度。挠曲线方程为挠曲线方程为( )wf x梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线。204 4、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系AB w xCCw挠度挠度B转角转角 挠曲线挠曲线 tg w ( )w x 21二、用积分法求弯曲变形二、用积分法求弯曲变形推导纯弯曲正应力公式时，得到：推导纯弯曲正应力公式时，得到：1 横力弯曲时忽略剪力对变形的影响：横力弯曲时忽略剪力对变形的影响：1( )( )zM xxEI 由数学知识可知：由数学知识可知：222 311() d wdxdwdx 略去高阶小量略去高阶小量221d wdx 22( )zd wM xdxEI zMEI22

11、在规定的坐标系中在规定的坐标系中, x 轴水平向右轴水平向右为正为正, w 轴竖直向上为正轴竖直向上为正.曲线凸向上时：曲线凸向上时：OxwxOw00 wM因此因此,w与与M的正负号相同的正负号相同0M 曲线凹向上时曲线凹向上时:00 wM 0w MMMM0M 0w23由于弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线由于弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：的近似微分方程为：22( )zd wM xdxEI 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。2w近似原因近似原因 : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力

12、的影响 ; (2) 略去了略去了 项项;22( )zd wM xdxEI2422( )zd wM xdxEI 积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：zdwEIdx22( )zd wEIM xdx 再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：zEI wzEI ( )M x dx ( )M x dxdx Cx D C 25积分常数积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。确定。0Aw 0Aw 0 A Aw 位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件ALARwwARAL ALARww 弹簧变形弹簧变形 AAAAAA26刚度条件刚度条件数学表

13、达式数学表达式刚度条件的应用刚度条件的应用(1)校核刚度校核刚度(2)设计截面尺寸设计截面尺寸(3)求许可载荷求许可载荷wwmax max 27例例10-5、已知、已知EIz为常数，为常数，M0，L，求，求 A A， B B，及中点的挠度；，及中点的挠度；若若 ，试校核刚度。，试校核刚度。 24zMLwEI 22( )zd wEIM xdx ABM0wLx解：解： 1、外力分析、外力分析FAFB0ABMFFLx( )M x 0 xL0MxL挠曲线、转角、挠度方程挠曲线、转角、挠度方程202zMEIxCL 306zMEI wxCxDL 22( )zd wEIM xdx 0MxL 3、变形分析、变

14、形分析0MxL2、内力分析、内力分析28ABM0wLx202zMEIxCL 306zMEI wxCxDL 确定积分常数确定积分常数0 x (0)w 0 xL ( )w L 00D 得：得：06M LC 所以所以20026zMM LEIxL 30066zMM LEI wxxL 0(0)6AZM LEI0( )3 BZM LLEI求求 A， B，wL/2( )( )294、刚度计算、刚度计算0w 200026MM LxL 3Lxmaxw 所以，刚度满足要求。所以，刚度满足要求。30011()()()26262zMM LLEI wLLL 20()()216zM LLwEI 20026zMM LEIx

15、L 校核刚度校核刚度 24zMLwEI (0) 30066zMM LEI wxxL 209 3ZM LEI w 301 1、叠加法原理（力的独立性原理）、叠加法原理（力的独立性原理） 在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，如果各载荷与其产生的效果如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、支反力，内力，应力和位移、变形等变形等)成线性关系成线性关系,则则各载荷与其产生的效果各载荷与其产生的效果互不影响，互不影响，各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单独作用时所产生的效果之

16、和。独作用时所产生的效果之和。2 2、求梁的弯曲变形的叠加法、求梁的弯曲变形的叠加法分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同一处引起的变形进行叠加一处引起的变形进行叠加( (代数叠加代数叠加) )。三、用叠加法求梁的弯曲变形三、用叠加法求梁的弯曲变形31例例106、一抗弯刚度为、一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图 所示。试按叠所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角 A , B 。qABmABqmlAB Aq AmwCqwCm Bm Bq解：解： 将荷载

17、分为两项简单荷载将荷载分为两项简单荷载Cw ( )45384qlEI 216mlEI CqCmww A AqAm 324qlEI ( ) 3mlEI B BqBm 324qlEI 6mlEI ( )32讨论：如何分解载荷？讨论：如何分解载荷？BAlqFMBAlqBAlFBAlM分解原则：分解后每根分解原则：分解后每根梁只作用单个载荷。梁只作用单个载荷。33q讨论：如何分解载荷？讨论：如何分解载荷？BqAaaCAaaCBAaaCBq如何求如何求B B截面的挠度及转角？截面的挠度及转角？34AaaCBqCwC BCABwBw CwBqEICAaaCa qAaaCBAaaCBq如何用另一种方法求如何

18、用另一种方法求C C截面及截面及B B截面的挠度及转角？截面的挠度及转角？35使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况和梁的变形形式，可采取两种处理方式：和梁的变形形式，可采取两种处理方式：(1) (1) 载荷叠加载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处的总变形等于各基本载荷作用下在该处产生变形的代的总变形等于各基本载荷作用下在该处产生变形的代数和。数和。( (2) 2) 变形叠加变形叠加：将梁分解成以一定方式连接的几种受：将梁分解成以一定方式连接的几种受基本载荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁基本载

19、荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁某处的变形。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁某处的变形。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁的的内力与原梁的内力内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件完全相同，只是端部的约束条件可以不同。可以不同。逐段刚化逐段刚化法法内力叠加内力叠加法法36例例10-7、试用叠加法试用叠加法( (变形叠加变形叠加) )求求C 截面截面的挠度。的挠度。BqEICAaaBqCAaBCAaaBqACACMBCMACM ACM0 BCM BCM0 AC段段BC段段第第1根根0BCM第第2根根ACM037例例10-8、试用叠加法试用叠加法( (变形叠加变形叠加) )求求C

20、截面截面的挠度。的挠度。解：解： （1) )BC段变形，段变形，AC段刚化段刚化BqEICAaaBqCAa(1)Cw ( (2) )AC段变形，段变形，BC段刚化段刚化qBCAaa22qam F = qaCFw Cmw (2)Cw ( (3) )总变形总变形Cw 043qaEI () 44qaEI () CFCmww 4712qaEI () 12CCww 4712qaEI () 思考题：求思考题：求wB B38例例10-9、用叠加法用叠加法( (变形叠加变形叠加) )求求B截面截面的挠度。的挠度。解：解： （1) )BC段变形，段变形，AC段刚化段刚化BqEICAaaBqCAa(1)Bw (

21、(2) )AC段变形，段变形，BC段刚化段刚化qBCAaa22qam F = qaCF Cm 48qaEI 32qaEI Cw 4712qaEI () ( )() 32qaEI ( )C 3qaEI ( )(2)Bw CwCFCm Ca 41912qaEI () 39( (3) )总变形总变形Bw 12BBww 43124qaEI () (1)Bw 48qaEI () (2)Bw 41912qaEI () 40ABFC500300f f 2020510例例10-10、已知、已知F=60N，E=210GPa，G=0.4E，求，求B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：解： 1） AC段刚化段刚化A

22、BF1Bw 33ABFLEI 36 17 10.m 2）AB段刚化段刚化2Bw 300AC PTLGI 32 05 10.m 12BBBwww 8 22().mm 300 41ABFC500300f f 2020510例例10-11、已知、已知F=60N，E=200GPa，G=0.4E，求，求B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：解： 1） AC段刚化段刚化ABF1Bw 33ABFLEI 2）AB段刚化段刚化2Bw 300AC 12BBBwww CAFAw42降低梁的最大弯矩值降低梁的最大弯矩值1、合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载四、提高梁的承载能力措施四、提高梁的承载能力措施lFFl/4

23、Fl/4l/4l/2Fl/8432 2、合理地设置支座位置、合理地设置支座位置qllqaaql2/80.0214ql2当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时时44增大增大Wz1 1、合理选择截面形状、合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面31132zDW 2211(2)4Da ,aD / 2321() 1.1866zzbhRWW 221111 224Da ,aD 321314 1 6766zzabhW.W 45工字形截面与框形截面类似工字形截面与框形截面类似.1222222105. 1,6 . 18 . 0

24、24 DaaaD 1457. 4zzWW )(= 3 . 2SmmaxfAF 0.8a2a21.6a22a2z2 2、合理的放置、合理的放置bh126bhWbh226hbWFbhWW 2146普遍形式的莫尔积分普遍形式的莫尔积分注意：上式中注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力应的广义力.NNp( )( )( ) ( )( )( )dddlllFx FxT x T xM x M xxxxEAGIEI 10-4 能量法简介能量法简介 能量法能量法利用与功和能有关的一些定理（利用与功和能有关的一些定理（能量原理能量原理）求解可变形

25、固体的位移、变形等的方法求解可变形固体的位移、变形等的方法.47( ) ( )dlPT x T xxGI ( )( )dlM x M xxEI 弯曲：弯曲：拉压：拉压：扭转：扭转：NN( )( )dlFx FxxEA NN1nii iiF F lEA 桁架：桁架：48利用莫尔积分求构件任意点沿任一方向的位移的步骤：利用莫尔积分求构件任意点沿任一方向的位移的步骤：1、去掉原载荷，在所求位移点，沿所求位移方向加单位、去掉原载荷，在所求位移点，沿所求位移方向加单位载荷载荷3、利用莫尔积分求位移、利用莫尔积分求位移2、分别写出对应于原载荷及单位载荷的内力方程、分别写出对应于原载荷及单位载荷的内力方程(

26、 ) ( )dlPT x T xxGI ( )( )dlM x M xxEI弯曲弯曲拉伸拉伸扭转扭转 位移等于原载荷的内力乘以单位载荷的内力除以刚位移等于原载荷的内力乘以单位载荷的内力除以刚度后乘以长度的微量再积分度后乘以长度的微量再积分NN( )( )dlFx FxxEA 49A例题例题1012 抗弯刚度为抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用的等截面简支梁受均布荷载作用，用莫尔定理求梁中点的挠度莫尔定理求梁中点的挠度 fc 和支座和支座A截面的转角。截面的转角。qBCll/2ql/2ql/2解：解：2、分别写出对应于实际载荷及单位力的弯矩方程、分别写出对应于实际载荷及单位力的弯矩方

27、程)(0lx 一、一、 求求C 截面的挠度截面的挠度1、去掉实际载荷，在、去掉实际载荷，在C点加垂直方向的单位力，点加垂直方向的单位力，11/21/2BACxx)2(0lx 503、求位移、求位移51ql/2AAB11/l1/lx二、二、 求求A截面的转角截面的转角1、去掉实际载荷，在、去掉实际载荷，在 A 截面加一单位力偶截面加一单位力偶2、相应的弯矩为、相应的弯矩为)(0lx qCll/2（顺时针）（顺时针）ql/23、求位移、求位移52例例1013、刚架的自由端、刚架的自由端A作用集中力作用集中力F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。 不不计剪力和轴力对位移

28、的影响计剪力和轴力对位移的影响. 计算计算A点的点的垂直位移及垂直位移及B截面的转角。截面的转角。解：一、解：一、 计算计算A点的垂直位移点的垂直位移1、 去掉实际载荷，在去掉实际载荷，在A点加垂点加垂直向下的单位力直向下的单位力2、 写出相应的弯矩方程写出相应的弯矩方程AB:( )M x BC:aABCFlEI1EI2ABCEI1EI21xxFx ( )M x x ( )M x Fa ( )M x a 533、求位移、求位移y 02( )( )dlM x M xxEI 001211()()d()()dalFxxxFaaxEIEI3212()3PaPa lEIEIAB:FxxM )(BC:Fa

29、xM )(xxM )(axM )(54二、二、 计算计算B截面的转角截面的转角AB:BC:B （ ）2、写出相应的弯矩方程、写出相应的弯矩方程3、求位移、求位移02( )( )dlM x M xxEI 0012211()(0)d()(1)dalFxxFaxEIEIFalEI 1、在、在B上加一单位力偶矩上加一单位力偶矩ABCEI1EI21( )M x Fx ( )M x 0( )M x Fa ( )M x 155例例1014、由三杆组成的刚架，、由三杆组成的刚架，B，C为刚性节点，三杆的抗弯为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是刚度都是EI，试用莫尔定理求，试用莫尔定理求A1，A2两点的相对位移。两点

30、的相对位移。A1A2lFFBCl56x解：解：1、附加单位载荷、附加单位载荷 2、列出相应的弯矩方程、列出相应的弯矩方程.A1B：xx( )M x A1A2BCllFFxxxA1A2BCll11Fx ( )M x x BC：( )M x Fl ( )M x l CA2：( )M x Fx ( )M x x 3、求位移、求位移AB ()Fx ()x EIdx0l 2()Fl () l EIdx0l 353FlEI ( ) 571、附加单位载荷、附加单位载荷 2、列出相应的弯矩方程、列出相应的弯矩方程.A1A2BCllFFxA1A2BCllxx11xxxA1B：( )M x Fx ( )M x 1

31、 BC：( )M x Fl ( )M x 1 CA2：( )M x Fx ( )M x 1 3、求位移、求位移AB ()Fx (1) EIdx0l 2()Fl (1) EIdx0l 22FlEI 58xx解解法一法一：（莫尔积分）：（莫尔积分）BC:( )M x ( )M x ABCFabxxAB:( )M x ( )M x ( )T x ( )T x ABCab在在 C点加点加垂直方向垂直方向单位力单位力Fx x Fx x Fb b 例例1015、图示为一水平面内的曲杆，、图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点处为一刚性节点, 角角ABC=90在在 C 处承受竖直力处承受竖直力 F，设两

32、杆的抗弯刚度和抗扭，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是刚度分别是 EI 和和GIp ，求，求 C 点垂直方向的位移。点垂直方向的位移。59ABCFCV 0011()()d()()dabFxxxFxxxEIEI 01()()dapFbbxGI 233()3pFFababEIGI )( BC:FxxM )(xxM )(AB:FxxM )(xxM )(FbxT )(bxT )( )( )dlM x M xxEI ( ) ( )dlPT x T xxGI 6010-5 简单静不定问题的求解简单静不定问题的求解 静定问题：静定问题： 未知力个数未知力个数 独立的静平衡方程个数独立的静平衡方程个数静不定问题

33、：静不定问题：未知力个数未知力个数 独立的静平衡方程个数独立的静平衡方程个数静定静定静不定静不定静不定静不定静不定次数静不定次数 = = 未知力个数静力平衡方程的个数未知力个数静力平衡方程的个数1 1、静不定问题的定义：、静不定问题的定义：ABC12FABC12F3ABCF612 2、静不定问题的一般解法、静不定问题的一般解法（1 1）静力平衡方程静力平衡方程（2 2）变形协调方程变形协调方程（3 3）物理关系方程物理关系方程（4）补充方程补充方程联立联立求解求解3 3、超静定问题解法举例、超静定问题解法举例（变形比较法）（变形比较法）62例题例题10-16、设设 1、2、3 三杆用绞链连结，

34、如图所示三杆用绞链连结，如图所示, ,l1 = l2 = l，A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3杆的长度杆的长度 l3 , ,横截面积横截面积 A3 , ,弹性模量弹性模量E3。试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力. . ABC12F3a aa a解：解：（1 1）研究节点）研究节点A，列平衡方程列平衡方程AFFN1FN 2FN 30ixF 0iyF N1N2FF N1N2N30FcosFcosFFa aa a （2 2）变形协调方程）变形协调方程由于问题在几何，物理及受力方面都是对由于问题在几何，物理及受力方面都是对称，所以变形

35、后称，所以变形后A点将沿铅垂方向下移。点将沿铅垂方向下移。变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起A63ABC123a aa aAa aa aA3 3la aa a变形协调方程为变形协调方程为13ll cosa a N11F llEA N3 3333F l coslE Aa a (3)(3)补充方程补充方程2N1N333EAFFcosE Aa a 物理关系方程为物理关系方程为A1 1l64(4)(4)联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解N1N2FF N1N2N30FcosFcosFFa aa a 2N1N333EAFFcosE Aa a N333

36、312FFEAcosE Aa a N1N23322FFFE AcosE A cosa aa a 65例例10-17、图示等直杆图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结的两端分别与刚性支承连结. .设两支承设两支承的距离（即杆长）为的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为杆的横截面面积为 A，材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为线膨胀系数为 a a .试求温度升高试求温度升高 T时杆内的时杆内的温度应力温度应力.ABl66解解: :ABl变形相容条件是变形相容条件是0 0 l杆的总长度不变，杆的总长度不变， 即即AB lTABBFRB lF变形协调方程变形协调方程0TFlll 1

37、、外力分析、外力分析ABFRBFRANRBFF 静力平衡方程：静力平衡方程：2、内力分析、内力分析67Fl TtlT la a 物理关系方程物理关系方程补充方程补充方程解得：解得：RBtFlT lEAa a NRBtFFEATa a NFETA a a 0TFlll RBFlE A3、应力分析（计算温度应力）、应力分析（计算温度应力）68DlABC123a aa a A 图示杆系，若图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力因而产生轴力. 3杆的轴力为拉力，杆的轴力为拉力，1，2杆的轴力为压力杆的轴力为压力. 这种附加的内力就称为这种附加的内力就称为装配内力装配内力.与之相对应的应力称为与之相对应的应力称为装配装配应力应力.1、外力分析（略）、外力分析（略）解解：2、内力分析（求轴力）、内力分析（求轴力）a a a aFN3FN2FN1静力平衡方程静力平