应用复2014-9-3

1、1.2 复平面上的点集与拓扑复平面上的点集与拓扑1 区域区域2 Jordan曲线、连通性曲线、连通性1.2.1 区域区域 1. 邻域邻域 z0是复平面内的定点是复平面内的定点, 满足不等式满足不等式|z-z0|d的一切点所组成的集合的一切点所组成的集合 z| |z-z0|0. z0的邻域实际的邻域实际上是以上是以z0为中心为中心, d为半径的圆的内部所有点组为半径的圆的内部所有点组成的点集成的点集, 简记为简记为B(z0,d). 由满足不等式由满足不等式0|z-z0|R (R0)的一切点的一切点(包括无穷包括无穷远点远点)的集合称为的集合称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. 用用R|z|0, 满

2、足满足 00, .B zzzzE 3. 外点外点4. 边界点边界点 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, z0是一个定点是一个定点, 若存若存在在z0的一个邻域的一个邻域, 使得在此邻域内的一切点均不使得在此邻域内的一切点均不属于属于E, 则称则称z0是是E的的外点外点. 即存在即存在r 0, 满足满足 10, .B zEzzzE 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, z0是一个定点是一个定点, 若若z0的任何邻域内都含有属于的任何邻域内都含有属于E的点和不属于的点和不属于E的的点点, 则称则称z0是是E的的边界点边界点 . 显然显然, E的内点属于的内点属于E, 而外点不属于而外点不

3、属于E, 但但边界点既可能属于边界点既可能属于E, 也可能不属于也可能不属于E. 5. 开集开集 设设G是复平面上的点集是复平面上的点集, 如果如果G 内每一点都内每一点都是它的内点是它的内点,则称则称G 为开集为开集. 例例1.5 设设z0是定点是定点, r 0是常数是常数, 则则z0为中心为中心, 以以r为半径的圆的内部点为半径的圆的内部点, 即满足不等式即满足不等式 |z-z0|0,存在存在d 0, 使得对一切满足使得对一切满足0|z-z0|0, 当当 或或 z C时，有时，有zD ( ).f zM 函数有界性的定理函数有界性的定理. 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几复数可以用平面

4、上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数复数. 设设S是与复平面是与复平面C切于原点切于原点O的球面的球面. 过原点过原点O做垂直于平面做垂直于平面 C的直线的直线, 与与S的另一交点为的另一交点为N. 原原点点O称为称为S的南极的南极(S极极), 点点N称为称为S的北极的北极(如图如图). xyNOS1.4 扩充复平面及其相关问题扩充复平面及其相关问题 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面我们用球面上的点来表示复数

5、上的点来表示复数. 球面上的北极球面上的北极N不能对应复平面上的定点不能对应复平面上的定点,当当球面上的点离北极球面上的点离北极 N 越近越近,它所表示的复数它所表示的复数的模越大的模越大.xyPNOS),(yx1P),(11yx 规定规定: 复数中有一个唯复数中有一个唯一的一的 “无穷大无穷大” 与复平面与复平面上上的无穷远点相对应的无穷远点相对应, 记作记作 . 球面上的北极球面上的北极N就是复就是复数无穷大的几何表示数无穷大的几何表示.xyNOS 不包括无穷远点的复平面称为有限不包括无穷远点的复平面称为有限复平面复平面,或简称复平面或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为包括无穷远点的复平面称为扩充扩充复平面复平面. 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 对于复数对于复数的无穷远点而言的无穷远点而言, 它的实部、虚部它的实部、虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义, 规定规定它的模为正无穷大它的模为正无穷大.(); (1) 加法加法(); (2) 减法减法(0); (3) 乘法乘法0,(),(0).0 (4) 除法除法1. 复数运算和